Квадратные уравнения · урок 7 из 15

Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-049

R05.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Составлять уравнение

переходить от условия задачи к алгебраической модели (ПР-10)

Решать его

квадратное уравнение — по формуле корней (ПР-8)

Отбирать корни

по смыслу задачи: длина, время, число предметов (ПР-10)

Действовать по плану

$x$ → уравнение → корни → ответ на вопрос задачи

повторение: R05.3–R05.6

Разминка · устно

Без тетради: корни и квадраты

Решите уравнение

$x^{2} = 49$ $\pm 7$
$x^{2} - 5 x = 0$ 0; 5
$x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 3; 4
$x^{2} + 2 x - 15 = 0$ 3; −5

Извлеките корень

$169$ 13
$289$ 17
$361$ 19
$625$ 25

повторение: R05.3–R05.6

Вспомним

Переведите на язык алгебры

словами	выражение
число, на 3 больше $x$	$x + 3$
натуральное число, следующее за $n$	$n + 1$
площадь прямоугольника $a \times b$	$ab$
время на путь 30 км при скорости $v$	$\frac{30}{v}$

Решите устно:

x^{2} + x - 12 = 0

$x = 3$ или $x = - 4$

Оба ли корня годятся, если $x$ — длина?

R05.7

Проблема

Площадь 40 см², одна сторона на 3 см больше другой

Найдите стороны прямоугольника.

x (x + 3) = 40

x^{2} + 3 x - 40 = 0

Модель задачи — квадратное уравнение. Решать его мы уже умеем.

R05.7

Алгоритм

Четыре шага решения задачи

R05.7

Образец 1 · прямоугольник

Решаем и отбираем корни

$x^{2} + 3 x - 40 = 0$

$D = 9 + 160 = 169 = 1 3^{2}$

$x = \frac{- 3 \pm 13}{2}$ ; $x_{1} =$ 5, $x_{2} =$ −8

−8 не подходит: $x > 0$

5 см и 5 + 3 = 8 см

Проверка: 5 · 8 = 40 ✓, 8 − 5 = 3 ✓

R05.7

Образец → сам · прямоугольник

Решите по образцу: найдите стороны прямоугольника

1. Одна сторона на 2 см больше другой, площадь 35 см².

$x (x + 2) = 35$ 5 см и 7 см

2. Длина на 5 м больше ширины, площадь 36 м².

$x (x + 5) = 36$ 4 м и 9 м

3. Длина вдвое больше ширины, площадь 50 см².

$x \cdot 2 x = 50$ 5 см и 10 см

R05.7

Интерпретация результата

Корень уравнения ≠ ответ задачи

R05.7

Образец 2 · числа

Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 156

$x^{2} + x - 156 = 0$

$D = 1 + 624 = 625 = 2 5^{2}$

$x = \frac{- 1 \pm 25}{2}$ ; $x_{1} =$ 12, $x_{2} =$ −13

−13 не натуральное

Ответ: 12 и 13. Проверка: 12 · 13 = 156 ✓

R05.7

Образец → сам · числа

Найдите числа

базаПроизведение двух последовательных натуральных чисел равно 132.
$x (x + 1) = 132$ 11 и 12
базаОдно натуральное число на 4 больше другого, их произведение 96.
$x (x + 4) = 96$ 8 и 12

базаПроизведение двух последовательных чётных натуральных чисел равно 168.
$x (x + 2) = 168$ 12 и 14
повыш.Квадрат числа на 56 больше самого числа. Найдите число.
$x^{2} - x = 56$ 8 или −7

R05.7

Образец 3 · движение

Велосипедист проехал 30 км. Будь скорость на 5 км/ч больше, он затратил бы на 1 ч меньше

	s, км	v, км/ч	t, ч
на деле	30	$x$	$\frac{30}{x}$
быстрее	30	$x + 5$	$\frac{30}{x + 5}$

$t = s : v$ · время «на деле» больше на 1 ч

$\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 5} = 1$ $x > 0$

$30 (x + 5) - 30 x = x (x + 5)$

$x^{2} + 5 x - 150 = 0$ ; $D = 625$

$x = \frac{- 5 \pm 25}{2}$ ; $x =$ 10, −15

Ответ: 10 км/ч. Проверка: 3 ч и 2 ч ✓

R05.7

Образец → сам · движение

Заполните таблицу, составьте уравнение, решите

1. Автомобиль проехал 120 км. Будь скорость на 20 км/ч больше, он затратил бы на 1 ч меньше. Найдите скорость.

	v	t
на деле	$x$	$\frac{120}{x}$
быстрее	$x + 20$	$\frac{120}{x + 20}$

40 км/ч

2. Турист прошёл 24 км. Иди он на 2 км/ч быстрее, затратил бы на 2 ч меньше. Найдите его скорость.

