Квадратные уравнения · урок 12 из 15

Практикум: решение уравнений, сводящихся к квадратным

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-054

Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 12/15, единица R05.5 «Решение уравнений, сводящихся к квадратным». Тип урока — П (практикум). Новый материал дан на уроке ALG8-047; здесь — новые типы и более сложные случаи.
1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · всего 45 мин.
Теория (сл. 1, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15): 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 мин — образцы четырёх типов и исследование числа корней показывает учитель. Практика (сл. 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16–23): 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 31 мин.
После каждого типа: образец (учитель) → сразу «решите сами» (ученики). Слайд 22 «Дополнительно» — только для сильного класса или как задача со звёздочкой; при нехватке времени задания 4–6 сл. 19 — на дом.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать тип

по виду уравнения выбирать способ: преобразования, разложение, замена

Раскладывать группировкой

уравнения третьей степени с четырьмя членами

Решать заменой

биквадратные уравнения с a ≠ 1 и уравнения с повтором выражения

Исследовать

сколько корней у уравнения — до решения, по корням t

1 мин · теория
ПР-8 (REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными» — сл. 5–10, 13–14, 17–21.
ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько, и прочее)» — сл. 11–12, 15, 19.
ПР-6 (REQ-2.3) как опора: разложение на множители (группировка) — сл. 7–8.
Виды деятельности ФРП (R05): «Решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с помощью преобразований и заменой переменной».

повторение: R05.3–R05.5

Разминка · устно

Без тетради: формулы и простые уравнения

Раскройте или разложите

$(x + 3)^{2}$ $x^{2} + 6 x + 9$
$(x - 2) (x + 2)$ $x^{2} - 4$
$x^{3} - 4 x$ $x (x - 2) (x + 2)$
$- (x^{2} - 5)$ $- x^{2} + 5$

Решите уравнение

$x^{2} = 16$ $\pm 4$
$x^{2} = - 9$ корней нет
$x^{2} = 0, 25$ $\pm 0, 5$
$t^{2} - 5 t + 6 = 0$ 2; 3

повторение: R05.5 (ALG8-047)

Вспомним · разложите по способам

Какой способ подходит каждому уравнению?

R05.5

Тип 1 · преобразования · образец

Скобки с обеих сторон: раскрыть, перенести, упростить

$(2 x + 1)^{2} - (x - 1) (x + 1) = 2 x + 10$

$4 x^{2} + 4 x + 1 - (x^{2} - 1) = 2 x + 10$ формулы

$3 x^{2} + 4 x + 2 = 2 x + 10$

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ всё влево

$D = 4 + 96 = 100, x = \frac{- 2 \pm 10}{6}$

$x = - 2; x = \frac{4}{3}$

Минус перед скобкой меняет все знаки:

- (x^{2} - 1) = - x^{2} + 1

Ваша очередь

(x + 3)(x − 3) = 2x(x + 1) − 24

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Проверка x = −2: (−3)² − (−3)(−1) = 9 − 3 = 6; 2 · (−2) + 10 = 6 ✓. x = 4/3: (11/3)² − (1/3)(7/3) = 121/9 − 7/9 = 38/3; 8/3 + 10 = 38/3 ✓.
Вопрос классу: «Где здесь скрыта ловушка?» — скобка (x² − 1) после минуса.
Ваша очередь: x² − 9 = 2x² + 2x − 24 → 0 = x² + 2x − 15 → x = 3, x = −5 (Виета: 3 + (−5) = −2, 3 · (−5) = −15). Проверка x = 3: 0 = 24 − 24 ✓; x = −5: 16 = 40 − 24 ✓.
Совет: если старший коэффициент получился отрицательным, умножьте обе части на −1 (или переносите в ту сторону, где x² больше).

R05.5

Тип 1 · решите сами

Раскройте скобки и решите

база $(x - 2)^{2} = 3 x - 2$ 1; 6
база $(x + 1) (x - 1) = 2 (x + 7)$ −3; 5
повыш. $(2 x - 1)^{2} - (x + 2) (x - 2) = 4 x + 8$ $- \frac{1}{3}$ ; 3

R05.5

Тип 2 · разложение группировкой · образец

x³ + 2x² − 9x − 18 = 0: четыре члена — по два

Ответ: −3; −2; 3

Ваша очередь

x³ − 3x² − 4x + 12 = 0

R05.5

Тип 2 · решите сами

Сгруппируйте по два и решите

база $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0$ −3; 2; 3
база $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$ −3; −2; 2
повыш. $2 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4 = 0$ −2; 0,5; 2
повыш. $x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0$ −1

