Квадратные уравнения · урок 11 из 15

Практикум:
теорема Виета

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-053

Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 11/15, единица R05.4 «Теорема Виета». Тип урока — П (практикум). Теория дана на уроке 4/15 (ALG8-046); сегодня — отработка четырёх типов заданий.
0 мин · титул. Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), всего 45 мин.
Хронометраж: цели 0,5 (сл. 2, теория) · разминка 2 и блиц 1,5 (сл. 3–4, практика) · карта типов 1 (сл. 5, теория) · четыре образца 10,5 (сл. 6, 8, 10, 12, теория) · «ваша очередь» по каждому типу 12 (сл. 7, 9, 11, 13, практика) · задания с самопроверкой 6 (сл. 14–15) · найди ошибку 2 (сл. 16) · самостоятельная работа 5 (сл. 17) · задачи из жизни 2 (сл. 18) · ОГЭ 1,5 (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 20). Итого: теория 12 мин, практика 33 мин.
Урок-практикум (тип П): теория — только образцы, которые разбирает учитель; всё остальное делают ученики. Ответы на слайдах практики открываются по клику.
Если класс слабый — тип 4 (сл. 12–13) сократить до устного разбора образца, а слайд 15 перенести в ДЗ.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Подбирать корни

приведённого уравнения и проверять их обратной теоремой

Находить второй корень

и неизвестный коэффициент по одному корню

Составлять уравнение

по его корням, в том числе дробным

Исследовать

знаки корней, не решая уравнение

0,5 мин · теория
ПР-8 (REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными» — сл. 6–11, 14, 17–19.
ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)» — сл. 12–13, 15–16.
Виды деятельности ФРП (R05): «Формулировать теорему Виета, а также обратную теорему, применять эти теоремы для решения задач».

повторение: R05.3, R05.4

Разминка · устно

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

1

$6 \cdot (- 4)$ и $6 + (- 4)$

- 24

;

2

2

$- (- 7)$

7

3

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$ сумма корней

9

4

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$ произведение корней

- 12

5

сумма $7$ ,
произведение $12$ какие два числа?

3

и

4

6

сумма $- 8$ ,
произведение $15$ какие два числа?

- 3

и

- 5

7

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$ найдите D

- 16

: корней нет

8

$0, 5 \cdot (- 6)$
$0, 5 + (- 6)$

- 3

;

- 5, 5

повторение: R05.3, R05.4

Блиц · устно

Сумма и произведение корней

Уравнение	x₁ + x₂	x₁ · x₂
x² − 8x + 15 = 0	8	15
x² + 3x − 10 = 0	−3	−10
2x² − 10x + 6 = 0	5	3
x² + x + 4 = 0	корней нет: D < 0

Если a ≠ 1 — сначала разделите на a

R05.4

План практикума

Четыре типа заданий

R05.4

Тип 1 · образец

Подбор корней: $x^{2} + 2 x - 24 = 0$

R05.4

Тип 1 · ваша очередь

Найдите корни подбором

базаx² − x − 12 = 04; −3
базаx² + 9x + 14 = 0−2; −7
базаx² − 10x + 21 = 03; 7
повыш.x² + 6x − 27 = 03; −9

R05.4

Тип 2 · образец

Один корень известен: $2 x^{2} + b x + 10 = 0$ , $x_{1} = - 1$

R05.4

Тип 2 · ваша очередь

Найдите второй корень и коэффициент

базаx² + px + 24 = 0, x₁ = −4
x₂ = −6; p = 10
базаx² − 8x + q = 0, x₁ = 11
x₂ = −3; q = −33
повыш.3x² − 5x + c = 0, x₁ = 2
$x_{2} = - \frac{1}{3}$ ; c = −2

R05.4

Тип 3 · образец

Уравнение по корням: −3 и 0,5

R05.4

Тип 3 · ваша очередь

Составьте уравнение с целыми коэффициентами

базакорни 5 и −2
x² − 3x − 10 = 0
базакорни −4 и −4
x² + 8x + 16 = 0
повыш.корни $\frac{1}{3}$ и 2
3x² − 7x + 2 = 0

