Практикум · урок 9 из 15

Практикум:
неполное
квадратное
уравнение

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-051

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 9/15, единица R05.2. Тип урока — П (практикум). Новый материал по теме был на уроке ALG8-044 «Неполное квадратное уравнение»; сегодня — отработка и более сложные случаи, не повтор.
Хронометраж: цели 1 мин (сл. 2) · разминка 3 (сл. 3) · опорная схема 2 (сл. 4) · тип 1: образец 3 + сами 3 (сл. 5–6) · тип 2: образец 3 + сами 2 (сл. 7–8) · тип 3: образец 3 + сами 3 (сл. 9–10) · блиц «сколько корней» 2 (сл. 11) · самопроверка база 3 и повышенный 3 (сл. 12–13) · ошибки 2 (сл. 14) · задачи 3 (сл. 15) · задачи из жизни 2 (сл. 16) · ОГЭ 2 (сл. 17) · самостоятельная 4 (сл. 18) · итог и ДЗ 1 (сл. 19).
Теория (учитель показывает): сл. 2, 4, 5, 7, 9 — 12 мин. Практика (работают ученики): сл. 3, 6, 8, 10–19 — 33 мин.
Если не успеваете: задание 5 на сл. 6, задание 4 на сл. 10, задания 7–8 на сл. 12 и вторая задача сл. 15 — в ДЗ.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать $a x^{2} + c = 0$

когда корень не извлекается нацело: $\pm 12 = \pm 23$ (ПР-8, ПР-2)

Решать $a x^{2} + b x = 0$

с дробными и отрицательными коэффициентами (ПР-8, REQ-3.1)

Сводить к неполному

раскрыть скобки, перенести, привести подобные (ПР-5, ПР-8)

Проверять и применять

число корней, задачи, ответ ОГЭ (ПР-9, ПР-10)

1 мин · теория
ПР-8 / REQ-3.1 (дословно ФРП): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными».
ПР-9 / REQ-3.2: «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-10 / REQ-3.3: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения… интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
ПР-2 / REQ-1.2 — свойства корней (√12 = 2√3); ПР-5 / REQ-2.2 — тождественные преобразования (раскрытие скобок).
Вид деятельности ФРП: «решать квадратные уравнения – полные и неполные. Проводить простейшие исследования квадратных уравнений».

повторение: R05.2

Разминка · устно

Какой вид? Сколько корней? Какие?

Уравнение	вид	число корней	корни
$x^{2} = 25$	b = 0	2	$\pm 5$
$- x^{2} = 0$	b = c = 0	1	$0$
$x^{2} + 4 = 0$	b = 0	0	—
$x^{2} = 3 x$	c = 0	2	$0; 3$
$6 x^{2} - 6 = 0$	b = 0	2	$\pm 1$

R05.2

Опора на весь урок

Алгоритм: сначала привести, потом решать

R05.2

Тип 1 · ax² + c = 0 · образец

Корень не извлекается нацело — упрощаем

пример 1

3 x^{2} - 36 = 0

3 x^{2} = 36

перенесли −36

x^{2} = 12

разделили на 3

x = \pm 12 =

$\pm 23$

12 = 4 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 23

пример 2 · десятичная дробь

0, 5 x^{2} - 8 = 0

0, 5 x^{2} = 8 \Rightarrow x^{2} = 16

$x = \pm 4$ 8 : 0,5 = 16

пример 3 · знаки

- 2 x^{2} - 50 = 0

- 2 x^{2} = 50 \Rightarrow x^{2} = - 25

корней нет

x^{2} \geq 0

R05.2

Тип 1 · решите сами

Уравнения вида $a x^{2} + c = 0$

база $4 x^{2} - 100 = 0$ $\pm 5$
база $0, 2 x^{2} = 1, 8$ $\pm 3$
база $7 x^{2} + 28 = 0$ корней нет
повыш. $2 x^{2} - 16 = 0$ $\pm 22$
повыш. $9 x^{2} - 4 = 0$ $\pm \frac{2}{3}$