	v	t
на деле	$x$	$\frac{24}{x}$
быстрее	$x + 2$	$\frac{24}{x + 2}$

4 км/ч

R05.7

Осторожно

Типичные ошибки

Где ошибаются	Неверно	Верно
не отбросили корень	стороны 5 и −8 см	$- 8 < 0$ — не подходит
ответили не на вопрос	нашли $x = 5$ — «ответ 5»	спросили обе стороны: 5 и 8
перепутали «больше — меньше»	$\frac{30}{x + 5} - \frac{30}{x} = 1$	$\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 5} = 1$
не записали, что такое $x$	«пусть $x$ …» без единиц	$x$ км/ч — скорость, $x > 0$

R05.7

Закрепление · модель

Составьте уравнение (решать пока не нужно)

задача	x — это	уравнение
Ширина на 5 м меньше длины, площадь 84 м²	длина, $x > 5$	$x (x - 5) = 84$
Сумма числа и его квадрата равна 42	число	$x + x^{2} = 42$
Катеты: один на 7 больше; гипотенуза 13	меньший катет	$x^{2} + (x + 7)^{2} = 169$
Каждая команда сыграла с каждой 1 раз, всего 45 игр	число команд	$\frac{x ( x - 1 )}{2} = 45$

3 мин · практика
Работа в парах, затем открыть по щелчку. Решения: 1) x² − 5x − 84 = 0, D = 361, x = 12 (−7 не подходит) → 12 м и 7 м. 2) x² + x − 42 = 0, x = 6 или x = −7 — оба годятся.
3) 2x² + 14x − 120 = 0 → x² + 7x − 60 = 0, D = 289, x = 5 (−12 не подходит) → катеты 5 и 12 (теорема Пифагора — геометрия 8 кл.). 4) x² − x − 90 = 0, D = 361, x = 10 (−9 не подходит) → 10 команд.
В задаче 4: каждая из x команд играет с x − 1 соперниками, но каждая игра посчитана дважды — отсюда деление на 2. Для слабого класса можно пропустить.

R05.7

Самопроверка

Уравнение решено. Какой ответ у задачи?

корни	x — это	ответ
7 и −2	число учеников в группе	7
12 и 4,5	число рядов в зале	12
−3 и 5	искомое целое число	−3 или 5
−6 и −1	скорость, км/ч	нет решения — ищите ошибку

R05.7

Закрепление

Решите задачи

базаОдна сторона прямоугольника на 4 см больше другой, площадь 60 см². Найдите стороны.
базаПроизведение двух последовательных натуральных чисел равно 210. Найдите эти числа.
повыш.Периметр прямоугольника 28 см, площадь 48 см². Найдите стороны.

практикаОдну сторону квадратного участка увеличили на 3 м, другую — на 2 м; площадь стала 56 м². Найдите сторону участка.
ОГЭ, линия 21Моторная лодка прошла против течения 80 км и вернулась, затратив на обратный путь на 1 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения 2 км/ч.

4 мин · практика
Ответы: 1) x(x + 4) = 60, x² + 4x − 60 = 0, D = 256, x = 6 (−10 нет) → 6 и 10 см. 2) x(x + 1) = 210, D = 841 = 29², x = 14 (−15 нет) → 14 и 15. 3) x(14 − x) = 48, x² − 14x + 48 = 0, D = 4, x = 8 или 6 → 6 и 8 см.
4) (x + 3)(x + 2) = 56, x² + 5x − 50 = 0, D = 225, x = 5 (−10 нет) → 5 м; проверка 8 · 7 = 56. 5) 80/(v − 2) − 80/(v + 2) = 1 → 320 = v² − 4 → v² = 324 → v = 18 (−18 нет), v > 2 → 18 км/ч; проверка 80 : 16 = 5 ч, 80 : 20 = 4 ч.
Задания 1–2 — все; 3–5 — по готовности. Задача 5 — формат части 2 ОГЭ (линия 21): нужно полное решение с обоснованием отбора корня.

R05.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

базаОдна сторона прямоугольника на 3 см меньше другой, площадь 54 см². Найдите стороны. 6 см и 9 см
базаСумма числа и его квадрата равна 30. Найдите число. 5 или −6
базаПроизведение двух последовательных натуральных чисел равно 72. 8 и 9
базаОдно натуральное число на 7 больше другого, их произведение 60. 5 и 12

R05.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите и сверьте ответ

повыш.Периметр прямоугольника 30 см, площадь 56 см². Найдите стороны. 7 см и 8 см
повыш.Один катет на 2 см больше другого, гипотенуза 10 см. Найдите катеты. 6 см и 8 см
повыш.Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 113. 7 и 8
практикаКаждый участник встречи пожал руку каждому — всего 28 рукопожатий. Сколько было участников? 8

R05.7

Найдите ошибку

Что не так в решении?

