Квадратные уравнения · урок 6 из 15

Простейшие дробно-рациональные уравнения

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-048

0 мин · титул. Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 6/15, единица R05.6 «Простейшие дробно-рациональные уравнения». Тип урока — Н. До этого — ALG8-047 (уравнения, сводящиеся к квадратным), после — ALG8-049 (текстовые задачи).
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · всего 45 мин.
Теория (14 мин): сл. 2, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 19, 23. Практика (31 мин): разминка (сл. 3), устная актуализация (4), «Образец → сам» после каждого правила (7, 9, 11, 14, 18), «Какой корень лишний» (17), «Найдите ошибку» (20), задания с самопроверкой (21), самостоятельная работа в двух вариантах (22).
Если не успеваете: сл. 17 провести устно за 1 минуту, задание 5 сл. 21 перенести в ДЗ. Теоретические слайды не пропускать.

R05.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

дробно-рациональное уравнение: переменная в знаменателе

Решать

уравнения вида $\frac{A}{B} = 0$ и пропорции

Сводить

уравнение к квадратному: умножать на общий знаменатель

Отбирать корни

исключать посторонние корни, при которых знаменатель равен 0

0,5 мин · теория
ПР-8 (REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными» — сл. 8–22.
ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями» — общий знаменатель, сл. 12–15, 18.
ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько…)» — сл. 5, 16, 17.
Вид деятельности R05: «Решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с помощью преобразований…».

повторение: R03, R04, R05.3–R05.4

Разминка · устно

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

1

$x^{2} - 16$ разложите

(x - 4) (x + 4)

2

$x^{2} + 3 x$ разложите

x (x + 3)

3

$\frac{5}{x - 7}$ когда нет смысла?

x = 7

4

$\frac{4}{x}$ при $x = - 2$

- 2

5

$x (x + 5) = 0$ корни?

0

и

- 5

6

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$ корни по Виету

2

и

5

7

$\frac{0}{5}$ и $\frac{5}{0}$ чему равно?

0

; не имеет смысла

8

$x^{2} - 1$ и $x - 1$ : общий знам.

(x - 1) (x + 1)

3 мин · практика
Темп — 20 секунд на задание: учитель читает, класс отвечает хором, щелчок открывает ответ.
Ответы: 1) (x − 4)(x + 4); 2) x(x + 3); 3) x − 7 = 0 при x = 7 — дробь не имеет смысла; 4) 4 : (−2) = −2; 5) x = 0 или x + 5 = 0 → 0 и −5; 6) сумма 7, произведение 10 → 2 и 5 (4 − 14 + 10 = 0; 25 − 35 + 10 = 0); 7) 0/5 = 0, на 0 делить нельзя; 8) x² − 1 = (x − 1)(x + 1) делится на x − 1, общий знаменатель (x − 1)(x + 1).
Задания 1, 2, 8 нужны для общего знаменателя, 3 и 7 — для запрета «знаменатель ≠ 0», 5–6 — для решения получающихся квадратных уравнений.

повторение: R04, R05.3–R05.4

Вспомним

Когда дробь равна нулю, а когда не имеет смысла

Устно

Корни $x^{2} - 5 x + 6 = 0$
Разложите: $x^{2} - 9$ ; $x^{2} - 2 x$
Общий знаменатель $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x - 2}$

R05.6

Проблема

Сколько корней у уравнения $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$ ?

x^{2} - 9 = 0 \to x = \pm 3 ?

x = 3: знаменатель 3 − 3 = 0 — делить нельзя

Ответ: x = −3 — один корень

R05.6

Определение

Целое или дробно-рациональное?

Целое уравнение

x^{2} - 5 x + 6 = 0

\frac{x}{3} + 1 = 2 x

делим только на число

Дробно-рациональное уравнение

\frac{3}{x} = x - 2

\frac{x + 1}{x - 4} = 2

переменная есть в знаменателе

Обе части — рациональные выражения, хотя бы одно из них дробное. Знаменатель ≠ 0.

