Квадратные уравнения · урок 15 из 15 · обобщение

Обобщение и систематизация: квадратные уравнения

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-057

1 мин · теория
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 15/15, единицы R05.1–R05.7. Тип урока — О (обобщение).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Теория (13 мин): титул и цели 2 (сл. 1–2) · карта темы 2 (сл. 4) · обзор по единицам R05.1–R05.7 и сводная таблица 9 (сл. 5, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 16 — по 1 мин, формула корней — 2).
Практика (32 мин): разминка 3 (сл. 3) · «образец → сам» и самопроверка 13 (сл. 7, 9, 11, 15, 17) · найди ошибку 2 (сл. 18) · задания по всей теме 4 (сл. 19) · ОГЭ 3 (сл. 20) · самостоятельная работа 5 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 22).
При нехватке времени задания 4–6 (сл. 19) перенести в ДЗ; теоретические слайды не пропускать — их можно вести в форме беседы.

R05.1–R05.7

Цели урока

Сегодня вы соберёте тему в одну систему

Решать уравнения

квадратные — полные и неполные, и сводящиеся к ним (ПР-8)

Исследовать уравнение

по знаку D: сколько корней, есть ли они (ПР-9)

Применять теорему Виета

и обратную ей — для подбора и проверки корней (ПР-8)

Решать задачи

составлять модель и отбирать корни по смыслу (ПР-10)

R05.2–R05.7 · разминка

Разминка · устно

Считаем в уме — всё это пригодится сегодня

$(- 3)^{2}$ $= 9$
$0, 25$ $= 0, 5$
$5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3$ $= 1$
$x^{2} = 25$ $x = \pm 5$

Сумма 7, произведение 12. Что за числа? 3 и 4
Сумма −2, произведение −8? −4 и 2
При каком $x$ не имеет смысла $\frac{3}{x + 4}$ ? $x = - 4$
$(n + 1)^{2} = ?$ $n^{2} + 2 n + 1$

R05.1–R05.7

Карта темы

Всё, что мы изучили за 14 уроков

R05.1

Квадратное уравнение

Узнаём уравнение и его коэффициенты

Квадратное ли? Назовите a, b, c

2x − x² + 7 = 0
5x + 3 = 0
x² = 4x
6 − x² = 0

R05.2

Неполные квадратные уравнения

Три случая — без дискриминанта

R05.2

Образец → сам · неполные уравнения

Решите по образцу — без дискриминанта

$b = 0$ или $c = 0$

база $5 x^{2} - 20 = 0$
$x = \pm 2$
база $x^{2} + 7 x = 0$
$x = 0; - 7$
база $4 x^{2} + 9 = 0$
корней нет

Сначала приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$

база $2 x^{2} = 3 x$
$x = 0; 1, 5$
повыш. $(x - 3)^{2} = 9 - 6 x$
$x = 0$

R05.3

Формула корней

Знак дискриминанта решает всё

D = b^{2} - 4 a c

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

$D = 9 + 16 = 25$

$x = \frac{3 \pm 5}{4}; x_{1} = 2, x_{2} = - 0, 5$

R05.3

Задания с самопроверкой · формула корней

Сначала знак $D$ — потом корни

база $x^{2} - 4 x + 5 = 0$
$D = - 4$ , корней нет
база $9 x^{2} - 6 x + 1 = 0$
$D = 0$ , $x = \frac{1}{3}$
база $x^{2} + 6 x - 7 = 0$
$D = 64$ , $x = 1; - 7$

повыш. $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$
$D = 49$ , $x = \frac{1}{3}; - 2$
повыш.При каком $c$ уравнение $x^{2} - 8 x + c = 0$ имеет один корень?
$c = 16$ , $x = 4$

R05.4

Теорема Виета

Сумма и произведение корней — без формулы корней

x² + px + q = 0

x₁ + x₂ = −p

x₁ · x₂ = q

Обратная: если m + n = −p и mn = q, то m и n — корни.