✗ Два последовательных натуральных числа, произведение 90: $x = 9$ , $x = - 10$ . «Ответ: 9 и −10»

✓ −10 не натуральное. Ответ: 9 и 10

✗ «Скорость на 10 км/ч больше — время на 1 ч меньше»: $\frac{60}{x + 10} - \frac{60}{x} = 1$

✓ $\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 1$ , $x = 20$

✗ Ширина $x$ , длина на 4 больше, площадь 45: $x + x + 4 = 45$

✓ Площадь — произведение: $x (x + 4) = 45$

✗ «Два последовательных чётных числа: $x$ и $x + 1$ »

✓ Чётные идут через одно: $x$ и $x + 2$

R05.7

Самостоятельная работа

Два варианта — по 4 задачи

Вариант 1

Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, площадь 70 см². Стороны? 7 см и 10 см
Произведение двух последовательных натуральных чисел 240. Числа? 15 и 16
Квадрат числа на 12 больше самого числа. Число? 4 или −3
Один катет на 1 больше другого, гипотенуза 5. Катеты? 3 и 4

Вариант 2

Одна сторона прямоугольника на 5 см больше другой, площадь 84 см². Стороны? 7 см и 12 см
Произведение двух последовательных натуральных чисел 306. Числа? 17 и 18
Квадрат числа на 20 больше самого числа. Число? 5 или −4
Один катет на 7 больше другого, гипотенуза 17. Катеты? 8 и 15

4 мин · практика
Вариант 1: 1) x² + 3x − 70 = 0, D = 289, x = 7 (−10 нет) → 7 и 10 см. 2) x² + x − 240 = 0, D = 961 = 31², x = 15 (−16 нет) → 15 и 16. 3) x² − x − 12 = 0 → 4 или −3 (оба). 4) x² + (x + 1)² = 25 → x² + x − 12 = 0 → 3 (−4 нет) → 3 и 4.
Вариант 2: 1) x² + 5x − 84 = 0, D = 361, x = 7 (−12 нет) → 7 и 12 см. 2) x² + x − 306 = 0, D = 1225 = 35², x = 17 (−18 нет) → 17 и 18. 3) x² − x − 20 = 0 → 5 или −4 (оба). 4) x² + (x + 7)² = 289 → x² + 7x − 120 = 0, D = 529, x = 8 (−15 нет) → 8 и 15.
3 мин на решение, затем взаимопроверка в парах по ответам на экране (по клику).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите 4 шага решения задачи.
Почему корень уравнения — ещё не ответ?
Какой шаг для вас самый трудный?

Домашнее задание

Стороны прямоугольника отличаются на 6 см, площадь 72 см². Найдите стороны.
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 85. Найдите числа.
Пешеход прошёл 12 км. Иди он на 1 км/ч быстрее, затратил бы на 1 ч меньше. Найдите его скорость.
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-049 · Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 7/15 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R05.7 «Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений» → 2, 5–22 · повторение R05.3–R05.6 → 3, 4
Результаты	ПР-10 / REQ-3.3 (алгебраическая модель задачи, интерпретация результата) → 5–22 · ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные и сводящиеся к ним уравнения) → 3, 4, 7, 8, 10–13, 17–21 · EL-3.1
Вне урока	практикумы по квадратным уравнениям — ALG8-050 и далее; задачи на системы уравнений — строка R06; задачи на проценты и совместную работу — не включены
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Сегодня вы научитесь

Составлять уравнение

Решать его

Отбирать корни

Действовать по плану

Без тетради: корни и квадраты

Решите уравнение

Извлеките корень

Переведите на язык алгебры

Площадь 40 см², одна сторона на 3 см больше другой

Четыре шага решения задачи

Решаем и отбираем корни

Решите по образцу: найдите стороны прямоугольника

Корень уравнения ≠ ответ задачи

Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 156

Найдите числа

Велосипедист проехал 30 км. Будь скорость на 5 км/ч больше, он затратил бы на 1 ч меньше

Заполните таблицу, составьте уравнение, решите

Типичные ошибки

Составьте уравнение (решать пока не нужно)

Уравнение решено. Какой ответ у задачи?

Решите задачи

Решите и сверьте ответ

Решите и сверьте ответ

Что не так в решении?

✗ Два последовательных натуральных числа, произведение 90: x=9, x=−10. «Ответ: 9 и −10»

✗ «Скорость на 10 км/ч больше — время на 1 ч меньше»: x+1060​−x60​=1

✗ Ширина x, длина на 4 больше, площадь 45: x+x+4=45

✗ «Два последовательных чётных числа: x и x+1»

Два варианта — по 4 задачи

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-049 · Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений

✗ Два последовательных натуральных числа, произведение 90: $x = 9$ , $x = - 10$ . «Ответ: 9 и −10»

✗ «Скорость на 10 км/ч больше — время на 1 ч меньше»: $\frac{60}{x + 10} - \frac{60}{x} = 1$

✗ Ширина $x$ , длина на 4 больше, площадь 45: $x + x + 4 = 45$

✗ «Два последовательных чётных числа: $x$ и $x + 1$ »