R05.2

Тип 2 · ax² + bx = 0 · образец

Выносим x — даже с дробями и минусами

R05.2

Тип 2 · решите сами

Уравнения вида $a x^{2} + b x = 0$

база $x^{2} - 9 x = 0$ $0; 9$
база $5 x^{2} + 15 x = 0$ $- 3; 0$
повыш. $1, 5 x^{2} = 6 x$ $0; 4$
повыш. $\frac{x ^{2}}{3} + 2 x = 0$ $- 6; 0$

R05.2

Тип 3 · сводится к неполному · образец

Раскрыли скобки — и уравнение стало неполным

пример 1

(x - 4) (x + 4) = 9

x^{2} - 16 = 9

разность квадратов

x^{2} = 25

$x = \pm 5$

Нельзя приравнивать скобки к нулю: справа 9, а не 0!

пример 2

R05.2

Тип 3 · решите сами

Приведите к неполному и решите

база $(x - 3) (x + 3) = 7$ $\pm 4$
база $x (x + 6) = 2 x$ $- 4; 0$
повыш. $(x + 2)^{2} = 4 x + 13$ $\pm 3$
повыш. $(x - 1)^{2} + (x + 1)^{2} = 10$ $\pm 2$

R05.2 · опора R05.1

Блиц · устно · без решения

Сколько корней? Отвечаем за 10 секунд

1

5 x^{2} + 3 = 0

нет корней

5

0, 3 x^{2} = 0

1 корень

2

- 4 x^{2} + 9 = 0

2 корня

6

x^{2} + 6 = 6

1 корень

3

7 x^{2} - 2 x = 0

2 корня

7

2 x^{2} = - 8 x

2 корня

4

- x^{2} - 1 = 0

нет корней

8

(x - 1) (x + 1) = - 1

1 корень

a и c одного знака — корней нет · разных знаков — два · c = 0, b ≠ 0 — два · b = c = 0 — один

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

1

x^{2} - 49 = 0

\pm 7

5

0, 5 x^{2} - 2 = 0

\pm 2

2

2 x^{2} - 18 = 0

\pm 3

6

5 x^{2} + 20 = 0

корней нет

3

x^{2} + 7 x = 0

- 7; 0

7

x^{2} - 20 = 0

\pm 25

4

3 x^{2} = 27 x

0; 9

8

6 x^{2} - 3 x = 0

0; 0, 5

R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Дроби, скобки, квадраты сумм

1

25 x^{2} - 1 = 0

\pm 0, 2

4

(3 x - 1) (3 x + 1) = 8

\pm 1

2

\frac{x ^{2}}{2} - 8 = 0

\pm 4

5

(x + 5)^{2} = 10 x + 50

\pm 5

3

\frac{2}{3} x^{2} + 4 x = 0

- 6; 0

6

2 x (x - 3) = 16 - 6 x

\pm 22

R05.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Решение ученика	Что не так	Верно
$x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3$	потерян отрицательный корень	$x = \pm 3$
$2 x^{2} = 6 x : x \Rightarrow x = 3$	разделили на x — потерян корень 0	$0; 3$
$x^{2} = - 16 \Rightarrow x = \pm 4$	$(\pm 4)^{2} = 16$ , а не $- 16$	корней нет
$x^{2} - 5 = 0 \Rightarrow x = \pm 25$	возвели в квадрат вместо извлечения корня	$x = \pm 5$
$3 x^{2} = 0 \Rightarrow корней нет$	квадрат равен нулю у нуля	$x = 0$

R05.2 · опора R05.7

Практика · текстовые задачи

Неполное уравнение в задаче

1. Длина прямоугольника в 2 раза больше ширины, площадь — 72 см². Найдите стороны.

x = −6 не подходит: длина положительна. Ответ: 6 см и 12 см.

2. Квадрат числа в 3 раза больше самого числа. Что это за число?

x^{2} = 3 x

x (x - 3) = 0

$x = 0$ или $x = 3$

Здесь подходят оба корня:

0^{2} = 3 \cdot 0

и

3^{2} = 3 \cdot 3

. Ответ: 0 или 3.