R05.4

Тип 4 · образец

Знаки корней — не решая уравнение

R05.4

Тип 4 · ваша очередь

Заполните таблицу, не решая уравнения

Уравнение	D ≥ 0?	знак x₁x₂	знак x₁ + x₂	знаки корней
x² + 5x − 36 = 0	да	−	−	разные, перевес «−»
x² − 11x + 18 = 0	да	+	+	оба > 0
x² + 4x + 7 = 0	нет	—	—	корней нет
2x² + 9x + 4 = 0	да	+	−	оба < 0

Проверьте себя: найдите корни подбором или по формуле

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Решите в тетради — сверим по клику

1 · подбор

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$

3

и

4

2 · подбор

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

3

и

- 5

3 · подбор

$x^{2} + 11 x + 30 = 0$

- 5

и

- 6

4 · по корням

корни $2$ и $6$ приведённое уравнение

x^{2} - 8 x + 12 = 0

5 · сумма и произведение

$5 x^{2} - 15 x - 20 = 0$

3

;

- 4

6 · второй корень

$x_{1} = 3$ — корень
$x^{2} - 5 x + q = 0$

x_{2} = 2

;

q = 6

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Без формулы корней

повыш. $x_{1} = - 3$ — корень $x^{2} + p x + 18 = 0$ . Найдите $x_{2}$ и $p$ . $x_{2} = - 6$ ; $p = 9$
повыш.Уравнение с целыми коэффициентами, корни $\frac{2}{3}$ и $- 1$ . $3 x^{2} + x - 2 = 0$
повыш.Знаки корней $x^{2} + 7 x - 44 = 0$ , не решая. разные; отрицательный больше по модулю
повыш.Корни $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ — $x_{1}$ и $x_{2}$ . Найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ и $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ . $28$ ; $1, 5$

3 мин · практика
Для сильных — все четыре; остальным — № 1–3. Подсказку справа показать, если № 4 не пошёл.
Ответы: 1) произведение: −3 · x₂ = 18 → x₂ = −6; p = −(−3 − 6) = 9 (проверка: 9 − 27 + 18 = 0).
2) сумма −1/3, произведение −2/3 → x² + 1/3·x − 2/3 = 0, умножаем на 3: 3x² + x − 2 = 0 (проверка: x = −1: 3 − 1 − 2 = 0; x = 2/3: 4/3 + 2/3 − 2 = 0).
3) D = 49 + 176 = 225 > 0; произведение −44 < 0 → знаки разные; сумма −7 < 0 → больший по модулю отрицательный (корни −11 и 4).
4) D = 36 − 16 = 20 > 0; сумма 6, произведение 4: x₁² + x₂² = 36 − 8 = 28; 1/x₁ + 1/x₂ = 6 : 4 = 1,5.

R05.4

Осторожно

Найдите ошибку

Задание	Неверно	Верно	Почему
x² + 5x − 14 = 0	x₁ = −2, x₂ = 7	x₁ = 2, x₂ = −7	сумма = −p = −5
корни 3 и −4	x² − x − 12 = 0	x² + x − 12 = 0	p = −(x₁ + x₂)
3x² − 6x − 9 = 0	x₁ · x₂ = −9	x₁ · x₂ = −3	сначала : a
x² − 2x + 5 = 0	оба корня > 0	корней нет	D = 4 − 20 < 0

R05.4

Самостоятельная работа

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

Подбором: $x^{2} - 13 x + 36 = 0$ $4$ ; $9$
Приведённое, корни $- 6$ и $2$ $x^{2} + 4 x - 12 = 0$
$7$ — корень $x^{2} + p x - 21 = 0$ ; найдите $p$ и $x_{2}$ $p = - 4$ ; $x_{2} = - 3$
Целые коэффициенты, корни $- 0, 5$ и $3$ $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Вариант 2

Подбором: $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ $4$ ; $7$
Приведённое, корни $- 5$ и $3$ $x^{2} + 2 x - 15 = 0$
$6$ — корень $x^{2} + p x - 30 = 0$ ; найдите $p$ и $x_{2}$ $p = - 1$ ; $x_{2} = - 5$
Целые коэффициенты, корни $- 1, 5$ и $2$ $2 x^{2} - x - 6 = 0$