R05.6

Образец → сам · распознаём

Целое или дробное? Какие x запрещены?

1

$\frac{5}{x + 1} = 1$

дробное:

x \neq = - 1

2

$\frac{x - 1}{2} = x^{2}$

целое

3

$x + \frac{1}{x} = 2$

дробное:

x \neq = 0

4

$\frac{x ^{2}}{7} - x = 3$

целое

5

$\frac{3}{x ^{2} - 4} = x$

дробное:

x \neq = \pm 2

6

$\frac{x + 5}{x ( x - 6 )} = 0$

дробное:

x \neq = 0; 6

R05.6

Правило 1

Дробь равна нулю

\frac{A}{B} = 0

⇔ {

A = 0,

B \neq = 0

числитель равен нулю, а знаменатель — нет

пример

\frac{x ^{2} - 4 x}{x - 4} = 0

x (x - 4) = 0

числитель = 0

x = 0

или

x = 4

x = 4 : x - 4 = 0

✗ знаменатель = 0

Ответ: x = 0

R05.6

Образец → сам · дробь равна нулю

Числитель = 0, знаменатель ≠ 0

1 · база

$\frac{x + 6}{x - 2} = 0$

x = - 6

2 · база

$\frac{x ^{2} - 36}{x + 6} = 0$

x = 6

3 · база

$\frac{x ^{2} - 3 x}{x} = 0$

x = 3

4 · база

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2} = 0$

x = 3

5 · повыш.

$\frac{x ^{2} + x - 12}{x ^{2} - 9} = 0$

x = - 4

6 · повыш.

$\frac{x ^{2} + 4}{x - 1} = 0$

корней нет

3 мин · практика
Образец — сл. 8. Работают в тетрадях, по 30 с на задание; ответы открывать по одному после того, как большинство решило.
1) x + 6 = 0 → −6; знаменатель −8 ≠ 0. 2) x² = 36 → ±6; x = −6 обнуляет знаменатель → ответ 6 (проверка: 0/12 = 0).
3) x(x − 3) = 0 → 0 и 3; x = 0 запрещён → ответ 3 (0/3 = 0). 4) по Виету 2 и 3; x = 2 запрещён → ответ 3 (9 − 15 + 6 = 0, знаменатель 1).
5) числитель: сумма −1, произведение −12 → 3 и −4; знаменатель x² − 9 = 0 при ±3 → x = 3 посторонний; ответ −4 (16 − 4 − 12 = 0; 16 − 9 = 7 ≠ 0). 6) x² + 4 ≥ 4 > 0 — числитель не бывает нулём → корней нет.

R05.6

Правило 2

Уравнение-пропорция: «крест-накрест»

пример

\frac{x - 3}{x} = \frac{2}{x - 2}

ОДЗ:

x \neq = 0, x \neq = 2

(x - 3) (x - 2) = 2 x

x^{2} - 7 x + 6 = 0

x = 1

или

x = 6

оба ≠ 0 и ≠ 2

Ответ: 1; 6

R05.6

Образец → сам · пропорция

Крест-накрест — и не забыть ОДЗ

1 · база

$\frac{3}{x} = \frac{6}{x + 2}$

x = 2

2 · база

$\frac{x}{4} = \frac{9}{x}$

x = \pm 6

3 · база

$\frac{x + 1}{x - 2} = 4$

x = 3

4 · повыш.

$\frac{x + 4}{x} = \frac{6}{x - 1}$

- 1; 4

5 · повыш.

$\frac{2 x}{x - 3} = \frac{6}{x - 3}$

корней нет

6 · повыш.

