Квадратные уравнения · урок 13 из 15 · практикум

Практикум: простейшие дробно-рациональные уравнения

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-055

Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 13/15, тип П (практикум), единица R05.6 «Простейшие дробно-рациональные уравнения». Новая тема была на ALG8-048; перед этим уроком — ALG8-054 (уравнения, сводящиеся к квадратным, замена); после — ALG8-056 (текстовые задачи).
Это продолжение урока ALG8-048, не повтор: четыре типа уравнений, разложение знаменателей, замена, случай «корней нет», противоположные знаменатели.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
План: цели 1 (сл. 2, т) · разминка 3 и блиц 2 (сл. 3–4, п) · карта типов 1 (сл. 5, т) · тип 1: разбор 2 + практика 3 (сл. 6–7) · тип 2: разбор 2 + практика 3 (сл. 8–9) · тип 3: разбор 2 + практика 3 (сл. 10–11) · тип 4: разбор 2 + практика 3 (сл. 12–13) · ловушки 1 + 1 (сл. 14–15, т) · практика на ловушки 2 (сл. 16, п) · сводка ошибок 1 (сл. 17, т) · найди ошибку 2 (сл. 18, п) · задания с самопроверкой 4 (сл. 19, п) · самостоятельная работа 5 (сл. 20, п) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 21, п).
Разборы типов (сл. 6, 8, 10, 12) учитель ведёт сам и быстро — по 2 мин; задание «Сам» с этих слайдов ученики решают в начале следующего слайда-практики.
Если не успеваете: задания 5–6 сл. 19 перенести в ДЗ, № 4 самостоятельной (сл. 20) — по желанию.

R05.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать тип

по виду уравнения выбирать способ: правило дроби, пропорция, общий знаменатель или замена

Раскладывать знаменатели

находить наименьший общий знаменатель (НОЗ) через разложение на множители

Делать замену

сводить уравнение с повторяющейся дробью к квадратному относительно t

Считать корни

отбирать корни и замечать, когда корней нет

1 мин · теория
ПР-8 (REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными» — сл. 6–16, 18–20.
ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями» — разложение знаменателей и НОЗ, сл. 3–4, 10–11, 15–16.
ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько, и прочее)» — сл. 14, 16, 21 (ДЗ 3).
Вид деятельности R05: «Решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с помощью преобразований и заменой переменной» — сл. 10–13, 19–20.

повторение: R05.6 (ALG8-048), R04

Разминка · устно

Какие значения x запрещены?

повторение: R05.2–R05.5, R04

Блиц · устно

Отвечаем в уме — ответ по клику

1) Корни
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

2; 3

2) Корни
$x^{2} + 4 x = 0$

0; −4

3) Корни
$x^{2} = 9$

±3

4) Корни
$x^{2} - x - 12 = 0$

4; −3

5) $2 - x = - (?)$

$x - 2$

6) НОЗ дробей
$\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x + 1}$

$x (x + 1)$

7) При каком $x$
$\frac{x - 1}{x + 2} = 0$ ?

$x = 1$

8) $t + \frac{1}{t}$ при $t = 2$

$\frac{5}{2}$

R05.6

Карта практикума

Посмотри на уравнение — выбери способ

R05.6

Тип 1 · дробь равна нулю

Решим $\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9} = 0$

A = 0

x^{2} - x - 6 = 0

x = 3 или x = - 2

по Виету: 3 + (−2) = 1

B ≠ 0

x^{2} - 9 \neq = 0 \to x \neq = \pm 3

Ответ: x = −2

Сам

\frac{x ^{2} - 5 x + 4}{x ^{2} - 1} = 0

R05.6

Образец → сам · тип 1

Дробь равна нулю: A = 0, B ≠ 0

Образец

$\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$

$A = 0$ : $x^{2} = 4 \to x = \pm 2$

$B \neq = 0$ : $x \neq = - 2$

Ответ: 2

Сам

$\frac{x ^{2} - 3 x}{x - 3} = 0$ 0
$\frac{x ^{2} - 6 x + 8}{x ^{2} - 16} = 0$ 2
$\frac{x ^{2} + x - 2}{x ^{2} + 2 x} = 0$ 1
$\frac{x ^{2} + 5}{x - 1} = 0$ корней нет

