Квадратные уравнения · урок 4 из 15

Теорема Виета

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-046

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 4/15, единица R05.4 «Теорема Виета». Тип урока — Н.
Ход: цели 1 мин (сл. 2) · разминка и повторение 5 (сл. 3–4) · наблюдение 2 (сл. 5) · теорема, доказательство, общий вид 6 (сл. 6–9) · «образец → сам» 3 (сл. 10) · обратная теорема и подбор 3 + практика 5 (сл. 11–14) · знаки корней 2 + 2 (сл. 15–16) · второй корень 1 + 2 (сл. 17–18) · ошибки 1 + «найди ошибку» 2 (сл. 19–20) · самопроверка и закрепление 5 (сл. 21–22) · самостоятельная работа 4 (сл. 23) · итог и ДЗ 1 (сл. 25). Сл. 24 «Дополнительно» — резерв, в 45 мин не входит.
История (вид деятельности ФРП «Знакомиться с историей развития алгебры»): Ф. Виет — французский математик, ввёл буквенные обозначения для коэффициентов; теорема опубликована в 1591 г.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Замечать связь

между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Формулировать

теорему Виета и обратную ей теорему

Решать

приведённые уравнения подбором корней и проверять корни

Исследовать

знаки корней и составлять уравнение по его корням

1 мин · теория
ПР-8 (REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными» — сл. 11–14, 17–18, 21–23.
ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько, и прочее)» — сл. 15–16, 19–20.
Виды деятельности ФРП (R05): «Наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать теорему Виета, а также обратную теорему, применять эти теоремы для решения задач».

повторение: R05.1–R05.3, R03

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

1) $(- 3) \cdot (- 5)$

15

2) $- 4 + 9$

5

3) Произведение 12, сумма 7. Какие числа?

3 и 4

4) Произведение 10, сумма $- 7$ . Какие числа?

−2 и −5

5) $D$ для
$x^{2} - 6 x + 5 = 0$

16

6) $p$ и $q$ в
$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$p = - 3, q = - 4$

7) Число 2 — корень
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ?

да

8) Раскройте скобки:
$(x - 1) (x - 4)$

$x^{2} - 5 x + 4$

повторение: R05.1, R05.3

Вспомним

Приведённое уравнение и формула корней

Устно

Какие уравнения приведённые: $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ , $2 x^{2} + x = 0$ ?
Найдите $p$ и $q$ в $x^{2} + x - 6 = 0$
Сколько корней, если $D < 0$ ?

R05.4

Наблюдаем

Сложим и перемножим корни

Уравнение	Корни	$x_{1} + x_{2}$	$x_{1} \cdot x_{2}$
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$	2 и 3	5	6
$x^{2} + x - 6 = 0$	2 и −3	−1	−6
$x^{2} - 7 x + 10 = 0$	2 и 5	7	10
$x^{2} + 6 x + 8 = 0$	−2 и −4	−6	8

Сумма корней — это

p

с противоположным знаком

Произведение корней равно

q

R05.4

Теорема Виета

Корни приведённого уравнения

R05.4

Доказательство

Берём формулу корней

D = p^{2} - 4 q

$x_{1} = \frac{- p + D}{2}$

$x_{2} = \frac{- p - D}{2}$

$D$ и $- D$ в сумме взаимно уничтожатся

$x_{1} + x_{2} = \frac{- p + D - p - D}{2} = \frac{- 2 p}{2} =$ $- p$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{( - p ) ^{2} - ( D ) ^{2}}{4} = \frac{p ^{2} - p ^{2} + 4 q}{4} =$ $q$