Для ax² + bx + c = 0:
сумма −b : a, произведение c : a

R05.4

Образец → сам · теорема Виета

Подберите корни, как в образце $x^{2} - 8 x + 15 = 0$

Сумма; произведение → корни

база $x^{2} - 9 x + 20 = 0$
$9; 20 \to 4; 5$
база $x^{2} + 3 x - 10 = 0$
$- 3; - 10 \to 2; - 5$
база $x^{2} + 8 x + 12 = 0$
$- 8; 12 \to - 2; - 6$

Обратная задача

повыш.Один корень $x^{2} + p x - 12 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и $p$ .
$x_{2} = - 4$ , $p = 1$
повыш.Составьте приведённое уравнение с корнями $- 2$ и $7$ .
$x^{2} - 5 x - 14 = 0$

R05.2–R05.6

Сводная таблица

Какой способ выбрать?

Вид уравнения	Способ	Пример → корни
ax² + c = 0	x² = −c : a	x² − 9 = 0 → ±3
ax² + bx = 0	вынести x за скобки	x² − 4x = 0 → 0; 4
x² + px + q = 0	теорема Виета, подбор	x² − 7x + 12 = 0 → 3; 4
ax² + bx + c = 0	D и формула корней	$3 x^{2} - 2 x - 1 = 0 \to 1; - \frac{1}{3}$
ax⁴ + bx² + c = 0	замена t = x², t ≥ 0	x⁴ − 17x² + 16 = 0 → ±1; ±4
дробное уравнение	× общий знаменатель, проверить ≠ 0	$\frac{12}{x} = x + 1 \to 3; - 4$

R05.5

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Биквадратное уравнение: замена переменной

R05.6

Дробно-рациональные уравнения

Главное — знаменатель не равен нулю

$\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$

x − 2 ≠ 0, x ≠ 2

x² = 4

x = 2 или x = −2

Ответ: −2. При x = 2 знаменатель равен 0 — посторонний корень.

R05.5 · R05.6

Образец → сам · сводящиеся к квадратным

Замена $t = x^{2}$ и проверка знаменателя

Биквадратные

база $x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$
$t = 9 \to x = \pm 3$
повыш. $x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0$
$x = \pm 1; \pm 2$

Дробные

база $\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = 0$
$x = 3$
повыш. $\frac{x ^{2}}{x + 1} = \frac{2 x + 3}{x + 1}$
$x = 3$
повыш. $x + \frac{6}{x} = 5$
$x = 2; 3$

3 мин · практика
Образцы — слайды «Биквадратное уравнение» и «Дробно-рациональные уравнения». Слабым — 1 и 3, сильным — все.
Ответы: 1) t² − 5t − 36 = 0 → t = 9 или t = −4 (не подходит, t ≥ 0) → x = ±3 (81 − 45 − 36 = 0 ✓); 2) t² − 3t + 2 = 0 → t = 1, t = 2 → x = ±1, ±√2; 3) x² − 9 = 0, x ≠ −3 → x = 3; 4) x² − 2x − 3 = 0, x ≠ −1 → корни 3 и −1, −1 — посторонний, ответ 3 (9 : 4 = 9 : 4 ✓); 5) · x, x ≠ 0: x² − 5x + 6 = 0 → 2 и 3 (2 + 3 = 5 ✓, 3 + 2 = 5 ✓).
Типичные ошибки: в 1) пишут в ответ t = 9 или ±2 из t = −4; в 3) и 4) не выкидывают корень, обнуляющий знаменатель.

R05.7

Текстовые задачи

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 85

R05.7

Задачи из жизни

Составьте уравнение и отберите корни по смыслу

1. Огород — прямоугольник площадью 60 м², длина на 7 м больше ширины. Сколько метров сетки нужно на забор?

$x (x + 7) = 60$ , $x = 5$ ( $x = - 12$ — нет)

5 м и 12 м → $P = 34$ м

2. Высота мяча, подброшенного вверх, через $t$ с равна $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Когда мяч будет на высоте 15 м?