3 мин · практика
Сначала «Сам» с предыдущего слайда (ответ 4), затем образец — 30 с, задания 1–4 — в тетради, ответы по клику.
Образец: x = 2 подходит (4 − 4 = 0; 2 + 2 = 4 ≠ 0), x = −2 обращает знаменатель в нуль.
Ответы: 1) x(x − 3) = 0 → 0; 3; x ≠ 3 → ответ 0 (проверка: 0/(−3) = 0). 2) x² − 6x + 8 = 0 → 2; 4; x ≠ ±4 → ответ 2 (4 − 12 + 8 = 0; 4 − 16 = −12 ≠ 0). 3) x² + x − 2 = 0 → 1; −2; x(x + 2) ≠ 0 → x ≠ 0, −2 → ответ 1 (1 + 1 − 2 = 0; 1 + 2 = 3 ≠ 0). 4) x² + 5 ≥ 5 > 0 — числитель никогда не равен нулю: корней нет.

R05.6

Тип 2 · пропорция

Решим $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

ОДЗ

x \neq = - 2, x \neq = - 1

x^{2} - x - 2 = 2 x^{2} + 3 x - 2

x^{2} + 4 x = 0 \to x (x + 4) = 0

x = 0 или x = - 4

оба разрешены

Ответ: −4; 0

Сам

\frac{x - 3}{x + 3} = \frac{2 x - 3}{x + 1}

2 мин · теория
Новое: после раскрытия скобок квадрат есть в обеих частях; переносим всё в одну сторону — получаем неполное квадратное уравнение. «Сам» решают в начале сл. 9.
Раскрытие: (x − 2)(x + 1) = x² − x − 2; (x + 2)(2x − 1) = 2x² + 3x − 2. Перенос: 0 = x² + 4x.
Проверка: x = 0: −2/2 = −1 и −1/1 = −1; x = −4: −6/(−2) = 3 и −9/(−3) = 3.
«Сам»: (x − 3)(x + 1) = (x + 3)(2x − 3) → x² − 2x − 3 = 2x² + 3x − 9 → x² + 5x − 6 = 0 → x = 1 или x = −6; ОДЗ x ≠ −3, −1. Ответ: −6; 1 (проверка: −2/4 = −1/2 = −1/2; −9/(−3) = 3 = −15/(−5)).
Ошибка: сократить x² в разных частях «как множитель» или потерять корень x = 0, разделив на x.

R05.6

Образец → сам · тип 2

Пропорция: крайние = средние

Образец

$\frac{6}{x} = \frac{x - 1}{1}$

ОДЗ: $x \neq = 0$

$x (x - 1) = 6 \to x^{2} - x - 6 = 0$

$x = 3$ или $x = - 2$

Ответ: −2; 3

Сам

$\frac{8}{x} = x + 2$ −4; 2
$\frac{3}{x - 1} = x + 1$ −2; 2
$\frac{x}{x - 2} = \frac{3 x - 4}{x}$ 1; 4

R05.6 · ПР-5

Тип 3 · разложить знаменатели

Решим $\frac{x - 6}{x ^{2} - 3 x} + \frac{2}{x ^{2} - 9} = \frac{1}{x ^{2} + 3 x}$

× НОЗ:

(x - 6) (x + 3) + 2 x = x - 3

x^{2} - 2 x - 15 = 0

x = 5 или x = - 3

✗

Ответ: 5

Сам

\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 2 x} = \frac{3}{x}

2 мин · теория
Новое: знаменатели нужно сначала разложить; НОЗ — произведение всех разных множителей x(x − 3)(x + 3), а не произведение знаменателей (оно дало бы 6-ю степень).
Дополнительные множители: к первой дроби (x + 3), ко второй x, к правой части (x − 3). Раскрытие: x² − 3x − 18 + 2x = x − 3 → x² − 2x − 15 = 0; по Виету 5 · (−3) = −15, 5 + (−3) = 2.
Проверка x = 5: −1/10 + 2/16 = −0,1 + 0,125 = 0,025; 1/40 = 0,025 — верно. x = −3 запрещён ОДЗ.
«Сам»: НОЗ x(x − 2): x² − 4 = 3(x − 2) → x² − 3x + 2 = 0 → 1; 2; x = 2 — посторонний. Ответ: 1 (проверка: 1/(−1) − 4/(−1) = −1 + 4 = 3 = 3/1). Решают в начале сл. 11.