$\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 2}$

x = 5

3 мин · практика
Образец — сл. 10. Сначала ОДЗ, потом «крест-накрест», в конце — сверка корней с ОДЗ.
1) ОДЗ x ≠ 0, −2; 3(x + 2) = 6x → 3x = 6 → x = 2 (3/2 = 6/4). 2) x ≠ 0; x² = 36 → ±6 (6/4 = 9/6 = 1,5; −6/4 = 9/(−6) = −1,5). 3) 4 = 4/1: x + 1 = 4(x − 2) → 3x = 9 → x = 3 (4/1 = 4).
4) x ≠ 0, 1; (x + 4)(x − 1) = 6x → x² − 3x − 4 = 0 → 4 и −1 (8/4 = 2 = 6/3; 3/(−1) = −3 = 6/(−2)). 5) x ≠ 3; знаменатели равны → 2x = 6 → x = 3 — посторонний → корней нет. 6) x ≠ 1, 2; x² + x − 6 = x² − 1 → x = 5 (8/4 = 2 = 6/3); x² сократились — уравнение оказалось линейным.

R05.6

Общий случай

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения

R05.6

Образец 1 · общий знаменатель x

Решим $x - \frac{6}{x} = 1$

2ОДЗ:

x \neq = 0

3

x \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x = 1 \cdot x

4

x^{2} - 6 = x \to x^{2} - x - 6 = 0

D = 1 + 24 = 25 \to x = \frac{1 \pm 5}{2}

x = 3

или

x = - 2

R05.6

Образец → сам · общий знаменатель x

Умножаем каждый член на x

1 · база

$x + \frac{4}{x} = 5$

1; 4

2 · база

$x - \frac{8}{x} = 2$

- 2; 4

3 · база

$\frac{12}{x} = x + 1$

- 4; 3

4 · повыш.

$2 x + \frac{3}{x} = 7$

0, 5; 3

R05.6

Образец 2 · появляется посторонний корень

Решим $\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{4}{x ^{2} - 2 x}$

1

x^{2} - 2 x = x (x - 2)

2ОДЗ:

x \neq = 0, x \neq = 2

3

x \cdot x + 2 (x - 2) = 4

4

x^{2} + 2 x - 8 = 0

x = 2

или

x = - 4

R05.6

Почему появляются лишние корни

Откуда берётся посторонний корень

R05.6

Закрепление · устно

Какой корень лишний?

А

\frac{x ^{2} - x}{x - 1} = 0

корни числителя: 0 и 1

1 — лишний
Ответ: 0

Б

\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}

$x^{2} = 9 : x = \pm 3$

−3 — лишний
Ответ: 3

В

x + 2 = \frac{8}{x}

$x^{2} + 2 x - 8 = 0 :$
$x = 2; - 4$

лишних нет
Ответ: −4; 2

R05.6

Образец → сам · раскладываем знаменатели

Весь алгоритм: шаги 1–5

1 · база

$\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x ^{2} + x}$

корней нет

2 · база

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{x}{x ^{2} - 4}$

x = 0

3 · повыш.

$\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} = \frac{6}{x ^{2} - 3 x}$

x = 2

4 · повыш.

$\frac{x}{x + 1} + \frac{4}{x - 1} = \frac{8}{x ^{2} - 1}$

x = - 4

3 мин · практика
Образец — сл. 15. Попросить сначала записать разложение знаменателя справа и ОДЗ — проверить это у всех, потом решать.
1) x² + x = x(x + 1), ОДЗ x ≠ 0, −1; x · x + (x + 1) = 1 → x² + x = 0 → 0 и −1 — оба посторонние → корней нет.
2) x² − 4 = (x − 2)(x + 2), ОДЗ x ≠ ±2; (x + 2) + (x − 2) = x → 2x = x → x = 0 (−1/2 + 1/2 = 0 = 0/(−4)).
3) x² − 3x = x(x − 3), ОДЗ x ≠ 0, 3; x² − 2(x − 3) = 6 → x² − 2x = 0 → 0 и 2; 0 посторонний → ответ 2 (2/(−1) − 1 = −3; 6/(4 − 6) = −3).
4) x² − 1 = (x − 1)(x + 1), ОДЗ x ≠ ±1; x(x − 1) + 4(x + 1) = 8 → x² + 3x − 4 = 0 → 1 и −4; 1 посторонний → ответ −4 (4/3 − 4/5 = 8/15; 8/(16 − 1) = 8/15).