R05.5

Тип 3 · биквадратное, a ≠ 1 · образец

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ : корни $t$ — дроби, корней $x$ — четыре

R05.5

Тип 3 · решите сами

Биквадратные уравнения: замена $t = x^{2}$ , $t \geq 0$

база $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ ±1; ±3
база $x^{4} + 2 x^{2} - 3 = 0$ ±1
база $x^{4} - 9 x^{2} = 0$ 0; ±3
повыш. $4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$ ±0,5; ±3

R05.5

Тип 3 · исследуем · сколько корней

Число корней x решает знак корней t

2 мин · теория (исследование показывает учитель)
Ось на каждой строке — ось t; точки — корни квадратного уравнения относительно t.
1) t² − 5t − 36 = 0: D = 25 + 144 = 169, t = (5 ± 13)/2 → 9; −4 → x = ±3 (2 корня). 2) t² + 4t + 3 = 0 → t = −1; −3, оба отрицательные → корней нет. 3) t² − 4t = 0 → t = 0; 4 → x = 0; ±2 (3 корня).
Каждый положительный t даёт два корня x, t = 0 — один (x = 0), отрицательный — ни одного.
Вопрос: «Как сразу, без D, понять, что во 2) корней нет?» — все коэффициенты положительные: x⁴ + 4x² + 3 ≥ 3 > 0.

R05.5

Исследуйте сами · самопроверка

Найдите корни t и скажите, сколько корней x

уравнение	корни t	число корней x
$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$	4 и 9	4
$x^{4} + x^{2} - 6 = 0$	2 и −3	2
$x^{4} + 5 x^{2} = 0$	0 и −5	1
$x^{4} + 7 x^{2} + 10 = 0$	−2 и −5	нет
$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 0$	1	2

R05.5

Тип 4 · замена выражения · образец

(x² + 2x)(x² + 2x − 2) = 3: найдите повтор

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Без замены получилось бы уравнение четвёртой степени. Здесь t ≥ 0 не требуется: x² + 2x может быть отрицательным (например, при x = −1 оно равно −1).
Обратная замена: t = −1 → x² + 2x + 1 = 0 → (x + 1)² = 0 → x = −1 (один корень). Проверка t: 9 − 6 − 3 = 0 ✓, 1 + 2 − 3 = 0 ✓; x = 1: 3 · 1 = 3 ✓; x = −1: (−1)(−3) = 3 ✓.
Ваша очередь: (x − 1)⁴ − 5(x − 1)² + 4 = 0. t = (x − 1)² ≥ 0: t² − 5t + 4 = 0 → t = 1, t = 4 → x − 1 = ±1, x − 1 = ±2 → x = 0; 2; −1; 3. Проверка x = 3: 16 − 20 + 4 = 0 ✓.

R05.5

Тип 4 · решите сами

Найдите повтор, сделайте замену, решите

база $(x^{2} - x)^{2} - 8 (x^{2} - x) + 12 = 0$ −2; −1; 2; 3
база $(x + 2)^{4} - 10 (x + 2)^{2} + 9 = 0$ −5; −3; −1; 1
повыш. $(x^{2} + x) (x^{2} + x - 4) = 12$ −3; 2

R05.5

Тип 4 · исследуем графиком

(x² − 4x)² + 9(x² − 4x) + 20 = 0: сколько корней?

$t = x^{2} - 4 x$

$t^{2} + 9 t + 20 = 0$

$t_{1} = - 4, t_{2} = - 5$

$x^{2} - 4 x = - 4 \Rightarrow$ $x = 2$

$x^{2} - 4 x = - 5 \Rightarrow$ корней нет

t = x^{2} - 4 x

не бывает меньше

- 4

R05.5

Найди ошибку

Четыре ошибки практикума

Неверно	Верно
$- (x^{2} - 1) = - x^{2} - 1$	$- (x^{2} - 1) = - x^{2} + 1$
$x^{2} (x + 2) - 9 (x - 2)$	$x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$
$x^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4}$	$x^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$
$t = x^{2} + 2 x, t = - 1$ — «не подходит»	$t \geq 0$ — только при $t = x^{2}$

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Определите тип, решите и сверьте ответ

база $(x + 4)^{2} = 3 x + 16$ −5; 0
база $x^{3} - 16 x = 0$ −4; 0; 4
база $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ ±1; ±2
база $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 = 0$ −2; 1; 2