R05.6 · ПР-5

Образец → сам · тип 3

Разложить → НОЗ → отбор

Образец

$\frac{x}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$

НОЗ $(x - 1) (x + 1)$ , ОДЗ $x \neq = \pm 1$

$x (x - 1) + 3 (x + 1) = 6$

$x^{2} + 2 x - 3 = 0 \to x = 1$ ✗, $x = - 3$

Ответ: −3

Сам

$\frac{x}{x + 3} + \frac{1}{x - 3} = \frac{6}{x ^{2} - 9}$ −1
$\frac{x}{x + 4} + \frac{4}{x ^{2} + 4 x} = \frac{1}{x}$ 1
$\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ −3

3 мин · практика
Сначала «Сам» с предыдущего слайда (ответ 1), затем задания 1–3. Напоминание: разложить знаменатели, каждый множитель взять один раз.
Образец: x² − x + 3x + 3 = 6 → x² + 2x − 3 = 0 → 1; −3. Проверка x = −3: −3/(−2) + 3/(−4) = 1,5 − 0,75 = 0,75; 6/8 = 0,75.
Ответы: 1) НОЗ (x − 3)(x + 3): x(x − 3) + (x + 3) = 6 → x² − 2x − 3 = 0 → 3; −1; x = 3 посторонний → −1 (−1/2 + 1/(−4) = −0,75; 6/(1 − 9) = −0,75). 2) x² + 4x = x(x + 4); НОЗ x(x + 4): x² + 4 = x + 4 → x² − x = 0 → 0; 1; x = 0 посторонний → 1 (1/5 + 4/5 = 1 = 1/1). 3) НОЗ (x − 2)(x + 2): x(x + 2) − (x − 2) = 8 → x² + x − 6 = 0 → 2; −3; x = 2 посторонний → −3 (−3/(−5) − 1/(−1) = 0,6 + 1 = 1,6; 8/5 = 1,6).

R05.6 · R05.5

Тип 4 · замена переменной

Решим $\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{5}{2}$

Сам

\frac{x - 1}{x} + \frac{2 x}{x - 1} = 3

2 мин · теория
Связь с ALG8-054: замена переменной. «Сам» решают в начале сл. 13. Признак: две дроби — «перевёрнутые» друг друга, их произведение равно 1.
t + 1/t = 5/2 умножаем на 2t (t ≠ 0): 2t² + 2 = 5t. Корни t = (5 ± 3)/4 = 2 и 1/2.
Проверка: x = −2: −2/(−1) = 2, (−1)/(−2) = 1/2, сумма 5/2; x = 1: 1/2 + 2 = 5/2.
«Сам»: t = (x − 1)/x, вторая дробь 2/t: t + 2/t = 3 → t² − 3t + 2 = 0 → t = 1 или t = 2. (x − 1)/x = 1 → x − 1 = x → −1 = 0 — решений нет; (x − 1)/x = 2 → x = −1. Ответ: −1 (проверка: (−2)/(−1) = 2, (−2)/(−2) = 1, сумма 3).
Главная ошибка: записать в ответ значения t вместо x.

R05.6 · R05.5

Образец → сам · тип 4

Замена: решить для t — вернуться к x

Образец

$\frac{1}{x ^{2}} - \frac{3}{x} + 2 = 0$

$t = \frac{1}{x}$ : $t^{2} - 3 t + 2 = 0$

$t = 1$ или $t = 2$

$\frac{1}{x} = 1 \to x = 1$ ; $\frac{1}{x} = 2 \to x = \frac{1}{2}$

Ответ: 0,5; 1

Сам

$\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x} = \frac{5}{2}$ −4; 2
$\frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{x + 1} - 2 = 0$ −1,5; 0
повыш. $\frac{x - 1}{x} + \frac{3 x}{x - 1} = 4$ −0,5