R05.6

Осторожно

Типичные ошибки

Ошибка	Неверно	Верно
забыли ОДЗ	$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0 \to x = \pm 3$	$x = - 3$
умножили не все члены	$x - \frac{6}{x} = 1 \to x^{2} - 6 = 1$	$x^{2} - 6 = x$
пропорция не крест-накрест	$(x - 3) \cdot 2 = x (x - 2)$	$(x - 3) (x - 2) = 2 x$
минус перед дробью	$1 - \frac{x + 1}{x} = \dots \to x - x + 1$	$x - (x + 1)$

R05.6

Найдите ошибку

Где ошибся ученик?

Уравнение	Ученик пишет	Верно
$\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$	$x = \pm 2$	$x = 2$ : ведь $x \neq = - 2$
$\frac{5}{x} = x - 4$	$5 = x^{2} - 4$	$5 = x^{2} - 4 x$ → $- 1; 5$
$\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}$	$x = \pm 3$	$x = - 3$ : $x = 3$ посторонний
$\frac{3}{x - 2} = \frac{1}{x}$	$3 (x - 2) = x$	$3 x = x - 2$ → $x = - 1$

R05.6

Задания с самопроверкой

Решите уравнения — ответы по клику

база $\frac{x - 5}{x + 3} = 0$ $5$
база $\frac{x ^{2} - 16}{x + 4} = 0$ $4$
повыш. $\frac{x - 4}{x - 1} = \frac{2}{x + 3}$ $- 2; 5$
повыш. $\frac{x}{x - 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$ $- 6$

практикаДва резистора соединены параллельно:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ ,
$R = 2$ Ом, $R_{2}$ на 3 Ом больше $R_{1}$ . Найдите $R_{1}$ . 3 Ом
ОГЭ, линия 20Решите уравнение
$\frac{1}{x ^{2}} - \frac{3}{x} - 4 = 0$ $- 1; 0, 25$

4 мин · практика
Ответы: 1) 5; 2) 4 (x = −4 — посторонний); 3) −2; 5 [(x − 4)(x + 3) = 2(x − 1) → x² − 3x − 10 = 0; проверка x = 5: 1/4 = 2/8; x = −2: −6/(−3) = 2 = 2/1]; 4) −6 [x(x + 3) = 18 → x² + 3x − 18 = 0 → 3; −6; x = 3 — посторонний; проверка: −6/(−9) = 2/3 = 18/27].
5) R₁ = x: 1/2 = 1/x + 1/(x + 3) → x(x + 3) = 2(x + 3) + 2x → x² − x − 6 = 0 → 3; −2. Сопротивление положительно → R₁ = 3 Ом (R₂ = 6 Ом; 1/3 + 1/6 = 1/2). Корень −2 отбрасываем по смыслу задачи, а не по ОДЗ.
6) ОДЗ x ≠ 0; × x²: 1 − 3x − 4x² = 0 → 4x² + 3x − 1 = 0, D = 9 + 16 = 25, x = (−3 ± 5)/8 → 0,25 и −1. Проверка: 16 − 12 − 4 = 0; 1 + 3 − 4 = 0. Ответ: −1; 0,25. Можно и заменой t = 1/x (связь с ALG8-047).