R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите и сверьте ответ

повыш. $9 x^{4} - 37 x^{2} + 4 = 0$ $\pm 2$ ; $\pm \frac{1}{3}$
повыш. $(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$ −1; 1; 3
ОГЭ, линия 20 $x^{4} = (x + 2)^{2}$ −1; 2
практикаДно коробки — квадрат со стороной $x$ дм, высота на 2 дм больше. Объём коробки $9 x + 18$ дм³. Найдите $x$ . 3 дм

2 мин · практика
1) 9t² − 37t + 4 = 0, D = 1369 − 144 = 1225, t = (37 ± 35)/18 → 4; 1/9 → ±2; ±1/3. Проверка x = 1/3: 1/9 − 37/9 + 36/9 = 0 ✓.
2) t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0 → t = 3; −1. x² − 2x − 3 = 0 → 3; −1; x² − 2x + 1 = 0 → 1. Ответ: −1; 1; 3 (t = −1 подходит — здесь t не квадрат).
3) x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → 2; −1; или x² = −(x + 2) → x² + x + 2 = 0, D < 0 — нет. Проверка: x = 2: 16 = 16 ✓; x = −1: 1 = 1 ✓.
4) x²(x + 2) = 9x + 18 → x³ + 2x² − 9x − 18 = 0 → (x + 2)(x² − 9) = 0 → −2; ±3. Длина положительна → x = 3 дм. Проверка: 9 · 5 = 45 дм³ и 27 + 18 = 45 ✓. Это уравнение — образец типа 2 (сл. 7), только «в жизни».

R05.5

Самостоятельно · все типы

Решите уравнения

база(x − 4)² = 2x − 8
базаx⁴ − 17x² + 16 = 0
базаx³ + 5x² − x − 5 = 0

повыш.(x² + x)² − 14(x² + x) + 24 = 0
повыш.x⁴ − 2x² − 8 = 0
практикаНе решая, докажите, что уравнение x⁴ + 6x² + 5 = 0 не имеет корней.

3 мин · практика
1) x² − 8x + 16 = 2x − 8 → x² − 10x + 24 = 0 → 4; 6 (проверка: x = 6: 4 = 4 ✓; x = 4: 0 = 0 ✓). 2) t² − 17t + 16 = 0 → t = 1; 16 → ±1; ±4. 3) x²(x + 5) − (x + 5) = (x + 5)(x² − 1) = 0 → −5; ±1.
4) t = x² + x: t² − 14t + 24 = 0 → t = 2; 12. x² + x − 2 = 0 → 1; −2; x² + x − 12 = 0 → 3; −4. Ответ: −4; −2; 1; 3. 5) t² − 2t − 8 = 0 → t = 4; −2 (не подходит) → ±2.
6) x⁴ ≥ 0, 6x² ≥ 0, значит x⁴ + 6x² + 5 ≥ 5 > 0 (или: t = −1; −5 — оба отрицательные).
1–3 обязательны всем, 4–6 — кто справился (остальное — на дом). Взаимопроверка по ответам в парах.

R05.5

Самостоятельная работа

Два варианта — по 4 уравнения

Вариант 1

$(x - 3)^{2} = 2 x - 6$ 3; 5
$x^{4} - 26 x^{2} + 25 = 0$ ±1; ±5
$x^{3} + 2 x^{2} - 25 x - 50 = 0$ −5; −2; 5
$(x^{2} + 2 x)^{2} - 11 (x^{2} + 2 x) + 24 = 0$ −4; −3; 1; 2

Вариант 2

$(x + 2)^{2} = 2 x + 7$ −3; 1
$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$ ±2; ±4
$x^{3} - 3 x^{2} - 16 x + 48 = 0$ −4; 3; 4
$(x^{2} - 3 x)^{2} - 14 (x^{2} - 3 x) + 40 = 0$ −2; −1; 4; 5

3 мин · практика
Вариант 1: 1) x² − 6x + 9 = 2x − 6 → x² − 8x + 15 = 0 → 3; 5 (проверка x = 5: 4 = 4 ✓). 2) t² − 26t + 25 = 0 → t = 1; 25 → ±1; ±5. 3) (x + 2)(x² − 25) = 0 → −2; ±5. 4) t = x² + 2x: t² − 11t + 24 = 0 → t = 3; 8; x² + 2x − 3 = 0 → 1; −3; x² + 2x − 8 = 0 → 2; −4.
Вариант 2: 1) x² + 4x + 4 = 2x + 7 → x² + 2x − 3 = 0 → 1; −3 (проверка x = −3: 1 = 1 ✓). 2) t² − 20t + 64 = 0 → t = 4; 16 → ±2; ±4. 3) (x − 3)(x² − 16) = 0 → 3; ±4. 4) t = x² − 3x: t² − 14t + 40 = 0 → t = 4; 10; x² − 3x − 4 = 0 → 4; −1; x² − 3x − 10 = 0 → 5; −2.
Решение в тетради, затем взаимопроверка в парах по ответам на экране (по клику). Задание 4 можно оценить отдельно.

