Системы уравнений · урок 1 из 13

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · ALG8-058

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать

линейное уравнение с двумя переменными ax + by = c

Проверять и находить решения

пары чисел (x; y) — подстановкой и выражая y через x

Строить график

уравнения — прямую по двум точкам

Решать в целых числах

простые задачи перебором и через делимость

повторение: выражения, уравнения (7 кл.)

Разминка · устно

Без тетради: подставьте и решите

Найдите значение при ,

  1. 0
  2. 14
  3. 7
  4. −8

Решите уравнение

повторение: линейная функция (7 кл.)

Вспомним

График линейной функции — прямая

x y −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 y = 2x − 1 A(2; 3) B(−1; −2) www.reknow.ru
  1. Найдите y при x = 3.
  2. Принадлежит ли графику точка A(2; 3)?
  3. А точка B(−1; −2)?
  4. Сколько точек нужно, чтобы построить прямую?
R06.1

Проблема

Сумма двух чисел равна 5. Какие это числа?

x + y = 5
x0122,5−16
y5432,56−1
Пар — бесконечно много. И все точки легли на одну прямую.
x y −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 0 www.reknow.ru
R06.1

Определение

Линейное уравнение с двумя переменными

ax + by = c

x, y — переменные
a, b, c — числа

3x − 2y = 6 да
x + y = 5 да
y = 0,5x − 1 да
4x = 7 + 2y да
xy = 6 нет
x² + y = 4 нет

«да» — если переносом слагаемых приводится к виду ax + by = c

R06.1

Что значит «решение»

Решение — пара чисел (x; y), дающая верное равенство

2x + 3y = 12 (3; 2) 2 · 3 + 3 · 2 = 12 решение (0; 4) 2 · 0 + 3 · 4 = 12 решение (2; 3) 2 · 2 + 3 · 3 = 13 ≠ 12 нет порядок важен: первое число — x, второе — y. (3; 2) и (2; 3) — разные пары www.reknow.ru
R06.1

Решите сами · самопроверка

Распознаём уравнение и проверяем пары

Линейное ли? Если да — назовите , ,

  1. да: 4; −3; 1
  2. нет
  3. да: 2; −5; 0
  4. да: 0,5; 1; 3

Решение ли пара уравнения ?

  1. да
  2. нет: 5 ≠ 7
  3. да
  4. да
R06.1

Как найти сколько угодно решений

Выразим y через x — и задаём x любым

2x + 3y = 12

3y = 12 − 2x перенесли 2x

разделили на 3

x−303691
y6420−2
Каждое x даёт своё y → решений бесконечно много
R06.1

По образцу · решите сами

Выразите y через x и найдите решение при x = 2

  1. база ;  
  2. база ;  
  3. база ;  
  4. повыш. ;  
R06.1

График уравнения

Все решения 2x + 3y = 12 лежат на одной прямой

x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 0 (−3; 6) (0; 4) (3; 2) (6; 0) (9; −2) 2x + 3y = 12 www.reknow.ru
График уравнения — множество точек, координаты которых — его решения

Теорема

График ax + by = c, где a ≠ 0 или b ≠ 0, — прямая

при b ≠ 0 это — линейная функция

R06.1

Алгоритм

Строим график x − 2y = 4 по двум точкам

  1. x = 0: −2y = 4, y = −2 → (0; −2)
  2. y = 0: x = 4 → (4; 0)
  3. Провести прямую через две точки
  4. Проверка: (2; −1): 2 + 2 = 4 ✓
x y −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 −4 −3 −2 −1 1 2 3 0 (0; −2) (4; 0) (2; −1) ✓ www.reknow.ru
R06.1

По алгоритму · постройте сами

Найдите точки на осях и постройте график


  1. и

  2. и

  3. и
x y −2 −1 3 4 5 6 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 0 1 2 3 1 2 www.reknow.ru
R06.1

Особые случаи

Когда a = 0 или b = 0

x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 x = 3 y = −2 (3; −2) www.reknow.ru

b = 0:  x + 0 · y = 3

x = 3, y — любое → прямая параллельна оси Oy

a = 0:  0 · x + y = −2

y = −2, x — любое → прямая параллельна оси Ox

R06.1

Решите сами · самопроверка

Особые прямые и точка на прямой

Какой оси параллелен график?

  1. оси Ox
  2. оси Oy
  3. Ox ()
  4. Oy ()

Прямая проходит через точку. Найдите число

  1. ,  
  2. ,  
  3. ,  
R06.1

Решения в целых числах · перебор

Карандаш — 3 ₽, ручка — 5 ₽, всего 34 ₽. Сколько чего?