в произведении — формула разности квадратов

R05.4

Ещё одно объяснение

Раскроем скобки: $(x + 2) (x + 3)$

R05.4

Если a ≠ 1

Сначала делим уравнение на a

a x^{2} + b x + c = 0

∣ : a

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

$x_{1} + x_{2} =$ $- \frac{b}{a}$

$x_{1} \cdot x_{2} =$ $\frac{c}{a}$

Проверим: $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

$D = 49 - 24 = 25$

$x_{1} = 3, x_{2} = 0, 5$

$3 + 0, 5 = 3, 5 = \frac{7}{2}$ ✓

$3 \cdot 0, 5 = 1, 5 = \frac{3}{2}$ ✓

R05.4

Образец → сам

Сумма и произведение корней — не решая

Образец

$x^{2} + 3 x - 10 = 0$

$D = 9 + 40 = 49 > 0$ — корни есть

$x_{1} + x_{2} = - 3, x_{1} x_{2} = - 10$

$3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 ∣ : 3$

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

$x_{1} + x_{2} = 2, x_{1} x_{2} = - 3$

Сам

$x^{2} - 8 x + 7 = 0$
сумма 8, произв. 7
$x^{2} + 5 x - 14 = 0$
сумма −5, произв. −14
$2 x^{2} - 10 x + 3 = 0$
сумма 5, произв. 1,5
$x^{2} + x + 4 = 0$
$D < 0$ — корней нет

R05.4

Обратная теорема

Уравнение по его корням

R05.4

Образец → сам

Составьте приведённое уравнение по корням

Образец: корни 4 и −1

$p = - (4 + (- 1)) = - 3$

$q = 4 \cdot (- 1) = - 4$

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

проверка: $16 - 12 - 4 = 0$ ✓

Сам

$2$ и $6$ $x^{2} - 8 x + 12 = 0$
$- 3$ и $- 4$ $x^{2} + 7 x + 12 = 0$
$5$ и $- 2$ $x^{2} - 3 x - 10 = 0$
$0$ и $3$ $x^{2} - 3 x = 0$

R05.4

Применяем · устный способ

Подбор корней: $x^{2} - 9 x + 20 = 0$

R05.4

Образец → сам

Решите подбором

Образец: $x^{2} + x - 12 = 0$

$x_{1} x_{2} = - 12$ — знаки разные

$x_{1} + x_{2} = - 1$ — больший по модулю отрицателен

пары: $- 12$ и $1$ , $- 6$ и $2$ , $- 4$ и $3$

$x_{1} = - 4, x_{2} = 3$

Сам

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 3; 4
$x^{2} + 9 x + 14 = 0$ −2; −7
$x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 4; −2
$x^{2} + 4 x - 32 = 0$ −8; 4

R05.4

Исследуем без решения

Знаки корней по знакам q и p

R05.4

Исследуем сами

Знаки корней — не решая уравнение

Уравнение	Знаки корней	Корни (проверка)
$x^{2} - 11 x + 18 = 0$	оба положительны	2 и 9
$x^{2} + 10 x + 21 = 0$	оба отрицательны	−3 и −7
$x^{2} + 4 x - 45 = 0$	разные, больший по модулю «−»	−9 и 5
$x^{2} - x - 20 = 0$	разные, больший по модулю «+»	5 и −4
$x^{2} + 3 x + 7 = 0$	корней нет	$D = 9 - 28 < 0$

2 мин · практика
Ученики заполняют в тетради столбец «знаки», учитель открывает по строке; столбец «корни» — подтверждение.
Ответы: 1) q = 18 > 0, −p = 11 > 0, D = 121 − 72 = 49 — оба положительны (2 и 9). 2) q = 21 > 0, −p = −10, D = 100 − 84 = 16 — оба отрицательны (−3 и −7). 3) q = −45 < 0, −p = −4 — разные, больший по модулю отрицателен (−9 + 5 = −4, −9 · 5 = −45). 4) q = −20 < 0, −p = 1 — больший по модулю положителен (5 − 4 = 1, 5 · (−4) = −20). 5) q > 0, но D = 9 − 28 = −19 < 0 — ловушка: корней нет.