3 мин · практика
Сначала «Сам» с предыдущего слайда (ответ −1), затем задания 1–3. Напомнить: в ответ пишем x, а не t.
Образец: проверка x = 1: 1 − 3 + 2 = 0; x = 1/2: 4 − 6 + 2 = 0.
Ответы: 1) t = x/(x + 2): t + 1/t = 5/2 → t = 2 или 1/2; x = 2x + 4 → x = −4; 2x = x + 2 → x = 2 (x = 2: 2/4 + 4/2 = 2,5; x = −4: 2 + 0,5 = 2,5). 2) t = 1/(x + 1): t² + t − 2 = 0 → t = 1 или −2; x + 1 = 1 → x = 0; x + 1 = −1/2 → x = −1,5 (x = 0: 1 + 1 − 2 = 0; x = −1,5: 4 − 2 − 2 = 0). 3) t = (x − 1)/x, вторая дробь 3/t: t² − 4t + 3 = 0 → t = 1 или 3; (x − 1)/x = 1 → −1 = 0 — нет; x − 1 = 3x → x = −0,5 (−1,5/(−0,5) = 3; −1,5/(−1,5) = 1; сумма 4).

R05.6 · ПР-9

Ловушка 1 · исследуем

Сколько корней у $\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ ?

ОДЗ

x \neq = - 2, x \neq = 2

x (x - 2) + 2 (x + 2) = 8

x^{2} + 4 = 8 \to x^{2} = 4

x = 2

✗

x = - 2

✗

Ответ: корней нет

R05.6 · ПР-5

Ловушка 2 · знаки

Решим $\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{3 x - 10}{2 - x}$

дробь меняет знак

\frac{3 x - 10}{2 - x} = - \frac{3 x - 10}{x - 2}

ОДЗ

x \neq = 2

\frac{x ^{2}}{x - 2} + \frac{3 x - 10}{x - 2} = 0

x^{2} + 3 x - 10 = 0

x = 2

✗

x = - 5

Ответ: −5

R05.6 · ПР-9

Задания с самопроверкой · ловушки

Не попадись: отбор и знаки

1) Решите: $\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}$

$x = 3$ ✗ → ответ: −3

2) Решите: $\frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{3 x - 4}{1 - x}$

$x = 1$ ✗ → ответ: −4

3) Сколько корней? $\frac{x}{x + 4} + \frac{4}{x - 4} = \frac{32}{x ^{2} - 16}$

ни одного: $x = \pm 4$ ✗

R05.6

Осторожно

Типичные ошибки практикума

Ошибка	Неверно	Верно
НОЗ — произведение всех знаменателей	$(x^{2} - 3 x) (x^{2} - 9) (x^{2} + 3 x)$	$x (x - 3) (x + 3)$
знак у 2 − x	$2 - x = x - 2$	$2 - x = - (x - 2)$
после замены	Ответ: $t = 2; \frac{1}{2}$	вернуться к $x$ : $- 2; 1$
все корни посторонние	Ответ: $\pm 2$	корней нет
«запрет» там, где его нет	$x^{2} + 1 \neq = 0 \to x \neq = \pm 1$	$x^{2} + 1 > 0$ при любом $x$

Самопроверка: подставьте каждый корень в каждый знаменатель. Получили 0 — вычеркнуть.

R05.6

Найди ошибку

Ученик решил так. Где он ошибся?

1) $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 0 \Rightarrow$ «Ответ: ±2»

$x = 2$ запрещён → −2

2) НОЗ для $\frac{1}{x ^{2} - 1}$ и $\frac{1}{x - 1}$ : « $(x^{2} - 1) (x - 1)$ »

НОЗ $= x^{2} - 1$

3) $t = \frac{1}{x}$ , $t^{2} - 5 t + 4 = 0 \Rightarrow$ «Ответ: 1; 4»

это t; $x = 1; \frac{1}{4}$

4) $\frac{x}{x - 5} = \frac{5}{5 - x} \Rightarrow x = 5$

$x = - 5$

R05.6

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Решите — проверим всем классом

база $\frac{x ^{2} - 7 x + 10}{x - 5} = 0$ 2
база $\frac{x}{x - 3} = \frac{2 x + 5}{x + 1}$ −3; 5
повыш. $\frac{x - 5}{x ^{2} - 3 x} + \frac{2}{x ^{2} - 9} = \frac{1}{x ^{2} + 3 x}$ 4