3x + 5y = 34

x — карандаши, y — ручки; x, y — натуральные

y123456
3x2924191494
x—8——3—

перебираем y: x ≥ 1, значит 5y ≤ 31, y ≤ 6

x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 0 (3; 5)(8; 2) www.reknow.ru
R06.1

Решения в целых числах · делимость

Бывает, что целых решений нет: 2x + 4y = 7

x y −2 −1 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 0 2x + 4y = 7 www.reknow.ru

2x + 4y = 7

2(x + 2y) = 7

при целых x, y слева чётное число, справа — нечётное → целых решений нет

прямая проходит мимо всех точек с целыми координатами

R06.1

Решите сами · самопроверка

Решения в целых и натуральных числах

  1. базаВсе натуральные решения , ,
  2. базаВсе натуральные решения ,
  3. повыш.Есть ли целые решения у ? нет
  4. повыш.Есть ли целые решения у ? да,
  5. практика17 ₽ монетами по 2 ₽ и 5 ₽ (каждых хотя бы одна) 6 и 1 или 1 и 3
R06.1

Дополнительно

Из одного целого решения — все остальные

x y −4 −2 2 4 6 8 10 12 14 −2 2 4 6 8 10 0 (−2; 8) (3; 5) (8; 2) (13; −1) +5−3 www.reknow.ru
3x + 5y = 34

x → x + 5,  y → y − 3

3 · 5 − 5 · 3 = 0

сумма не меняется → снова решение

R06.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученикаКак верно
(3; 2) — решение 3x + y = 9: 3 · 2 + 3 = 9x = 3, y = 2: 3 · 3 + 2 = 11 ≠ 9 — не решение
x − 2y = 4 пересекает Ox в (0; −2)на оси Ox y = 0 → (4; 0)
x = 3 — это точкаэто прямая, параллельная оси Oy
3x + 5y = 34: x = 1, y = 6,2число предметов — натуральное
R06.1

Закрепление · самопроверка

Решите

  1. базаКакие уравнения линейные: 5x − y = 7; xy = 4; 0,5x + 2y = 0; x + y² = 1? 1-е и 3-е
  2. базаРешение ли пара (2; −1) уравнения 3x + 4y = 2? А (−1; 2)? да; нет
  3. базаПостройте график 2x − y = 4. (0; −4), (2; 0)
  1. повыш.При каком a пара (3; a) — решение 5x − 2y = 21? a = −3
  2. повыш.Есть ли целые решения у 5x + 10y = 12? нет
  3. практикаНа 50 ₽ купили ручки по 7 ₽ и тетради по 4 ₽. Сколько чего купили? 2 и 9 или 6 и 2
R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Решите свой вариант

Вариант 1

  1. : решение ли ? да
  2. Выразите y:
  3. Точки на осях: ,
  4. Натуральные решения ,

Вариант 2

  1. : решение ли ? нет
  2. Выразите y:
  3. Точки на осях: ,
  4. Натуральные решения ,
R06.1

Формат ОГЭ · линия 12 (расчёт по формуле)

Температура:

Формула связывает градусы Цельсия и Фаренгейта . Какой температуре по Цельсию соответствует 149° по Фаренгейту?

Это линейное уравнение с двумя переменными — его график прямая
t°C t°F 20 40 60 80 100 40 80 120 160 200 240 0 32 149? www.reknow.ru
рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

  • Что называют решением уравнения с двумя переменными?
  • Что является графиком ax + by = c?
  • Как найти точки пересечения с осями?

Домашнее задание

  • Графики x − 3y = 6 и y = 2
  • Натуральные решения 2x + 5y = 21
  • Докажите: у 6x + 9y = 20 нет целых решений
  • Тренажёр:
    reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-058 · Линейное уравнение с двумя переменными, его график, решения в целых числах

ПолеЗначение
ФРП«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урокR06 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений», 13 ч · урок 1/13 · тип Н
Единицы → слайдыR06.1 «Линейное уравнение с двумя переменными, его график, примеры решения уравнений в целых числах» → 2–24 (разминка → 3–4; уравнение и решения → 5–7, практика 8; выражение y через x → 9, практика 10; график → 11–12, практика 13; особые случаи → 14, практика 15; целые решения → 16–17, практика 18, дополнительно 19; найди ошибку → 20; закрепление с самопроверкой → 21; самостоятельная работа (2 варианта) → 22; ОГЭ → 23; итог и ДЗ → 24) · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
РезультатыПР-8 / REQ-3.1 (решать уравнения) → 2, 3, 7–10, 16–18, 21–22 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование, графические представления) → 2, 11–15, 17–18, 21 · ПР-10 / REQ-3.3 (модель текстовой задачи, интерпретация) → 16, 18, 20–21, 23 · виды деятельности R06: распознавать линейные уравнения с двумя переменными, строить их графики → 6, 8, 11–13, 15, 21–22
ОГЭслайд 23 — линия 12 (расчёт по формуле)
Вне урокасистемы линейных уравнений — ALG8-059 (R06.2) · нелинейные системы — ALG8-060 (R06.3) · графическая интерпретация систем — ALG8-061 (R06.4) · текстовые задачи на системы — R06.5 · общий вид целых решений (сл. 19) — «Дополнительно»
Проверкиавтопроверка: pending · методист: pending