5 мин · практика
4 мин на решение, 1 мин — взаимопроверка в паре по ответам на слайде (открывать по клику после сбора тетрадей или обмена).
Вариант 1: 1) 4 и 9 (4 + 9 = 13, 4 · 9 = 36); 2) сумма −4, произведение −12 → x² + 4x − 12 = 0; 3) x₂ = −21 : 7 = −3, p = −(7 − 3) = −4 (проверка: 49 − 28 − 21 = 0); 4) p = −2,5, q = −1,5 → x² − 2,5x − 1,5 = 0 → 2x² − 5x − 3 = 0 (проверка: 18 − 15 − 3 = 0; 0,5 + 2,5 − 3 = 0).
Вариант 2: 1) 4 и 7 (4 + 7 = 11, 4 · 7 = 28); 2) сумма −2, произведение −15 → x² + 2x − 15 = 0; 3) x₂ = −30 : 6 = −5, p = −(6 − 5) = −1 (проверка: 36 − 6 − 30 = 0); 4) сумма 0,5, произведение −3 → x² − 0,5x − 3 = 0 → 2x² − x − 6 = 0 (проверка: 8 − 2 − 6 = 0; 4,5 + 1,5 − 6 = 0).

R05.4

Задачи из жизни

Стороны прямоугольника — корни уравнения

1. Периметр прямоугольника 34 см, площадь 60 см². Найдите его стороны. 5 см и 12 см

2. Участок площадью 96 м² обнесли забором длиной 40 м. Найдите длину и ширину участка. 12 м и 8 м

R05.4 · ОГЭ

В формате ОГЭ · линия 9

Задание из первой части

Решите уравнение x² − 6x − 16 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Подбор — быстро; не уверены — формула корней

Ответ: −2

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Какой тип был трудным?

1 подбор · 2 второй корень
3 по корням · 4 знаки
С чего начинать, если известен q?
Что проверить первым делом?

Домашнее задание

Подбором: x² + 3x − 40 = 0
5 — корень x² − 9x + q = 0;
найдите $q$ и $x_{2}$
Уравнение с корнями −0,4 и 5
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

1 мин · практика
Рефлексия: ученики поднимают пальцы — номер самого трудного типа; ответы на вопросы: с произведения; D ≥ 0 (есть ли корни).
Ответы ДЗ: 5 и −8 (25 + 15 − 40 = 0); x₂ = 9 − 5 = 4, q = 20; сумма 4,6, произведение −2 → x² − 4,6x − 2 = 0 → 5x² − 23x − 10 = 0 (проверка: 125 − 115 − 10 = 0; 0,8 + 9,2 − 10 = 0).
Предыдущий урок — ALG8-052 «Практикум: Формула корней квадратного уравнения». Следующий — ALG8-054 «Практикум: Решение уравнений, сводящихся к квадратным»: подбор корней пригодится после замены переменной.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-053 · Практикум: Теорема Виета

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 11/15 · тип П
Единицы → слайды	R05.4 «Теорема Виета» → 2, 5–20 · повторение R05.3, R05.4 → 3–4 · хронометраж: теория 12 мин (сл. 2, 5, 6, 8, 10, 12), практика 33 мин (73 %)
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные уравнения) → 6–11, 14, 17–19 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследования уравнений) → 12–13, 15–16 · EL-3.1 (теорема Виета) → 3–20
Вне урока	теория и доказательство теоремы — ALG8-046; уравнения, сводящиеся к квадратным, — ALG8-054; дробно-рациональные уравнения — ALG8-055; текстовые задачи — ALG8-056 (здесь только задачи о прямоугольнике, сл. 18)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:теорема Виета

Сегодня вы научитесь

Подбирать корни

Находить второй корень

Составлять уравнение

Исследовать

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

Сумма и произведение корней

Четыре типа заданий

Подбор корней: x2+2x−24=0

Найдите корни подбором

Один корень известен: 2x2+bx+10=0, x1​=−1

Найдите второй корень и коэффициент

Уравнение по корням: −3 и 0,5

Составьте уравнение с целыми коэффициентами

Знаки корней — не решая уравнение

Заполните таблицу, не решая уравнения

Решите в тетради — сверим по клику

Без формулы корней

Найдите ошибку

Два варианта — ответы по клику

Вариант 1

Вариант 2

Стороны прямоугольника — корни уравнения

Задание из первой части

Проверьте себя и потренируйтесь

Какой тип был трудным?

Домашнее задание

ALG8-053 · Практикум: Теорема Виета

Практикум:
теорема Виета

Подбор корней: $x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Один корень известен: $2 x^{2} + b x + 10 = 0$ , $x_{1} = - 1$