Квадратные уравнения · урок 3 из 15

Формула корней квадратного уравнения

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-045

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 3/15, единица R05.3. Тип урока — Н.
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Итого 45 мин.
Теория (14 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 5 (идея: полный квадрат) 2 · 6 (выделение квадрата) 2 · 8 (вывод формулы) 2 · 9 (дискриминант, формула) 1 · 10 (три случая) 2 · 11 (графики) 1 · 13 (алгоритм и образец) 2. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 2 · «Вспомним» (сл. 4) 2 · полный квадрат — сами (сл. 7) 2 · число корней (сл. 12) 2 · образец → сам (сл. 14) 3 · D = 0 и D < 0 (сл. 15) 2 · типичные ошибки (сл. 16) 1 · найди ошибку (сл. 17) 2 · «Решите» (сл. 18) 3 · самопроверка, база (сл. 19) 3 · повышенный уровень и задача из жизни (сл. 20) 2 · ОГЭ (сл. 21) 2 · самостоятельная работа (сл. 22) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 23) 1.
Если не успеваете: задание 4 сл. 20 и задания 4–6 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Записывать формулу корней

и находить дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$

Решать квадратные уравнения

полные — по формуле корней (ПР-8)

Определять число корней

по знаку дискриминанта, не решая уравнение (ПР-9)

Действовать по алгоритму

стандартный вид → a, b, c → D → корни

повторение: 7 класс, R05.1–R05.2

Разминка · устно

Считаем в уме — пригодится для D

Вычислите

$(- 3)^{2}$ $9$
$(- 7)^{2}$ $49$
$- 4 \cdot 2 \cdot (- 3)$ $24$
$5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6$ $1$

Найдите или раскройте

$49$ $7$
$0$ $0$
$- 9$ не существует
$(x + 4)^{2}$ $x^{2} + 8 x + 16$

повторение: R05.1–R05.2

Вспомним

$a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq = 0$ : назовите $a$ , $b$ , $c$

уравнение	a	b	c
$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$	3	−5	2
$x^{2} + 7 x - 1 = 0$	1	7	−1
$- x^{2} + 4 = 0$	−1	0	4
$2 x - x^{2} = 0$	−1	2	0

Решите устно (неполные):

x^{2} = 25

(x - 1)^{2} = 9

а как решить $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ ?

R05.3

Идея

Дополним x² + 6x до полного квадрата

x^{2} + 6 x = x^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x

x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}

Не хватает углового квадрата 3 × 3 — его площадь 9.

R05.3

Решим проблему урока

x² + 6x − 7 = 0 — выделяем полный квадрат

$x^{2} + 6 x = 7$ перенесли $c$

$x^{2} + 6 x + 9 = 7 + 9$ прибавили 9 к обеим частям

$(x + 3)^{2} = 16$ свернули квадрат

$x + 3 = 4$ или $x + 3 = - 4$

$x = 1$ или $x = - 7$

R05.3

Образец → сам

Выделите полный квадрат

Что прибавить?

$x^{2} + 10 x + □$
$25$ : $(x + 5)^{2}$
$x^{2} - 4 x + □$
$4$ : $(x - 2)^{2}$
$x^{2} + 12 x + □$
$36$ : $(x + 6)^{2}$

Решите, как на сл. 6

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$
$(x + 2)^{2} = 9$ ; $1$ и $- 5$
$x^{2} - 8 x + 7 = 0$
$(x - 4)^{2} = 9$ ; $7$ и $1$
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$
$(x + 1)^{2} = 4$ ; $1$ и $- 3$

2 мин · практика
Ответы (по клику): 1) (10/2)² = 25, x² + 10x + 25 = (x + 5)²; 2) (4/2)² = 4, (x − 2)²; 3) (12/2)² = 36, (x + 6)².
4) x² + 4x = 5; x² + 4x + 4 = 9; (x + 2)² = 9; x + 2 = ±3; x = 1 или x = −5. Проверка: 1 + 4 − 5 = 0 ✓; 25 − 20 − 5 = 0 ✓.
5) x² − 8x = −7; +16: (x − 4)² = 9; x − 4 = ±3; x = 7 или x = 1. Проверка: 49 − 56 + 7 = 0 ✓; 1 − 8 + 7 = 0 ✓.
6) x² + 2x = 3; +1: (x + 1)² = 4; x + 1 = ±2; x = 1 или x = −3. Проверка: 1 + 2 − 3 = 0 ✓; 9 − 6 − 3 = 0 ✓.
1–3 устно; 4–6 в тетради (сильным — все, остальным — 4 и 5). После этого слайда приём делаем один раз в общем виде.