повыш. $\frac{x}{x - 2} + \frac{x - 2}{x} = \frac{10}{3}$ −1; 3
практикаВремя пути туда и обратно, ч:
$t = \frac{30}{v} + \frac{30}{v + 5}$
Найдите скорость v (км/ч) при t = 5. 10 км/ч
ОГЭ, линия 20 $\frac{1}{( x - 3 ) ^{2}} - \frac{3}{x - 3} - 4 = 0$ 2; 3,25

4 мин · практика
Работа в парах: 1–4 — все, 5–6 — кто успел (иначе в ДЗ). Ответы открываются по одному, ученики отмечают «+».
Ответы: 1) 2 [x² − 7x + 10 = 0 → 2; 5; x = 5 посторонний; проверка: 4 − 14 + 10 = 0, 2 − 5 ≠ 0].
2) −3; 5 [x(x + 1) = (x − 3)(2x + 5) → x² + x = 2x² − x − 15 → x² − 2x − 15 = 0; ОДЗ x ≠ 3, −1; проверка: 5/2 = 15/6; −3/(−6) = 1/2 = −1/(−2)].
3) 4 [НОЗ x(x − 3)(x + 3): (x − 5)(x + 3) + 2x = x − 3 → x² − x − 12 = 0 → 4; −3; x = −3 посторонний; проверка: −1/4 + 2/7 = 1/28 = 1/(16 + 12)].
4) −1; 3 [t = x/(x − 2): t + 1/t = 10/3 → 3t² − 10t + 3 = 0 → t = 3 или 1/3; x = 3x − 6 → x = 3; 3x = x − 2 → x = −1; проверка: 3 + 1/3 = 10/3; 1/3 + 3 = 10/3].
5) 10 км/ч [30(2v + 5) = 5v(v + 5) → v² − 7v − 30 = 0 → 10; −3; скорость положительна; проверка: 3 + 2 = 5]. Модель дана — составлять уравнение будем на ALG8-056.
6) 2; 3,25 [замена t = 1/(x − 3): t² − 3t − 4 = 0 → t = 4 или −1; x − 3 = 1/4 → x = 3,25; x − 3 = −1 → x = 2; проверка: x = 2: 1 + 3 − 4 = 0; x = 3,25: 16 − 12 − 4 = 0]. Формат линии 20: полное решение с обоснованием, 2 балла.

R05.6

Самостоятельная работа

Два варианта · 5 минут

Вариант 1

$\frac{x ^{2} - 8 x + 15}{x - 3} = 0$ 5
$\frac{6}{x} = x + 1$ −3; 2
$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ −6
$\frac{1}{x ^{2}} - \frac{5}{x} + 4 = 0$ 0,25; 1

Вариант 2

$\frac{x ^{2} - 9 x + 14}{x - 7} = 0$ 2
$\frac{12}{x} = x + 1$ −4; 3
$\frac{x}{x - 3} + \frac{3}{x + 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$ −9
$\frac{1}{x ^{2}} - \frac{6}{x} + 5 = 0$ 0,2; 1

5 мин · практика
4 мин на решение, 1 мин — взаимопроверка в парах по открытым ответам. Оценка: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
В-1: 1) x² − 8x + 15 = 0 → 3; 5; x ≠ 3 → 5 (25 − 40 + 15 = 0; 5 − 3 = 2 ≠ 0). 2) x² + x − 6 = 0 → 2; −3; x ≠ 0 (6/2 = 3 = 2 + 1; 6/(−3) = −2 = −3 + 1). 3) НОЗ (x − 2)(x + 2): x(x + 2) + 2(x − 2) = 8 → x² + 4x − 12 = 0 → 2; −6; x = 2 посторонний → −6 (−6/(−8) + 2/(−4) = 0,75 − 0,5 = 0,25; 8/32 = 0,25). 4) t = 1/x: t² − 5t + 4 = 0 → t = 1; 4 → x = 1; 0,25 (x = 0,25: 16 − 20 + 4 = 0).
В-2: 1) x² − 9x + 14 = 0 → 2; 7; x ≠ 7 → 2 (4 − 18 + 14 = 0; 2 − 7 ≠ 0). 2) x² + x − 12 = 0 → 3; −4; x ≠ 0 (12/3 = 4 = 3 + 1; 12/(−4) = −3 = −4 + 1). 3) НОЗ (x − 3)(x + 3): x(x + 3) + 3(x − 3) = 18 → x² + 6x − 27 = 0 → 3; −9; x = 3 посторонний → −9 (−9/(−12) + 3/(−6) = 0,75 − 0,5 = 0,25; 18/72 = 0,25). 4) t = 1/x: t² − 6t + 5 = 0 → t = 1; 5 → x = 1; 0,2 (x = 0,2: 25 − 30 + 5 = 0).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти НОЗ дробей?
Когда помогает замена?
Может ли у дробного уравнения не быть корней?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 4} = 0$ ; $\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{2 x - 1}{x + 2}$
Сколько корней?
$\frac{x}{x + 3} + \frac{3}{x - 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

