Новый материал · урок 2 из 15

Неполное
квадратное
уравнение

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8-044

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 2/15, единица R05.2. Тип урока — Н. Предыдущий урок ALG8-043 «Квадратное уравнение» (определение, коэффициенты a, b, c).
По слайдам: цели 1 (сл. 2) · разминка 2 и актуализация 2 (сл. 3–4) · проблема 2 (сл. 5) · новый материал 11 мин теории (сл. 6, 8–10, 12–13, 15) вперемешку с практикой «Образец → сам» 8 мин (сл. 7, 11, 14) · найди ошибку 2 (сл. 16) · самопроверка 6 (сл. 17–18) · задача о камне 3 (сл. 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · самостоятельная 5 (сл. 21) · итог и ДЗ 1 (сл. 22).
Если не успеваете: второй вопрос задачи о камне (сл. 19), задания 5–6 самопроверки 2 (сл. 18) и вариант Б ОГЭ (сл. 20) — в ДЗ.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

неполные квадратные уравнения трёх видов (ПР-8, REQ-3.1)

Решать ax² + c = 0

через x² = d и квадратный корень (ПР-8, ПР-2)

Решать ax² + bx = 0

вынесением x за скобки (ПР-8, REQ-3.1)

Исследовать

сколько корней у уравнения — по формуле и по графику (ПР-9, REQ-3.2)

1 мин · теория
ПР-8 / REQ-3.1 (дословно ФРП): «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными».
ПР-9 / REQ-3.2: «Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-2: «Применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни…» — нужно для x² = d.
Вид деятельности ФРП: «решать квадратные уравнения – полные и неполные. Проводить простейшие исследования квадратных уравнений».

повторение: R01, R05.1

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

81

9

0, 36

0,6

(- 4)^{2}

16

x^{2} = 25

найдите x±5

x^{2} - 3 x

вынесите x

x (x - 3)

5 x^{2} + 10 x

вынесите общий множитель

5 x (x + 2)

(x - 2) (x + 7) = 0

корни2; −7

x^{2} = - 9

есть ли корни?нет

повторение: R05.1

Вспомним · устно

Квадратное уравнение и его коэффициенты

1. Назовите a, b, c:

3x² − 5x + 2 = 0

x² − 9 = 0

−2x² + x = 0

2. Решите: x(x − 3) = 0

3. Чему равен $49$ ?

R05.2

Проблема

Что общего у первых трёх уравнений?

Уравнение	a	b	c
2x² − 8 = 0	2	0	−8
4x² + 12x = 0	4	12	0
7x² = 0	7	0	0
x² − 5x + 6 = 0	1	−5	6

Неполное квадратное уравнение — у которого b = 0 или c = 0 (или оба).

a x^{2} + b x + c = 0

полное: b ≠ 0 и c ≠ 0

R05.2

Классификация

Три вида неполных квадратных уравнений

R05.2

Образец → сам

Определите вид уравнения

Образец: $3 x^{2} = 6 x$

3 x^{2} - 6 x = 0

перенесли влево

a = 3, b = - 6, c = 0

вид

a x^{2} + b x = 0

Сам

$5 x^{2} - 45 = 0$ $a x^{2} + c = 0$
$- x^{2} = 0$ $a x^{2} = 0$
$x^{2} + 2 x = 0$ $a x^{2} + b x = 0$
$4 = x^{2}$ $a x^{2} + c = 0$
$2 x^{2} - x + 1 = 0$ полное

R05.2

Вид 1 · b = 0, c = 0

ax² = 0 — всегда один корень x = 0

7x² = 0

x² = 0 разделили на 7 ≠ 0

x = 0

Квадрат равен нулю только у нуля.

R05.2

Вид 2 · b = 0 · исследование

ax² + c = 0 ⇒ x² = d. Сколько корней?

R05.2

Вид 2 · образец решения

Переносим c, делим на a, извлекаем корень

пример 1

2x² − 18 = 0

2x² = 18

x² = 9

x = 3 или x = −3

пример 2

3x² + 12 = 0

3x² = −12

x² = −4

корней нет

x² ≥ 0, а −4 < 0

пример 3

x² − 7 = 0

x² = 7

x = 7

или

x = - 7

корень не извлекается нацело — оставляем

\pm 7

R05.2

Образец → сам · вид 2

Решите уравнение вида ax² + c = 0

Образец: $5 x^{2} - 20 = 0$

5 x^{2} = 20

перенесли c

x^{2} = 4

разделили на 5

x = 2

или

x = - 2

Сам

$x^{2} - 49 = 0$ ±7
$3 x^{2} - 75 = 0$ ±5
$2 x^{2} + 8 = 0$ корней нет
$4 x^{2} - 1 = 0$ ±0,5

R05.2

Вид 3 · c = 0

ax² + bx = 0: выносим x за скобки

R05.2

Вид 3 · образец решения

Нельзя делить на x — потеряем корень

верно

3x² − 12x = 0

3x(x − 4) = 0

3x = 0 или x − 4 = 0

x = 0 или x = 4

проверка: 3 · 16 − 12 · 4 = 0 ✓

ловушка

x² = 5x

~~x = 5~~ разделили на x ✗

x² − 5x = 0

x(x − 5) = 0

x = 0 или x = 5

R05.2

Образец → сам · вид 3

Решите уравнение вида ax² + bx = 0

Образец: $5 x^{2} + 15 x = 0$

5 x (x + 3) = 0

вынесли 5x

5 x = 0

или

x + 3 = 0

x = 0

или

x = - 3

Сам

$x^{2} - 6 x = 0$ 0; 6
$2 x^{2} + 9 x = 0$ 0; −4,5
$- 4 x^{2} + 12 x = 0$ 0; 3
$7 x^{2} = 14 x$ 0; 2