$t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , $t = 1$ с и $t = 3$ с

оба подходят: вверх и вниз

3 мин · практика
Работа в парах: ряд 1 — задача 1, ряд 2 — задача 2, затем обмен решениями. Ответы — по щелчку.
1) Ширина x, длина x + 7: x² + 7x − 60 = 0, D = 49 + 240 = 289 = 17², x = (−7 ± 17) : 2 → 5 или −12 (ширина не может быть отрицательной). Стороны 5 и 12 м (5 · 12 = 60 ✓), P = 2(5 + 12) = 34 м.
2) 20t − 5t² = 15 → 5t² − 20t + 15 = 0 → t² − 4t + 3 = 0 → t = 1, t = 3 (20 − 5 = 15 ✓; 60 − 45 = 15 ✓). Оба корня имеют смысл: через 1 с мяч на высоте 15 м поднимаясь, через 3 с — падая. Вершина параболы — t = 2, h = 20 м.
Типичная ошибка: в 1) ответ «5 и 12» — а спрашивали длину забора; во 2) отбрасывать один из корней.

R05.2–R05.6

Работа над ошибками

Найдите ошибку

Неверно	Верно
x² = 16 → x = 4	x = ±4
x² = 3x → x = 3	x(x − 3) = 0 → x = 0; 3
x² − 5x + 6: D = −25 − 24	D = (−5)² − 24 = 1
x² + 6x + 8 = 0: x₁ + x₂ = 6	x₁ + x₂ = −6 → −2; −4
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 0 \to x = \pm 1$	x ≠ 1 → x = −1

R05.2–R05.7

Задания по всей теме

Решите

1база3x² − 27 = 0

$x = \pm 3$

2база2x² − 5x + 2 = 0

$x = 2; 0, 5$

3базаx² − 7x + 10 = 0

Не решая, найдите $x_{1} + x_{2}$ и $x_{1} x_{2}$ . Подберите корни.

$7; 10 \to x = 2; 5$

4повыш.x⁴ − 10x² + 9 = 0

$x = \pm 1; \pm 3$

5повыш.

\frac{x}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}

$x = - 4$

6практика

Одна сторона прямоугольника на 4 см меньше другой, площадь 96 см². Найдите периметр.

$P = 40$ см

4 мин · практика
Ответы: 1) ±3; 2) D = 25 − 16 = 9, x = (5 ± 3) : 4 → 2 и 0,5; 3) сумма 7, произведение 10 → 2 и 5; 4) t² − 10t + 9 = 0 → t = 1, 9 → x = ±1, ±3; 5) x(x + 2) = 8, x ≠ ±2 → x² + 2x − 8 = 0 → 2 и −4; 2 — посторонний, ответ −4; 6) x(x − 4) = 96 → x² − 4x − 96 = 0, D = 16 + 384 = 400, x = 12 → стороны 12 и 8, P = 40 см.
Проверка 5): −4 : (−6) = 2/3; 8 : 12 = 2/3 ✓. Типичная ошибка в 6): в ответ пишут сторону, а спрашивали периметр.
Работа в парах: 1–3 все, 4–6 по выбору; 4 мин. Ответы открываются по щелчку под каждой карточкой — пары сверяют и ставят «+».

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Задание как на экзамене

9Решите уравнение x² − 6x = 16.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Ответ:

Сначала — вид ax² + bx + c = 0: перенести 16 влево.

В бланк — одно число, без «x =».

Проверьте корень подстановкой.