R05.3

Вывод в общем виде

Тот же приём для ax² + bx + c = 0

$x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ разделили на a ≠ 0

$x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} \cdot x + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{c}{a}$ дополнили

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ если $b^{2} - 4 a c \geq 0$

Знак правой части решает всё: она равна

b^{2} - 4 a c

, делённому на

4 a^{2} > 0

.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

R05.3

Запомнить

Дискриминант и формула корней

D = b^{2} - 4 a c

discriminare (лат.) — «различать»

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

при D ≥ 0

−b — число, противоположное b

± даёт два корня: $x_{1}$ и $x_{2}$

черта 2a — под всем числителем

R05.3

Сколько корней

Знак D определяет число корней

R05.3 · дополнительно

Дополнительно

Как выглядят три случая на графике

R05.3

Самопроверка

Найдите D и число корней — без решения

уравнение	D	корней
$x^{2} + 3 x - 10 = 0$	$9 + 40 = 49$	два
$x^{2} - 6 x + 9 = 0$	$36 - 36 = 0$	один
$2 x^{2} + 3 x + 4 = 0$	$9 - 32 = - 23$	нет
$- x^{2} + 5 x + 1 = 0$	$25 + 4 = 29$	два

R05.3

Алгоритм

Решаем по формуле за 4 шага

R05.3

Образец → сам

Решите по формуле корней

Образец: $x^{2} - 2 x - 15 = 0$

a = 1, b = - 2, c = - 15

D = 4 + 60 = 64

x = \frac{2 \pm 8}{2}

x_{1} = 5, x_{2} = - 3

Сам

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$ $5; 2$
$x^{2} + 4 x - 21 = 0$ $3; - 7$
$2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ $0, 5; - 2$
$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ $1; \frac{2}{3}$

R05.3

Закрепление · образцы

Ещё два случая: D = 0 и D < 0

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

$a = 4, b = - 12, c = 9$

$D = 144 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$

$x = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = 1, 5$

ответ: 1,5 — один корень

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

$a = 1, b = 2, c = 5$

$D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16$

$D < 0$ → корней нет

$- 16$ не существует — дальше не считаем

R05.3

Осторожно

Типичные ошибки

Где ошибаются	Неверно	Верно
квадрат отрицательного b	$(- 5)^{2} = - 25$	$(- 5)^{2} = 25$
−b при b < 0	$b = - 5, - b = - 5$	$- b = 5$
делят не весь числитель	$x = - b \pm D : 2 a$	$x = (- b \pm D) : 2 a$
не стандартный вид	$3 - x^{2} + 2 x = 0$ : $a = 3$	$a = - 1, b = 2, c = 3$

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$D = 9 - 16 = - 7$

корней нет

$D = 9 + 16 = 25$

$x = 4; - 1$

б) $2 x^{2} - x - 1 = 0$

$D = 9$ , $x = \frac{- 1 \pm 3}{4}$

$- b = 1$ : $x = \frac{1 \pm 3}{4}$

$x = 1; - 0, 5$

в) $x^{2} + 5 x + 6 = 0$

$D = 1$ , $x = - 5 \pm \frac{1}{2}$

$x = \frac{- 5 \pm 1}{2}$

$x = - 2; - 3$

R05.3

Закрепление

Решите

база $x^{2} - 5 x + 6 = 0$
база $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$
базаСколько корней у уравнений $x^{2} - 4 x + 7 = 0$ и $9 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ ?

повыш. $2 x^{2} = 7 x - 3$
практикаПри каких $x$ значения выражений $x^{2} + 3$ и $4 x$ равны?
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $5 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ . Если корней несколько, в ответ запишите больший.

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$x^{2} + x - 12 = 0$ $3; - 4$
$5 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ $1; 0, 2$
$x^{2} - 6 x + 10 = 0$ корней нет

$16 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ $- 0, 25$
$- x^{2} + 2 x + 8 = 0$ $- 2; 4$
$x (x - 2) = 3$ $3; - 1$

3 мин · практика
Самостоятельно в тетради; ответ к каждому открывать по клику, класс сверяет.
1) D = 1 + 48 = 49; x = (−1 ± 7)/2 = 3; −4. Проверка: 9 + 3 − 12 = 0 ✓; 16 − 4 − 12 = 0 ✓.
2) D = 36 − 20 = 16; x = (6 ± 4)/10 = 1; 0,2. Проверка: 5 − 6 + 1 = 0 ✓; 0,2 − 1,2 + 1 = 0 ✓.
3) D = 36 − 40 = −4 < 0 — корней нет.
4) D = 64 − 64 = 0; x = −8/32 = −0,25. Проверка: 16·0,0625 − 2 + 1 = 1 − 2 + 1 = 0 ✓.
5) a = −1: D = 4 + 32 = 36; x = (−2 ± 6)/(−2) = −2; 4 (или умножить на −1: x² − 2x − 8 = 0). Проверка: −4 − 4 + 8 = 0 ✓; −16 + 8 + 8 = 0 ✓.
6) x² − 2x − 3 = 0 (сначала стандартный вид!); D = 16; x = 3; −1. Проверка: 3·1 = 3 ✓; (−1)·(−3) = 3 ✓.