2 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) −3 [x² + x − 6 = 0 → 2; −3; x = 2 запрещён; проверка: 9 − 3 − 6 = 0, 9 − 4 = 5 ≠ 0]; 2) −7; 1 [(x + 1)(x + 2) = (x + 5)(2x − 1) → x² + 3x + 2 = 2x² + 9x − 5 → x² + 6x − 7 = 0; проверка: 2/6 = 1/3; −6/(−2) = 3 = −15/(−5)]; 3) корней нет [x(x − 3) + 3(x + 3) = 18 → x² + 9 = 18 → x = ±3 — оба запрещены].
Рефлексия: разложить знаменатели и взять каждый множитель один раз; когда выражение и обратное к нему повторяются; да — если все корни целого уравнения посторонние.
Следующий урок — ALG8-056: текстовые задачи, которые сводятся к дробным и квадратным уравнениям.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-055 · Практикум: простейшие дробно-рациональные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 13/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.6 «Простейшие дробно-рациональные уравнения» → 2, 5–21 · повторение (R05.6 на ALG8-048, R04 разложение, R05.2–R05.5 корни квадратного уравнения) → 3–4 · R05.5 (замена переменной) как приём → 12–13, 18–20
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным) → 6–16, 18–20 · ПР-5 / REQ-2.2 (преобразования алгебраических дробей, НОЗ) → 3–4, 10–11, 15–16 · ПР-9 / REQ-3.2 (сколько корней) → 14, 16, 21 · вид деятельности R05: замена переменной → 12–13, 19–20
ОГЭ	задание 6 слайда 19 — линия 20 (уравнение, часть 2); задание 4 самостоятельной (сл. 20) — тот же приём замены
Вне урока	составление уравнений по условию текстовой задачи — ALG8-056 (R05.7) · обобщение строки — ALG8-057 · графики дробных функций — не изучаются
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 2, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17) · практика 32 мин (сл. 3, 4, 7, 9, 11, 13, 16, 18–21) — 71 %
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: простейшие дробно-рациональные уравнения

Сегодня вы научитесь

Узнавать тип

Раскладывать знаменатели

Делать замену

Считать корни

Какие значения x запрещены?

Отвечаем в уме — ответ по клику

Посмотри на уравнение — выбери способ

Решим x2−9x2−x−6​=0

Дробь равна нулю: A = 0, B ≠ 0

Образец

Сам

Решим x+2x−2​=x+12x−1​

Пропорция: крайние = средние

Образец

Сам

Решим x2−3xx−6​+x2−92​=x2+3x1​

Разложить → НОЗ → отбор

Образец

Сам

Решим x+1x​+xx+1​=25​

Замена: решить для t — вернуться к x

Образец

Сам

Сколько корней у x+2x​+x−22​=x2−48​?

Решим x−2x2​=2−x3x−10​

Не попадись: отбор и знаки

Типичные ошибки практикума

Ученик решил так. Где он ошибся?

Решите — проверим всем классом

Два варианта · 5 минут

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-055 · Практикум: простейшие дробно-рациональные уравнения

Решим $\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9} = 0$

Решим $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

Решим $\frac{x - 6}{x ^{2} - 3 x} + \frac{2}{x ^{2} - 9} = \frac{1}{x ^{2} + 3 x}$

Решим $\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{5}{2}$

Сколько корней у $\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ ?

Решим $\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{3 x - 10}{2 - x}$