R05.2–R05.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Решите свой вариант

Вариант 1

база $4 x^{2} - 36 = 0$
$\pm 3$
база $x^{2} - 5 x - 14 = 0$
$7; - 2$
повыш. $x^{4} - 26 x^{2} + 25 = 0$
$\pm 1; \pm 5$
повыш. $\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}$
$- 3$

Вариант 2

база $3 x^{2} - 48 = 0$
$\pm 4$
база $2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$
$1; - 2, 5$
повыш. $x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$
$\pm 2; \pm 4$
повыш. $\frac{x ^{2}}{x + 4} = \frac{16}{x + 4}$
$4$

5 мин · практика
Варианты — по партам. 4 мин работа, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам, которые открываются щелчком.
Вариант 1: 1) x² = 9 → ±3; 2) D = 25 + 56 = 81, x = (5 ± 9) : 2 → 7 и −2 (Виета: 5 и −14 ✓); 3) t² − 26t + 25 = 0 → t = 1, 25 → x = ±1, ±5; 4) x² = 9, x ≠ 3 → x = −3 (9 : (−6) = 9 : (−6) ✓).
Вариант 2: 1) x² = 16 → ±4; 2) D = 9 + 40 = 49, x = (−3 ± 7) : 4 → 1 и −2,5 (2 + 3 − 5 = 0 ✓); 3) t² − 20t + 64 = 0 → t = 4, 16 → x = ±2, ±4; 4) x² = 16, x ≠ −4 → x = 4 (16 : 8 = 16 : 8 ✓).
Ошибки: в 4) оставить посторонний корень; в 3) записать в ответ значения t.

рефлексия · ДЗ

Итог темы

Проверьте себя и подготовьтесь к контрольной

Ответьте одной фразой

Как по D узнать число корней?
Когда удобна теорема Виета?
Откуда берутся посторонние корни?

Домашнее задание

x² + 4x − 21 = 0; 5x² + 3x = 0; x⁴ − 13x² + 36 = 0
Произведение двух последовательных чётных натуральных чисел 168. Найдите их.

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-057 · Обобщение и систематизация: квадратные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 15/15 · тип О
Единицы → слайды	R05.1 → 4, 5 · R05.2 → 3, 4, 6, 7, 12, 18, 19, 21 · R05.3 → 3, 4, 8, 9, 12, 18–21 · R05.4 → 3, 4, 10, 11, 12, 18, 19 · R05.5 → 4, 12, 13, 15, 19, 21 · R05.6 → 3, 4, 12, 14, 15, 18, 19, 21 · R05.7 → 3, 4, 16, 17, 19, 22 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4–6, 8, 10, 12–14, 16) / практика 32 мин (сл. 3, 7, 9, 11, 15, 17–22) — 71 %
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные и сводящиеся к ним уравнения) → 3, 5–15, 18–22 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование: есть ли корни, сколько) → 6–9, 13, 15 · ПР-10 / REQ-3.3 (модель задачи, интерпретация) → 16, 17, 19, 22 · EL-3.1, EL-3.2, EL-3.3, EL-3.5
Вне урока	системы уравнений — строка R06 (ALG8-058 и далее); квадратные неравенства и график квадратичной функции — 9 класс; формула корней с чётным вторым коэффициентом — не включена
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение и систематизация: квадратные уравнения

Сегодня вы соберёте тему в одну систему

Решать уравнения

Исследовать уравнение

Применять теорему Виета

Решать задачи

Считаем в уме — всё это пригодится сегодня

Всё, что мы изучили за 14 уроков

Узнаём уравнение и его коэффициенты

Три случая — без дискриминанта

Решите по образцу — без дискриминанта

Знак дискриминанта решает всё

Сначала знак D — потом корни

Сумма и произведение корней — без формулы корней

x² + px + q = 0

Подберите корни, как в образце x2−8x+15=0

Какой способ выбрать?

Биквадратное уравнение: замена переменной

Главное — знаменатель не равен нулю

Замена t=x2 и проверка знаменателя

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 85

Составьте уравнение и отберите корни по смыслу

Найдите ошибку

Решите

Задание как на экзамене

Решите свой вариант

Проверьте себя и подготовьтесь к контрольной

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-057 · Обобщение и систематизация: квадратные уравнения

Сначала знак $D$ — потом корни

Подберите корни, как в образце $x^{2} - 8 x + 15 = 0$

Замена $t = x^{2}$ и проверка знаменателя