R05.4

Применяем · известен один корень

Найдите второй корень и коэффициент

x^{2} - 7 x + q = 0, x_{1} = 2

сумма: $2 + x_{2} = 7 \to x_{2} = 5$

произведение: $q = 2 \cdot 5 = 10$

проверка: $4 - 14 + 10 = 0$ ✓

x^{2} + p x - 12 = 0, x_{1} = 4

произведение: $4 \cdot x_{2} = - 12 \to x_{2} = - 3$

сумма: $p = - (4 - 3) = - 1$

проверка: $16 - 4 - 12 = 0$ ✓

R05.4

Образец → сам

Известен один корень — найдите остальное

Образец

$x^{2} + 5 x + q = 0, x_{1} = - 2$

сумма: $- 2 + x_{2} = - 5 \to x_{2} = - 3$

произведение: $q = (- 2) (- 3) = 6$

проверка: $4 - 10 + 6 = 0$ ✓

Сам

$x^{2} - 10 x + q = 0, x_{1} = 3$
$x_{2} = 7, q = 21$
$x^{2} + p x + 18 = 0, x_{1} = 2$
$x_{2} = 9, p = - 11$
$x^{2} + p x - 20 = 0, x_{1} = - 5$
$x_{2} = 4, p = 1$

R05.4

Осторожно

Три типичные ошибки

Уравнение	Неверно	Верно	Почему
$x^{2} - 7 x + 12 = 0$	$x_{1} + x_{2} = - 7$	$x_{1} + x_{2} = 7$	сумма $= - p$
$2 x^{2} - 6 x + 4 = 0$	$x_{1} \cdot x_{2} = 4$	$x_{1} \cdot x_{2} = 2$	сначала $: a$
$x^{2} + 2 x + 5 = 0$	$x_{1} + x_{2} = - 2$	корней нет	$D = 4 - 20 < 0$

R05.4

Найди ошибку

Ученик написал так. Где он ошибся?

1) $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ : « $x_{1} + x_{2} = 6$ , $x_{1} x_{2} = - 7$ »

сумма $= - 6$

2) $3 x^{2} - 9 x + 6 = 0$ : « $x_{1} x_{2} = 6$ »

сначала $: 3$ , $x_{1} x_{2} = 2$

3) Корни $2$ и $- 5$ : « $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ »

$p = 3$ : $x^{2} + 3 x - 10 = 0$

4) $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ : «корни $3$ и $- 5$ , ведь $3 \cdot (- 5) = - 15$ »

сумма $- 2 \neq = 2$ ; корни $5$ и $- 3$

R05.4

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Решите — проверим всем классом

базаСумма и произведение корней
$x^{2} - 9 x + 14 = 0$
9 и 14
базаПодбором: $x^{2} - 10 x + 21 = 0$
3 и 7
базаПриведённое уравнение с корнями $- 6$ и $1$
$x^{2} + 5 x - 6 = 0$

повыш. $- 4$ — корень $x^{2} + p x + 24 = 0$ . Найдите $x_{2}$ и $p$
$x_{2} = - 6, p = 10$
повыш.Знаки корней $x^{2} - 6 x - 16 = 0$ , не решая
разные, больший по модулю «+»
повыш.Сумма и произведение корней
$5 x^{2} - 15 x - 2 = 0$
3 и −0,4

R05.4

Закрепление · ОГЭ и задача из жизни

Решите

базаСумма и произведение корней $x^{2} - 11 x + 24 = 0$ ?
11 и 24
базаПодбором: $x^{2} + 8 x + 15 = 0$
−3 и −5
базаПриведённое уравнение с корнями $- 2$ и $7$
$x^{2} - 5 x - 14 = 0$

повыш. $- 3$ — корень $x^{2} + p x - 18 = 0$ . Найдите $p$ и $x_{2}$
$p = - 3, x_{2} = 6$
практикаСумма двух чисел 13, произведение 40. Найдите числа
5 и 8
ОГЭ, линия 9Решите $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ . Если корней несколько, запишите больший 3

R05.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

Сумма и произведение корней
$x^{2} - 12 x + 20 = 0$ 12; 20
Подбором: $x^{2} + 2 x - 24 = 0$ −6; 4
Уравнение с корнями $3$ и $- 7$ $x^{2} + 4 x - 21 = 0$
$- 3$ — корень $x^{2} + p x + 15 = 0$ . Найдите $x_{2}$ и $p$ $- 5$ ; $8$