R05.2 · опора R05.7

Практика · задачи из жизни

Формула есть — осталось решить уравнение

1. Камень падает с крыши высотой 80 м. Путь падения $h = 5 t^{2}$ (м, $t$ — в секундах). Через сколько секунд камень упадёт на землю?

5 t^{2} = 80

t^{2} = 16, t = 4

t = - 4

не подходит: время положительно

Ответ: через 4 с

2. Площадь круглой клумбы $S = 3 r^{2}$ (берём $π \approx 3$ ) равна 27 м². Найдите радиус клумбы.

3 r^{2} = 27

r^{2} = 9, r = 3

Ответ: 3 м

R05.2

Формат ОГЭ · линия 9

В ответ — одно число

вариант А

Решите уравнение

3 x^{2} - 12 x = 0

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Ответ: 4

вариант Б

Решите уравнение

2 x^{2} - 50 = 0

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ: −5

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — по одному на каждый тип

Вариант 1

1.

5 x^{2} - 80 = 0

2.

4 x^{2} + 9 x = 0

3.

(x + 1) (x - 1) = 2 x^{2} - 10

Ответы: 1)

\pm 4

· 2)

- 2, 25; 0

· 3)

\pm 3

Вариант 2

1.

3 x^{2} - 75 = 0

2.

2 x^{2} - 7 x = 0

3.

(x - 2) (x + 2) = 2 x^{2} - 20

Ответы: 1)

\pm 5

· 2)

0; 3, 5

· 3)

\pm 4

задание 1 — тип 1 · задание 2 — тип 2 · задание 3 — тип 3 · проверка в парах по ответам учителя

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по a и c сразу понять, что корней нет?
Почему нельзя делить на x?
Что делать, если в уравнении есть скобки?

Домашнее задание

$6 x^{2} - 54 = 0$ ; $0, 4 x^{2} + 2 x = 0$ ; $(2 x - 1) (2 x + 1) = 3$
Площадь квадрата 20 см². Найдите его сторону.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-051 · Практикум: Неполное квадратное уравнение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 9/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.2 «Неполное квадратное уравнение» → 2–19 · опора R05.1 (коэффициенты) → 3–4, 11 · опора R05.7 (текстовые задачи) → 15–16
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные уравнения) → 4–14, 17–18 · ПР-9 / REQ-3.2 (число корней) → 3–6, 11 · ПР-10 / REQ-3.3 (задачи) → 15–16 · ПР-2 / REQ-1.2 ( $12 = 23$ ) → 5–6, 12–13 · ПР-5 / REQ-2.2 (раскрытие скобок) → 9–10, 13
Хронометраж	теория 12 мин (сл. 2, 4, 5, 7, 9 — без сокращений) · практика 33 мин (сл. 3, 6, 8, 10–19) · 73 %
Вне урока	формула корней и дискриминант — ALG8-045, ALG8-052; теорема Виета — ALG8-046, ALG8-053; текстовые задачи подробно — ALG8-049, ALG8-056
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:неполноеквадратноеуравнение

Сегодня вы научитесь

Решать ax2+c=0

Решать ax2+bx=0

Сводить к неполному

Проверять и применять

Какой вид? Сколько корней? Какие?

Алгоритм: сначала привести, потом решать

Корень не извлекается нацело — упрощаем

Уравнения вида ax2+c=0

Выносим x — даже с дробями и минусами

Уравнения вида ax2+bx=0

Раскрыли скобки — и уравнение стало неполным

Приведите к неполному и решите

Сколько корней? Отвечаем за 10 секунд

Решите и сверьте ответ

Дроби, скобки, квадраты сумм

Найдите ошибку

Неполное уравнение в задаче

Формула есть — осталось решить уравнение

В ответ — одно число

Два варианта — по одному на каждый тип

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-051 · Практикум: Неполное квадратное уравнение

Практикум:
неполное
квадратное
уравнение

Решать $a x^{2} + c = 0$

Решать $a x^{2} + b x = 0$

Уравнения вида $a x^{2} + c = 0$

Уравнения вида $a x^{2} + b x = 0$