Квадратные уравнения · урок 5 из 15

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-047

1 мин · теория (орг. момент). Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 5/15, единица R05.5 «Решение уравнений, сводящихся к квадратным». Тип урока — Н.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 5 (сл. 3–4) · проблема 1 (сл. 5) · способ 1: образец 2 + задания 3 (сл. 6–7) · способ 2: образец 2 + задания 3 + самопроверка 2 (сл. 8–10) · способ 3: x² = a 1, биквадратное 2, исследование 1, задания 3, замена выражения 1, самопроверка 3 (сл. 11–16) · схема 1 и ошибки 2 (сл. 17–18) · закрепление 4, задача из жизни 2, самостоятельная 4 (сл. 19–21) · итог 1 (сл. 22).
Опора: формула корней (ALG8-045), теорема Виета (ALG8-046), уравнение x² = a (ALG8-006). Дробно-рациональные уравнения — следующий урок, здесь не трогаем.
Если не успеваете: слайд 15 (замена выражения) показать как образец без решения у доски; в сл. 19 задания 5–6 — в ДЗ; в сл. 16 задания 4–5 — в ДЗ.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Преобразовывать

уравнение со скобками к виду $a x^{2} + b x + c = 0$

Раскладывать

левую часть на множители: вынести $x$ за скобки

Вводить замену

$t = x^{2}$ и решать биквадратные уравнения

Исследовать

сколько корней у уравнения и почему

1 мин · теория
ПР-8 (REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными» — сл. 6–10, 12–16, 19–21.
ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько, и прочее)» — сл. 11, 13, 14, 16, 19.
Виды деятельности ФРП (R05): «Решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с помощью преобразований и заменой переменной».

повторение: R01.6, R05.3–R05.4

Разминка · устно

Посчитайте в уме — пригодится сегодня

$(- 6)^{2}$ $36$
$81$ $9$
$x^{2} = 49$ , x = ? $\pm 7$
$x^{2} = - 9$ , x = ? нет корней

$(x^{2})^{2} = ?$ $x^{4}$
$x^{3} - 4 x = x (\dots)$ $x^{2} - 4$
$(x - 1)^{2} = ?$ $x^{2} - 2 x + 1$
Виета: $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ $2; 4$

повторение: R05.3–R05.4

Вспомним

Два инструмента для $a x^{2} + b x + c = 0$

D = b^{2} - 4 a c

дискриминант

x = \frac{- b \pm D}{2 a}

формула корней

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q

теорема Виета для

x^{2} + p x + q = 0

Найдите D: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$
По Виета: $x^{2} - 7 x + 10 = 0$
Решите: $x^{2} = 16$
Решите: $x (x - 3) = 0$

R05.5

Проблема

Эти уравнения не квадратные. Или квадратные?

R05.5

Способ 1 · преобразования

$(x + 1)^{2} = 3 x + 7$ : раскрыть скобки, всё влево

$(x + 1)^{2} = 3 x + 7$

$x^{2} + 2 x + 1 = 3 x + 7$ квадрат суммы

$x^{2} + 2 x + 1 - 3 x - 7 = 0$ перенесли влево

$x^{2} - x - 6 = 0$ подобные

$x_{1} = 3, x_{2} = - 2$ Виета: $3 + (- 2) = 1$ , $3 \cdot (- 2) = - 6$

R05.5

Способ 1 · попробуйте сами

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ и решите

база $(x - 2) (x + 2) = 3 x$
база $(x + 3)^{2} = 2 x + 14$
повыш. $3 x (x - 2) = x - 4$

Порядок действий

раскрыть скобки
перенести всё в левую часть
привести подобные
D или теорема Виета
проверить подстановкой

R05.5

Способ 2 · разложение на множители

$x^{3} - 5 x^{2} + 6 x = 0$ : вынесем $x$ за скобки

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

Делить на $x$ нельзя!

потеряем корень $x = 0$

Ответ:

0; 2; 3

R05.5

Способ 2 · попробуйте сами

Вынесите множитель за скобки и решите

база $x^{3} - 9 x = 0$
база $x^{3} + 4 x^{2} - 5 x = 0$
база $2 x^{3} - 8 x^{2} = 0$
повыш. $x^{3} = 6 x^{2} - 9 x$

Порядок действий

перенести всё в левую часть
вынести общий множитель
каждый множитель $= 0$
решить квадратное
записать все корни, и $0$ тоже

R05.5

Задания с самопроверкой · способы 1 и 2

Решите и сверьте ответ

Раскройте скобки

база $(x + 2)^{2} = 4 x + 13$ $\pm 3$
база $x (x + 5) = 14$ $- 7; 2$
повыш. $(2 x + 1)^{2} = 3 x + 4$ $- 1; 0, 75$

Вынесите множитель

база $x^{3} - 25 x = 0$ $0; \pm 5$
база $x^{3} - 7 x^{2} + 12 x = 0$ $0; 3; 4$
повыш. $x^{3} + x^{2} = 6 x$ $- 3; 0; 2$

повторение: R01.6

Вспомним перед заменой

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

$a$	корни $x^{2} = a$
a > 0	два: $x = \pm a$
a = 0	один: $x = 0$
a < 0	корней нет

R05.5

Способ 3 · замена переменной

Биквадратное уравнение: $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

R05.5

Исследуем · сколько корней

$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ : один корень $t$ не подходит

$t = x^{2}, t \geq 0$

$t^{2} - 3 t - 4 = 0$

$t_{1} = 4,$ $t_{2} = - 1$ $t \geq 0$ — не подходит

$x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Корней у биквадратного: 0, 1, 2, 3 или 4.