R05.5

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение $x^{4} = (2 x - 3)^{2}$

Баллы	Критерий
2	верно, обосновано, получен ответ
1	ход верный, одна вычислительная ошибка
0	не соответствует критериям

R05.5

Дополнительно

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24: сгруппируйте пары

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как понять, что пора делать замену?
Когда нужно условие t ≥ 0, а когда нет?
Сколько корней x даёт t > 0, t = 0, t < 0?

Домашнее задание

(3x − 1)(x + 2) = 2x² + 2x + 8
4x⁴ − 17x² + 4 = 0
x⁴ = (x − 6)² (ОГЭ, 20)
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) 3x² + 5x − 2 = 2x² + 2x + 8 → x² + 3x − 10 = 0 → 2; −5 (проверка: x = 2: 5 · 4 = 20 и 8 + 4 + 8 = 20 ✓). 2) 4t² − 17t + 4 = 0, D = 289 − 64 = 225, t = (17 ± 15)/8 → 4; ¼ → ±2; ±½. 3) x² = x − 6 (D < 0, нет) или x² = −x + 6 → x² + x − 6 = 0 → 2; −3 (проверка: 16 = 16; 81 = 81 ✓).
Рефлексия: замена — когда повторяется выражение или есть только x⁴ и x²; t ≥ 0 — только при t = x² (или t = (…)²); t > 0 → два корня, t = 0 → один, t < 0 → ни одного.
Следующий урок — ALG8-055, практикум «Простейшие дробно-рациональные уравнения» (R05.6).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-054 · Практикум: решение уравнений, сводящихся к квадратным

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 12/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.5 «Решение уравнений, сводящихся к квадратным» → 2–23 (разминка → 3–4; тип 1 → 5–6; тип 2 → 7–8; тип 3 → 9–10; число корней → 11–12; тип 4 → 13–14; график → 15; ошибки → 16; самопроверка → 17–18; задания → 19; самостоятельная работа → 20; ОГЭ → 21; дополнительно → 22)
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные уравнения и сводящиеся к ним) → 2, 5–10, 13–14, 17–21, 23 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование числа корней, в т. ч. графически) → 2, 11–12, 15, 19 · ПР-6 / REQ-2.3 и разложение на множители (опора) → 3, 7–8 · виды деятельности R05: решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с помощью преобразований и заменой переменной → 3–15
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
ОГЭ	слайд 21 — линия 20 (уравнение, часть 2); сл. 18 № 3 — линия 20; ДЗ № 3 — линия 20
Вне урока	новый материал по R05.5 — ALG8-047 · дробно-рациональные уравнения — ALG8-055 (R05.6) · текстовые задачи — ALG8-056 (R05.7) · обобщение по строке — ALG8-057
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: решение уравнений, сводящихся к квадратным

Сегодня вы научитесь

Узнавать тип

Раскладывать группировкой

Решать заменой

Исследовать

Без тетради: формулы и простые уравнения

Раскройте или разложите

Решите уравнение

Какой способ подходит каждому уравнению?

Скобки с обеих сторон: раскрыть, перенести, упростить

Ваша очередь

Раскройте скобки и решите

x³ + 2x² − 9x − 18 = 0: четыре члена — по два

Ваша очередь

Сгруппируйте по два и решите

4x4−5x2+1=0: корни t — дроби, корней x — четыре

Биквадратные уравнения: замена t=x2, t≥0

Число корней x решает знак корней t

Найдите корни t и скажите, сколько корней x

(x² + 2x)(x² + 2x − 2) = 3: найдите повтор

Найдите повтор, сделайте замену, решите

(x² − 4x)² + 9(x² − 4x) + 20 = 0: сколько корней?

Четыре ошибки практикума

Определите тип, решите и сверьте ответ

Решите и сверьте ответ

Решите уравнения

Два варианта — по 4 уравнения

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение x4=(2x−3)2

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24: сгруппируйте пары

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-054 · Практикум: решение уравнений, сводящихся к квадратным

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ : корни $t$ — дроби, корней $x$ — четыре

Биквадратные уравнения: замена $t = x^{2}$ , $t \geq 0$

Решите уравнение $x^{4} = (2 x - 3)^{2}$