Вариант 2

Сумма и произведение корней
$x^{2} - 13 x + 30 = 0$ 13; 30
Подбором: $x^{2} - 3 x - 28 = 0$ 7; −4
Уравнение с корнями $- 2$ и $8$ $x^{2} - 6 x - 16 = 0$
$7$ — корень $x^{2} + p x - 14 = 0$ . Найдите $x_{2}$ и $p$ $- 2$ ; $- 5$

4 мин · практика
3 мин на решение, 1 мин — взаимопроверка в парах по открытым ответам.
В-1: 1) D = 144 − 80 = 64 > 0; сумма 12, произведение 20 (корни 2 и 10). 2) −6 и 4 (−6 + 4 = −2, −6 · 4 = −24). 3) p = −(3 − 7) = 4, q = −21 → x² + 4x − 21 = 0. 4) −3 · x₂ = 15 → x₂ = −5, p = −(−3 − 5) = 8 (9 − 24 + 15 = 0 ✓).
В-2: 1) D = 169 − 120 = 49 > 0; сумма 13, произведение 30 (корни 3 и 10). 2) 7 и −4 (7 − 4 = 3, 7 · (−4) = −28). 3) p = −(−2 + 8) = −6, q = −16 → x² − 6x − 16 = 0. 4) 7 · x₂ = −14 → x₂ = −2, p = −(7 − 2) = −5 (49 − 35 − 14 = 0 ✓).
Оценка: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

R05.4 · дополнительно

Дополнительно

Выражения от корней — не решая уравнение

x^{2} - 5 x + 3 = 0

$x_{1} + x_{2} =$ $5$ , $x_{1} x_{2} =$ $3$

$D = 25 - 12 = 13 > 0$ : корни есть, но «некрасивые»

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

$= 25 - 6 =$ $19$

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} =$ $\frac{5}{3}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равны сумма и произведение корней $x^{2} + p x + q = 0$ ?
Что сделать, если $a \neq = 1$ ?
Когда теорему применять нельзя?

Домашнее задание

Не решая: сумма и произведение корней $3 x^{2} - 12 x + 5 = 0$
Подбором: $x^{2} - x - 30 = 0$
Уравнение с корнями $0, 5$ и $4$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-046 · Теорема Виета

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 4/15 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R05.4 «Теорема Виета» → 2, 5–25 (теория: 2, 6–9, 11, 13, 15, 17, 19, 24; практика: 5, 10, 12, 14, 16, 18, 20–23, 25) · повторение R05.1–R05.3, R03 → 3–4
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные уравнения) → 11–14, 17–18, 21–23 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследования уравнений) → 15–16, 19–20 · EL-3.1 (теорема Виета) → 5–25
Вне урока	уравнения, сводящиеся к квадратным, — ALG8-047; дробно-рациональные уравнения — ALG8-048; текстовые задачи — ALG8-049; выражения от корней — только сл. 24 «Дополнительно»
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теорема Виета

Сегодня вы научитесь

Замечать связь

Формулировать

Решать

Исследовать

Считаем в уме — ответ по клику

Приведённое уравнение и формула корней

Устно

Сложим и перемножим корни

Корни приведённого уравнения

Берём формулу корней

Раскроем скобки: (x+2)(x+3)

Сначала делим уравнение на a

Проверим: 2x2−7x+3=0

Сумма и произведение корней — не решая

Образец

Сам

Уравнение по его корням

Составьте приведённое уравнение по корням

Образец: корни 4 и −1

Сам

Подбор корней: x2−9x+20=0

Решите подбором

Образец: x2+x−12=0

Сам

Знаки корней по знакам q и p

Знаки корней — не решая уравнение

Найдите второй корень и коэффициент

Известен один корень — найдите остальное

Образец

Сам

Три типичные ошибки

Ученик написал так. Где он ошибся?

Решите — проверим всем классом

Решите

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

Вариант 2

Выражения от корней — не решая уравнение

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-046 · Теорема Виета

Раскроем скобки: $(x + 2) (x + 3)$

Проверим: $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

Подбор корней: $x^{2} - 9 x + 20 = 0$

Образец: $x^{2} + x - 12 = 0$