R05.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

$\frac{x - 7}{x + 1} = 0$ $7$
$\frac{x ^{2} - 49}{x - 7} = 0$ $- 7$
$\frac{6}{x} = x - 1$ $- 2; 3$
$\frac{x}{x - 2} = \frac{4}{x ^{2} - 2 x}$ $- 2$

Вариант 2

$\frac{x + 8}{x - 3} = 0$ $- 8$
$\frac{x ^{2} - 64}{x + 8} = 0$ $8$
$\frac{10}{x} = x + 3$ $- 5; 2$
$\frac{x}{x + 3} = \frac{9}{x ^{2} + 3 x}$ $3$

5 мин · практика (4 мин работа, 1 мин проверка по клику)
В-1: 1) x = 7 (знаменатель 8 ≠ 0). 2) x² = 49 → ±7; x = 7 посторонний → −7 (0/(−14) = 0). 3) x ≠ 0; x² − x − 6 = 0 → 3 и −2 (6/3 = 2 = 3 − 1; 6/(−2) = −3 = −2 − 1). 4) x(x − 2) — общий знаменатель, ОДЗ x ≠ 0, 2; x² = 4 → ±2; 2 посторонний → −2 (−2/(−4) = 1/2; 4/(4 + 4) = 1/2).
В-2: 1) x = −8 (знаменатель −11 ≠ 0). 2) x² = 64 → ±8; x = −8 посторонний → 8 (0/16 = 0). 3) x ≠ 0; x² + 3x − 10 = 0 → 2 и −5 (10/2 = 5 = 2 + 3; 10/(−5) = −2 = −5 + 3). 4) x(x + 3), ОДЗ x ≠ 0, −3; x² = 9 → ±3; −3 посторонний → 3 (3/6 = 1/2; 9/18 = 1/2).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Можно провести взаимопроверку соседей по ответам на слайде.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда дробь равна нулю?
На что умножают обе части?
Какой корень называют посторонним?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} - 25}{x - 5} = 0$ ; $\frac{5}{x} = x - 4$
$\frac{x}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-048 · Простейшие дробно-рациональные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 6/15 · тип Н
Единицы → слайды	R05.6 «Простейшие дробно-рациональные уравнения» → 2, 5–22 · повторение (R03 разложение, R04 дробь, R05.3–R05.4 корни) → 3, 4
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным) → 2, 8–22 · ПР-5 / REQ-2.2 (преобразования алгебраических дробей) → 12–15, 18 · ПР-9 / REQ-3.2 (сколько корней) → 5, 7, 16, 17 · вид деятельности R05: решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с помощью преобразований → 12–15, 18, 21, 22
ОГЭ	задание 6 слайда 21 — линия 20 (уравнение, часть 2)
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 2, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 19, 23) · практика 31 мин (сл. 3, 4, 7, 9, 11, 14, 17, 18, 20, 21, 22) · 69 % практики
Вне урока	биквадратные уравнения и замена переменной — ALG8-047 (R05.5) · текстовые задачи — ALG8-049 (R05.7) · графики дробных функций — не изучаются (иллюстрация на сл. 5)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Простейшие дробно-рациональные уравнения

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Решать

Сводить

Отбирать корни

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

Когда дробь равна нулю, а когда не имеет смысла

Устно

Сколько корней у уравнения x−3x2−9​=0?

Целое или дробно-рациональное?

Целое уравнение

Дробно-рациональное уравнение

Целое или дробное? Какие x запрещены?

Дробь равна нулю

Числитель = 0, знаменатель ≠ 0

Уравнение-пропорция: «крест-накрест»

Крест-накрест — и не забыть ОДЗ

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения

Решим x−x6​=1

Умножаем каждый член на x

Решим x−2x​+x2​=x2−2x4​

Откуда берётся посторонний корень

Какой корень лишний?

А

Б

В

Весь алгоритм: шаги 1–5

Типичные ошибки

Где ошибся ученик?

Решите уравнения — ответы по клику

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-048 · Простейшие дробно-рациональные уравнения

Сколько корней у уравнения $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$ ?

Решим $x - \frac{6}{x} = 1$

Решим $\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{4}{x ^{2} - 2 x}$