Квадратные уравнения · урок 10 из 15 · практикум

Практикум: формула корней квадратного уравнения

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-052

Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 10/15, единица R05.3 «Формула корней квадратного уравнения». Тип урока — П (практикум).
0 мин · титул. Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (учитель показывает и разбирает): цели 0,5 (сл. 2) · алгоритм 2 (сл. 5) · образцы: тип 1 — 2 (сл. 6), тип 2 — 2 + 2 (сл. 8–9), чётный b — 2 (сл. 11), параметр — 2 (сл. 13) · выбор способа 1,5 (сл. 16).
Практика (работают ученики): разминка 2,5 + 1,5 (сл. 3–4) · тип 1 — 3 (сл. 7) · тип 2 — 3,5 (сл. 10) · D₁ — 2 (сл. 12) · параметр — 2 (сл. 14) · найди ошибку 2 (сл. 15) · самопроверка 3 (сл. 17) · ОГЭ и задача из жизни 2,5 (сл. 18) · закрепление 3,5 (сл. 19) · самостоятельная 4,5 (сл. 20) · итог и ДЗ 1 (сл. 21).
Новую теорию не вводим: формулу вывели на уроке ALG8-045. Цель — уверенное и безошибочное применение.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать квадратные уравнения

по формуле корней — быстро и без ошибок в знаках (ПР-8)

Приводить уравнение к виду

ax² + bx + c = 0: раскрыть скобки, перенести, избавиться от дробей и минуса при x² (ПР-8)

Исследовать уравнение

по знаку D определять число корней, находить параметр, при котором корень один (ПР-9)

Выбирать способ

неполное уравнение, формула с D или с $D_{1}$ — что быстрее (REQ-3.1)

повторение: R05.1–R05.3

Разминка · устно

Назовите a, b, c, найдите D и число корней

Уравнение	a	b	c	D = b² − 4ac	корней
x² − 7x + 10 = 0	1	−7	10	49 − 40 = 9	2
4x² + 4x + 1 = 0	4	4	1	16 − 16 = 0	1
3x² − x + 2 = 0	3	−1	2	1 − 24 = −23	нет
−x² + 2x + 8 = 0	−1	2	8	4 + 32 = 36	2

повторение: R05.1–R05.3

Разминка · устно · блиц

Считаем в уме — без ошибок в знаках

$(- 7)^{2}$

49

$- 4 \cdot 1 \cdot (- 5)$

20

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$

−24

$121$

11

$b = - 8$ чему равно −b?

8

$\frac{- 3 + 5}{2}$

1

$- x^{2} + 3 x = 0$ a, b, c = ?

−1; 3; 0

$D = - 4$ сколько корней?

нет

R05.3

Опора на весь урок

Решаем по формуле за 5 шагов

R05.3

Тип 1 · полное уравнение · образец

2x² − 5x + 2 = 0

2

a = 2, b = −5, c = 2

3

D = (−5)² − 4·2·2 = 25 − 16 = 9

4

$D > 0 \to два корня, D = 3$

5

$x = \frac{5 \pm 3}{4} \to x_{1} = 0, 5, x_{2} = 2$

R05.3

Тип 1 · ваша очередь

Решите по алгоритму

1) 3x² + 5x − 2 = 0

D = 49 — два корня

2) x² − 6x + 9 = 0

D = 0 — один корень

3) 2x² + x + 3 = 0

D = −23 — корней нет

4) 5x² − 8x + 3 = 0

D = 4 — два корня

R05.3

Тип 2 · сначала шаг 1 · образец

(x − 2)(x + 3) = 2x

R05.3

Тип 2 · два удобных приёма · образец

Убираем минус при x² и дробные коэффициенты

−x² + 4x + 5 = 0

↓ умножим на (−1)

x² − 4x − 5 = 0

$D = 16 + 20 = 36 \to x = \frac{4 \pm 6}{2}$

$x_{1} = 5, x_{2} = - 1$

$\frac{x ^{2}}{2} - x - 4 = 0$

↓ умножим на 2

x² − 2x − 8 = 0

$D = 4 + 32 = 36 \to x = \frac{2 \pm 6}{2}$

$x_{1} = 4, x_{2} = - 2$

Умножили обе части на число ≠ 0 — корни не изменились, а считать проще.

R05.3

Тип 2 · ваша очередь

Приведите к виду ax² + bx + c = 0 и решите

1) 5x − 2 = 3x²

3x² − 5x + 2 = 0

2) −2x² + 3x + 2 = 0

2x² − 3x − 2 = 0

3) (x + 1)² = 2x + 5

x² − 4 = 0 — неполное!

4) $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x}{3} = \frac{1}{6}$

·6: 3x² − 2x − 1 = 0

R05.3

Дополнительно · тип 3 · чётный второй коэффициент

b = 2k: числа меньше — ошибок меньше

D_{1} = k^{2} - a c

x = \frac{- k \pm D _{1}}{a}

$D_{1} = D : 4$ — знак тот же

	через D	через $D_{1}$ , k = −7
3x² − 14x + 16 = 0
дискр.	196 − 192 = 4	49 − 48 = 1
корни	$\frac{14 \pm 2}{6}$	$\frac{7 \pm 1}{3}$
ответ	$2; 2 \frac{2}{3}$

Попробуйте: x² + 10x + 21 = 0; 4x² − 4x − 3 = 0

R05.3

Образец → сам · чётный второй коэффициент

Решите через $D_{1} = k^{2} - a c$

база $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 1; 5
база $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ 2; −6
база $x^{2} + 10 x + 21 = 0$ −3; −7

повыш. $5 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ 1; 0,6
повыш. $9 x^{2} + 6 x + 1 = 0$ $- \frac{1}{3}$
повыш. $4 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 1,5; −0,5

R05.3

Тип 4 · простейшее исследование · образец

При каком p уравнение x² + px + 9 = 0 имеет один корень?