корень $t$	корни $x$
t > 0	два: $x = \pm t$
t = 0	один: $x = 0$
t < 0	нет

R05.5

Способ 3 · попробуйте сами

Решите биквадратное уравнение заменой $t = x^{2}$

база $x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$
база $x^{4} - 29 x^{2} + 100 = 0$
база $x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$
повыш. $x^{4} + 6 x^{2} + 8 = 0$

Порядок действий

$t = x^{2}$ , $t \geq 0$
решить квадратное для $t$
отбросить $t < 0$
обратно: $x^{2} = t$
ответ — значения $x$

R05.5

Способ 3 · заменяем выражение

Повторяется выражение — обозначим его $t$

R05.5

Задания с самопроверкой · способ 3

Решите и сверьте ответ

Замена $t = x^{2}$

база $x^{4} - 4 x^{2} = 0$ $0; \pm 2$
база $x^{4} - 7 x^{2} + 12 = 0$ $\pm 3; \pm 2$
повыш. $4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ $\pm 0, 5; \pm 1$

Замена выражения

повыш. $(x^{2} - 3 x)^{2} - 14 (x^{2} - 3 x) + 40 = 0$
$- 2; - 1; 4; 5$
повыш. $(x + 1)^{4} - 5 (x + 1)^{2} + 4 = 0$
$- 3; - 2; 0; 1$

3 мин · практика
Решают в тетради, затем учитель открывает ответы по одному; ученики ставят «+» или «−» на полях.
1) t² − 4t = 0 → t = 0, t = 4 → x = 0; ±2 (три корня; можно и вынести x²: x²(x² − 4) = 0). 2) t² − 7t + 12 = 0 → t = 3, t = 4 → ±√3; ±2. 3) 4t² − 5t + 1 = 0, D = 25 − 16 = 9, t = (5 ± 3)/8 → 1 и 1/4 → ±1; ±1/2 = ±0,5 (проверка x = 1/2: 4/16 − 5/4 + 1 = 0 ✓).
4) t = x² − 3x: t² − 14t + 40 = 0 → t = 4, t = 10; x² − 3x − 4 = 0 → 4; −1; x² − 3x − 10 = 0 → 5; −2. Ответ: −2; −1; 4; 5.
5) t = (x + 1)², t ≥ 0: t² − 5t + 4 = 0 → t = 1, t = 4; x + 1 = ±1 → 0; −2; x + 1 = ±2 → 1; −3. Ответ: −3; −2; 0; 1 (проверка x = 1: 16 − 20 + 4 = 0 ✓).

R05.5

Схема-подсказка

Как выбрать способ

R05.5

Найди ошибку

Четыре частые ошибки

Неверно	Верно
$x^{3} = 4 x : x \Rightarrow x = \pm 2$	$x (x^{2} - 4) = 0 \Rightarrow 0; \pm 2$
$(x - 3)^{2} = x^{2} - 9$	$(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$
$t = - 1 \Rightarrow x = \pm 1$	$x^{2} = - 1$ — корней нет
Ответ: $t = 1, t = 4$	вернуться к $x$ : $\pm 1; \pm 2$

R05.5

Закрепление

Решите самостоятельно

база $x (x - 4) = 12$
база $x^{3} - 16 x = 0$
база $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$
повыш. $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$
повыш. $(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$

практикаПетя решил $x^{3} = 9 x$ : разделил на $x$ и получил $x = \pm 3$ . Верно ли? Исправьте.
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $(x + 4) (x - 5) = - 18$ . Если корней несколько, запишите в ответ меньший.

4 мин · практика
1) x² − 4x − 12 = 0 → x = 6, x = −2 (6 · 2 = 12; (−2)(−6) = 12 ✓). 2) x(x − 4)(x + 4) = 0 → 0; 4; −4. 3) t = x²: t² − 10t + 9 = 0 → t = 1, t = 9 → ±1; ±3.
4) t² + 3t − 4 = 0 → t = 1, t = −4 (не подходит) → x = ±1. 5) t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0 → t = 3, t = −1; x² − 2x − 3 = 0 → 3; −1; x² − 2x + 1 = 0 → x = 1. Ответ: −1; 1; 3.
6) Неверно: потерян корень 0. x(x² − 9) = 0 → 0; ±3. 7) x² − x − 20 = −18 → x² − x − 2 = 0 → x = 2, x = −1; проверка: 3 · (−6) = −18 ✓, 6 · (−3) = −18 ✓. Ответ в бланк: −1.
Решают самостоятельно, ответы сверяем по заметкам. Если не успеваете — задания 5 и 6 в ДЗ.