R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $(x - 3)^{2} = 2 x - 6$ $3; 5$
повыш.При каком $c$ уравнение $x^{2} - 6 x + c = 0$ имеет один корень? $c = 9$
повыш.При каких $b$ уравнение $x^{2} + b x + 9 = 0$ имеет один корень? $b = \pm 6$
из жизниМяч подбросили вверх; его высота через $t$ с равна $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Когда мяч будет на высоте 15 м?
через 1 с и через 3 с

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Ответ — одно число

Решите уравнение $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ . Если корней несколько, запишите больший. $6$
Решите уравнение $2 x^{2} + 5 x - 7 = 0$ . Если корней несколько, запишите меньший. $- 3, 5$
Решите уравнение $x^{2} + 4 = 5 x$ . Если корней несколько, запишите меньший. $1$

В бланк — только число: −3,5, без «x =» и без второго корня.

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$ $6; 2$
$3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ $\frac{1}{3}; - 2$
Сколько корней: $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ? один
$2 x^{2} = x + 6$ $2; - 1, 5$

Вариант 2

$x^{2} - 9 x + 14 = 0$ $7; 2$
$2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$ $0, 5; - 4$
Сколько корней: $x^{2} - 3 x + 5 = 0$ ? нет
$3 x^{2} = 2 x + 8$ $2; - \frac{4}{3}$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) D = 64 − 48 = 16; x = (8 ± 4)/2 = 6; 2 (36 − 48 + 12 = 0 ✓; 4 − 16 + 12 = 0 ✓). 2) D = 25 + 24 = 49; x = (−5 ± 7)/6 = 1/3; −2 (1/3 + 5/3 − 2 = 0 ✓; 12 − 10 − 2 = 0 ✓). 3) D = 16 − 16 = 0 — один корень (x = 0,5). 4) 2x² − x − 6 = 0; D = 1 + 48 = 49; x = (1 ± 7)/4 = 2; −1,5 (8 = 8 ✓; 4,5 = 4,5 ✓).
Вариант 2: 1) D = 81 − 56 = 25; x = (9 ± 5)/2 = 7; 2 (49 − 63 + 14 = 0 ✓; 4 − 18 + 14 = 0 ✓). 2) D = 49 + 32 = 81; x = (−7 ± 9)/4 = 0,5; −4 (0,5 + 3,5 − 4 = 0 ✓; 32 − 28 − 4 = 0 ✓). 3) D = 9 − 20 = −11 < 0 — корней нет. 4) 3x² − 2x − 8 = 0; D = 4 + 96 = 100; x = (2 ± 10)/6 = 2; −4/3 (12 = 12 ✓; 16/3 = 16/3 ✓).
3,5 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равен D? Запишите формулу корней.
Когда корней нет, когда один?
Какой шаг алгоритма для вас самый трудный?

Домашнее задание

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$ ; $3 x^{2} - 7 x + 4 = 0$ ; $2 x^{2} + x + 5 = 0$
* Придумайте уравнение, у которого $D = 0$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-045 · Формула корней квадратного уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 3/15 · тип Н
Единицы → слайды	R05.3 «Формула корней квадратного уравнения» → 2, 5–23 · повторение R05.1–R05.2 и 7 класса → 3–4
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные уравнения) → 6–7, 13–19, 21–23 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование: есть ли решения и сколько) → 10–12, 15, 18–20, 22 · EL-3.1
Вне урока	теорема Виета — ALG8-046; уравнения, сводящиеся к квадратным — ALG8-047; дробно-рациональные — ALG8-048; текстовые задачи — R05.7; формула для чётного b — не включена
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Формула корней квадратного уравнения

Сегодня вы научитесь

Записывать формулу корней

Решать квадратные уравнения

Определять число корней

Действовать по алгоритму

Считаем в уме — пригодится для D

Вычислите

Найдите или раскройте

ax2+bx+c=0, a=0: назовите a, b, c

Дополним x² + 6x до полного квадрата

x² + 6x − 7 = 0 — выделяем полный квадрат

Выделите полный квадрат

Что прибавить?

Решите, как на сл. 6

Тот же приём для ax² + bx + c = 0

Дискриминант и формула корней

Знак D определяет число корней

Как выглядят три случая на графике

Найдите D и число корней — без решения

Решаем по формуле за 4 шага

Решите по формуле корней

Образец: x2−2x−15=0

Сам

Ещё два случая: D = 0 и D < 0

4x2−12x+9=0

x2+2x+5=0

Типичные ошибки

Где ошибся ученик?

а) x2−3x−4=0

б) 2x2−x−1=0

в) x2+5x+6=0

Решите

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-045 · Формула корней квадратного уравнения

$a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq = 0$ : назовите $a$ , $b$ , $c$

Образец: $x^{2} - 2 x - 15 = 0$

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

а) $x^{2} - 3 x - 4 = 0$

б) $2 x^{2} - x - 1 = 0$

в) $x^{2} + 5 x + 6 = 0$