R05.2

Схема-конспект

Как решать неполное квадратное уравнение

Вид	Решение	Корни
ax² = 0	x² = 0	один: x = 0
ax² + c = 0	$x^{2} = - \frac{c}{a}$	если $- \frac{c}{a} > 0$ — два: $x = \pm - \frac{c}{a}$ если $- \frac{c}{a} < 0$ — корней нет
ax² + bx = 0	x(ax + b) = 0	два: $x = 0, x = - \frac{b}{a}$

R05.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Решение ученика	Что не так	Верно
x² = 9 ⇒ x = 3	потерян корень	x = ±3
x² = 5x ⇒ x = 5	разделили на x	x = 0; x = 5
x² = −4 ⇒ x = ±2	квадрат не бывает < 0	корней нет
4x² = 0 ⇒ корней нет	забыли про нуль	x = 0

R05.2

Задания с самопроверкой 1

Решите уравнения — ответы по клику

база x² − 25 = 0 ±5
база x² + 7x = 0 0; −7
база 5x² + 20 = 0 корней нет

повыш. 2x² = 7x 0; 3,5
повыш. 0,5x² − 8 = 0 ±4
повыш. (x + 1)² = 2x + 10 ±3

R05.2

Задания с самопроверкой 2

Решите — ответы откроются по клику

базаСколько корней у $x^{2} + 16 = 0$ ? нет
базаРешите $- 2 x^{2} + 18 = 0$ . ±3
базаРешите $3 x^{2} - 27 x = 0$ . 0; 9

повыш.Решите $(x - 3)^{2} = 9 - 6 x$ . 0
повыш.При каком $c$ корни уравнения $x^{2} + c = 0$ равны 6 и −6? c = −36
практикаПлощадь квадрата 1,44 м². Найдите его сторону. 1,2 м

R05.2

Практика · физика

Сколько секунд падает камень?

h = 5 t^{2}

путь (м) за t секунд падения

практика Камень уронили с высоты 80 м. Через сколько секунд он упадёт на землю?

5t² = 80

t² = 16 ⇒ t = 4 или t = −4

Время не бывает отрицательным: t = 4 с

А за сколько секунд камень пролетит первые 20 м?

R05.2 · ОГЭ

В формате ОГЭ · линия 9

Уравнения: ответ — одно число

вариант А

Решите уравнение

2x² − 10x = 0

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Ответ: 5

вариант Б

Решите уравнение

x² − 64 = 0

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ: −8

R05.2 · ОГЭ

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

$x^{2} - 81 = 0$ ±9
$4 x^{2} + 20 x = 0$ 0; −5
$6 x^{2} + 24 = 0$ корней нет
ОГЭ, линия 9 $3 x^{2} - 12 x = 0$ ; запишите больший корень. 4

Вариант 2

$x^{2} - 121 = 0$ ±11
$3 x^{2} - 18 x = 0$ 0; 6
$5 x^{2} + 45 = 0$ корней нет
ОГЭ, линия 9 $2 x^{2} + 14 x = 0$ ; запишите меньший корень. −7

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое квадратное уравнение называют неполным?
Почему у x² + 9 = 0 нет корней?
Почему в ax² + bx = 0 нельзя делить на x?

Домашнее задание

Решите: x² − 0,49 = 0; 6x² + 18x = 0; −4x² = 0; x² + 9 = 0.
Квадрат числа в 4 раза больше самого числа. Найдите это число.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-044 · Неполное квадратное уравнение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 2/15 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R05.2 «Неполное квадратное уравнение» → 2, 5–22 · опора R05.1 (повторение) → 3–4
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные уравнения) → 6–8, 10–22 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование числа корней, графически) → 9, 15, 18 · ПР-2 (квадратный корень) → 3–4, 10–11 · ПР-10 / REQ-3.3 (интерпретация результата) → 18–19
ОГЭ	линия 9 (уравнения) → 20–21
Вне урока	формула корней — ALG8-045; теорема Виета — ALG8-046; уравнения, сводящиеся к квадратным — ALG8-047
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Неполноеквадратноеуравнение

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Решать ax² + c = 0

Решать ax² + bx = 0

Исследовать

Считаем в уме — ответ по клику

Квадратное уравнение и его коэффициенты

Что общего у первых трёх уравнений?

Три вида неполных квадратных уравнений

Определите вид уравнения

Образец: 3x2=6x

Сам

ax² = 0 — всегда один корень x = 0

ax² + c = 0 ⇒ x² = d. Сколько корней?

Переносим c, делим на a, извлекаем корень

Решите уравнение вида ax² + c = 0

Образец: 5x2−20=0

Сам

ax² + bx = 0: выносим x за скобки

Нельзя делить на x — потеряем корень

Решите уравнение вида ax² + bx = 0

Образец: 5x2+15x=0

Сам

Как решать неполное квадратное уравнение

Найдите ошибку

Решите уравнения — ответы по клику

Решите — ответы откроются по клику

Сколько секунд падает камень?

Уравнения: ответ — одно число

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-044 · Неполное квадратное уравнение

Неполное
квадратное
уравнение

Образец: $3 x^{2} = 6 x$

Образец: $5 x^{2} - 20 = 0$

Образец: $5 x^{2} + 15 x = 0$