R05.5

Задача из жизни

Какого размера дачный участок?

Участок — прямоугольник площадью 300 м². Длина на 5 м больше ширины.

базаШирина — x м. Составьте уравнение $x (x + 5) = 300$
базаПриведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ $x^{2} + 5 x - 300 = 0$
базаНайдите ширину и длину 15 м и 20 м
повыш.Сколько метров забора нужно? 70 м

R05.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

$(x - 3)^{2} = 2 x - 6$ $3; 5$
$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x = 0$ $- 2; 0; 5$
$x^{4} - 26 x^{2} + 25 = 0$ $\pm 1; \pm 5$
$x^{4} + 3 x^{2} - 28 = 0$ $\pm 2$

Вариант 2

$(x + 2)^{2} = 2 x + 7$ $- 3; 1$
$x^{3} + 2 x^{2} - 8 x = 0$ $- 4; 0; 2$
$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$ $\pm 2; \pm 4$
$x^{4} + 4 x^{2} - 5 = 0$ $\pm 1$

4 мин · практика
3 минуты на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику).
Вариант 1: 1) x² − 6x + 9 = 2x − 6 → x² − 8x + 15 = 0 → 3; 5 (проверка x = 5: 4 = 4 ✓); 2) x(x² − 3x − 10) = 0 → 0; 5; −2; 3) t² − 26t + 25 = 0 → t = 1, t = 25 → ±1; ±5; 4) t² + 3t − 28 = 0 → t = 4, t = −7 (не подходит) → ±2.
Вариант 2: 1) x² + 4x + 4 = 2x + 7 → x² + 2x − 3 = 0 → 1; −3 (проверка x = −3: 1 = 1 ✓); 2) x(x² + 2x − 8) = 0 → 0; 2; −4; 3) t² − 20t + 64 = 0 → t = 4, t = 16 → ±2; ±4; 4) t² + 4t − 5 = 0 → t = 1, t = −5 (не подходит) → ±1.
Критерий: «5» — 4 задания, «4» — 3, «3» — 2.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие три способа мы узнали?
Почему нельзя делить на $x$ ?
Зачем условие $t \geq 0$ ?

Домашнее задание

$(x - 2)^{2} = 3 x - 8$
$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x = 0$
$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-047 · Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 5/15 · тип Н
Единицы → слайды	R05.5 «Решение уравнений, сводящихся к квадратным» → 2, 5–10, 12–21 · повторение R05.3–R05.4 → 3, 4 · повторение R01.6 (x² = a) → 3, 11
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные уравнения и сводящиеся к ним) → 2, 6–10, 12–16, 19–21 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование числа корней) → 2, 11, 13, 14, 16, 19 · виды деятельности R05: решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с помощью преобразований и заменой переменной → 6–10, 12–17, 20–21
Время	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 15, 17, 22) · практика 31 мин (сл. 3, 4, 7, 9, 10, 14, 16, 18–21) — 69 %
ОГЭ	задание 7 слайда 19 — линия 9 (уравнения)
Вне урока	дробно-рациональные уравнения — ALG8-048 (R05.6) · текстовые задачи — ALG8-049 (R05.7) · практикум по строке — ALG8-050
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Сегодня вы научитесь

Преобразовывать

Раскладывать

Вводить замену

Исследовать

Посчитайте в уме — пригодится сегодня

Два инструмента для ax2+bx+c=0

Эти уравнения не квадратные. Или квадратные?

(x+1)2=3x+7: раскрыть скобки, всё влево

Приведите к виду ax2+bx+c=0 и решите

Порядок действий

x3−5x2+6x=0: вынесем x за скобки

Делить на x нельзя!

Вынесите множитель за скобки и решите

Порядок действий

Решите и сверьте ответ

Раскройте скобки

Вынесите множитель

Сколько корней у уравнения x2=a?

Биквадратное уравнение: x4−5x2+4=0

x4−3x2−4=0: один корень t не подходит

Решите биквадратное уравнение заменой t=x2

Порядок действий

Повторяется выражение — обозначим его t

Решите и сверьте ответ

Замена t=x2

Замена выражения

Как выбрать способ

Четыре частые ошибки

Решите самостоятельно

Какого размера дачный участок?

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-047 · Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Два инструмента для $a x^{2} + b x + c = 0$

$(x + 1)^{2} = 3 x + 7$ : раскрыть скобки, всё влево

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ и решите

$x^{3} - 5 x^{2} + 6 x = 0$ : вынесем $x$ за скобки

Делить на $x$ нельзя!

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

Биквадратное уравнение: $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ : один корень $t$ не подходит

Решите биквадратное уравнение заменой $t = x^{2}$

Повторяется выражение — обозначим его $t$

Замена $t = x^{2}$