1

один корень ⇔ D = 0

2

D = p² − 36 = 0

3

p = 6 или p = −6

4

корень: −3 или 3

пунктир — p = 0: парабола выше оси, корней нет

R05.3

Образец → сам · исследование

Сколько корней? При каком значении — один?

базаСколько корней у $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ ? нет
базаПри каком p уравнение $x^{2} + p x + 25 = 0$ имеет один корень? p = ±10
базаПри каком c уравнение $x^{2} - 6 x + c = 0$ имеет один корень? Найдите его. c = 9; x = 3

повыш.При каком a уравнение $a x^{2} + 4 x + 1 = 0$ имеет один корень? a = 4
повыш.При каких c уравнение $x^{2} + 2 x + c = 0$ не имеет корней? c > 1

R05.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку — и исправьте

Уравнение	Запись ученика	Верно
x² − 5x + 4 = 0	D = −25 − 16	D = (−5)² − 16 = 9
x² + 3x − 4 = 0	D = 9 − 16 = −7	D = 9 + 16 = 25
2x² − 5x + 2 = 0	x = (−5 ± 3) : 4	x = (5 ± 3) : 4
3x² = 5x − 2	a = 3, b = 5, c = −2	3x² − 5x + 2 = 0: b = −5, c = 2

R05.2–R05.3

Какой способ быстрее

Посмотрите на коэффициенты — потом решайте

R05.3

Задания с самопроверкой

Решите — ответы откроются по клику

база $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ 5; −2
база $6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{3}$
база $x^{2} + 6 x + 10 = 0$ корней нет

повыш. $(x + 4) (x - 1) = 2 x + 2$ 2; −3
повыш. $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{x}{2} = 2$ 2; −4
повыш. $(x - 2)^{2} = 3 x - 8$ 3; 4

R05.3

Формат ОГЭ · задача из жизни

Ответ — одно число

ОГЭ, линия 9Решите уравнение $x^{2} + 4 = 5 x$ . Если корней несколько, запишите меньший. 1
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $5 x^{2} + 9 x - 2 = 0$ . Если корней несколько, запишите больший. 0,2
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $- 2 x^{2} + 7 x - 3 = 0$ . Если корней несколько, запишите меньший. 0,5

практикаПлощадь участка 60 м², длина на 7 м больше ширины. Найдите ширину.

$x (x + 7) = 60$ 5 м

R05.3

Закрепление

Решите

базаx² + 2x − 15 = 0
база4x² − 12x + 9 = 0
повыш.2x(x − 1) = 3 − x
повыш.При каких b уравнение x² + bx + 16 = 0 имеет один корень?

практикаВысота мяча (м) через t с: h = 2 + 9t − 5t². Когда мяч будет на высоте 6 м?
ОГЭ, линия 9Решите уравнение x² − 6 = 5x. Если корней несколько, запишите больший.

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$ 2; 6
$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ $\frac{1}{3}$ ; −1
$(x - 1)^{2} = 3 - x$ 2; −1
При каком p уравнение $x^{2} + p x + 4 = 0$ имеет один корень? p = ±4

Вариант 2

$x^{2} - 9 x + 14 = 0$ 2; 7
$4 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ $\frac{1}{4}$ ; −1
$(x + 1)^{2} = 3 x + 7$ 3; −2
При каком p уравнение $x^{2} + p x + 49 = 0$ имеет один корень? p = ±14

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой шаг алгоритма самый первый и почему?
Чему равно −b, если b = −8?
Как по D узнать, что корень один?

Домашнее задание

2x² + 3x − 2 = 0; (x − 3)² = 2x − 6
При каком c уравнение 2x² − 4x + c = 0 имеет один корень?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-052 · Практикум: формула корней квадратного уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 10/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.3 «Формула корней квадратного уравнения» → 2–21 · опора R05.1–R05.2 → 3, 4, 10, 16
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные уравнения) → 5–12, 15–21 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование: есть ли корни, сколько) → 3, 4, 7, 13, 14, 19, 20 · EL-3.1 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %)
Вне урока	практикум «Теорема Виета» — ALG8-053; уравнения, сводящиеся к квадратным — ALG8-054; дробно-рациональные уравнения — ALG8-055; график квадратичной функции — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: формула корней квадратного уравнения

Сегодня вы научитесь

Решать квадратные уравнения

Приводить уравнение к виду

Исследовать уравнение

Выбирать способ

Назовите a, b, c, найдите D и число корней

Считаем в уме — без ошибок в знаках

Решаем по формуле за 5 шагов

2x² − 5x + 2 = 0

Решите по алгоритму

(x − 2)(x + 3) = 2x

Убираем минус при x² и дробные коэффициенты

Приведите к виду ax² + bx + c = 0 и решите

b = 2k: числа меньше — ошибок меньше

Решите через D1​=k2−ac

При каком p уравнение x² + px + 9 = 0 имеет один корень?

Сколько корней? При каком значении — один?

Найдите ошибку — и исправьте

Посмотрите на коэффициенты — потом решайте

Решите — ответы откроются по клику

Ответ — одно число

Решите

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-052 · Практикум: формула корней квадратного уравнения

Решите через $D_{1} = k^{2} - a c$