Квадратные уравнения · урок 1 из 15

Квадратное уравнение

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R05 · ALG8-043

Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · всего 45 мин.
0,5 мин · теория
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч), урок 1/15, единица R05.1 «Квадратное уравнение». Тип урока — Н.
Хронометраж: цели 1 мин (сл. 1–2) · разминка и повторение 5 (сл. 3–4) · новый материал 14 мин теории (сл. 5–8, 10, 12, 14, 16–17), после каждого правила — задания «сам» (сл. 9, 11, 13, 15) · найди ошибку, самопроверка, ОГЭ, задачи из жизни, самостоятельная (сл. 18–22) · итог и ДЗ (сл. 23).
Решать уравнения по формуле на этом уроке не учим — только распознавать, записывать в стандартном виде и проверять корни.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

квадратное уравнение и называть его коэффициенты $a$ , $b$ , $c$ (ПР-8, REQ-3.1)

Приводить к виду

$a x^{2} + b x + c = 0$

(ПР-8, REQ-3.1)

Проверять корни

подстановкой; выяснять, сколько корней (ПР-9, REQ-3.2)

Составлять модель

переходить от условия задачи к уравнению (ПР-10, REQ-3.3)

0,5 мин · теория
ПР-n — номер предметного результата 8 класса по порядку в ФРП. ПР-8: «Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним…»; ПР-9: «Проводить простейшие исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько…)»; ПР-10: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели…».
Коды кодификатора: REQ-3.1–3.3; элемент содержания EL-3.1 «Квадратное уравнение…».

повторение: R01.6, R03.1

Разминка · устно

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

1

$(- 3)^{2}$

9

2

$- 3^{2}$

- 9

3

$2 x \cdot 3 x$

6 x^{2}

4

$5 x - 2 x - 3 x$

0

5

$(x - 1) (x + 2)$ раскройте скобки

x^{2} + x - 2

6

$(x + 3)^{2}$ раскройте скобки

x^{2} + 6 x + 9

7

$x^{2} = 25$ корни?

- 5

и

5

8

$x^{2} - 2 x$ при $x = - 1$

3

3 мин · практика
Темп — 20 секунд на задание: учитель читает, класс отвечает хором, щелчок открывает ответ.
Ответы: 1) (−3)² = 9; 2) −3² = −9 (в квадрат возводится только 3); 3) 6x²; 4) 5x − 2x − 3x = 0 — слагаемое с x исчезло (пригодится: так квадратное уравнение «превращается» в линейное); 5) x² + 2x − x − 2 = x² + x − 2; 6) x² + 6x + 9; 7) ±5; 8) (−1)² − 2 · (−1) = 1 + 2 = 3.
Задания 1–2 и 8 готовят подстановку отрицательных чисел, 3–6 — приведение к стандартному виду, 7 — число корней.

повторение: R01.6, R03.1

Вспомним

Уравнение $x^{2} = a$ и квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен

$a x^{2} + b x + c$

$a \neq = 0$

Найдите $a$ , $b$ , $c$ у трёхчлена $2 x^{2} - x + 5$
Раскройте скобки: $x (x + 3)$

R05.1

Проблема

Участок: длина на 3 м больше ширины, площадь 40 м²

R05.1

Определение

Квадратное уравнение

R05.1

Распознаём

Почему $a \neq = 0$ ? Квадратное или нет?

a = 0

:

0 \cdot x^{2} + b x + c = 0

\to b x + c = 0

линейное

Старшая степень переменной — вторая, и при

x^{2}

стоит не ноль.

Уравнение	Квадратное?
$5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$	да
$3 x - 7 = 0$	нет
$4 - x^{2} = 0$	да
$x^{3} + x^{2} - 1 = 0$	нет
$2 x^{2} = 0$	да

R05.1

Называем коэффициенты

$a$ , $b$ , $c$ — вместе со знаком

Уравнение	$a$	$b$	$c$
$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$	2	−5	3
$x^{2} - 7 = 0$	1	0	−7
$- x^{2} + 4 x = 0$	−1	4	0
$3 x - x^{2} + 1 = 0$	−1	3	1
$0, 5 x^{2} + x - 2, 5 = 0$	0,5	1	−2,5

Нет слагаемого — коэффициент 0; «

x^{2}

» без числа — 1, «

- x^{2}

» — −1.

R05.1

Образец → сам · коэффициенты

Назовите $a$ , $b$ , $c$ — ответ по клику

1 · база

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

a = 3; b = - 2; c = 1

2 · база

$x^{2} + 6 x = 0$

a = 1; b = 6; c = 0

3 · база

$- x^{2} + 9 = 0$

a = - 1; b = 0; c = 9

4 · база

$8 - 3 x + 2 x^{2} = 0$

a = 2; b = - 3; c = 8

5 · повыш.

$- 0, 3 x^{2} + x - 1, 2 = 0$

a = - 0, 3; b = 1; c = - 1, 2

6 · повыш.

$x^{2} = 4 x - 3$

a = 1; b = - 4; c = 3

R05.1

Алгоритм

Приводим к виду $a x^{2} + b x + c = 0$

R05.1

Образец → сам · стандартный вид

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ — ответ по клику

база $x^{2} + 2 x = 15$ $x^{2} + 2 x - 15 = 0$
база $3 x^{2} = 5 x - 2$ $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$
база $x (x - 4) = 5$ $x^{2} - 4 x - 5 = 0$
повыш. $(x + 1) (x - 3) = 2 x - 7$ $x^{2} - 4 x + 4 = 0$
повыш. $(2 x - 1)^{2} = x (x + 3)$ $3 x^{2} - 7 x + 1 = 0$

R05.1

Схема

Какие бывают квадратные уравнения

R05.1

Образец → сам · виды уравнений

Приведённое? Полное? — ответ по клику

Сделайте приведённым

база $2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$
$x^{2} - 4 x + 3 = 0$
база $- x^{2} + 5 x - 4 = 0$
$x^{2} - 5 x + 4 = 0$
повыш. $3 x^{2} + x - 6 = 0$
$x^{2} + \frac{1}{3} x - 2 = 0$

Полное или неполное?

$x^{2} - 5 x = 0$ неполное: $c = 0$
$4 x^{2} - 1 = 0$ неполное: $b = 0$
$x^{2} + x + 1 = 0$ полное
$- 2 x^{2} = 0$ неполное
$7 - x + x^{2} = 0$ полное

R05.1

Корень — проверяем подстановкой

Какие числа — корни уравнения $x^{2} + 3 x - 40 = 0$ ?

$x$	$x^{2} + 3 x - 40$	корень?
2	$4 + 6 - 40 = - 30$	нет
5	$25 + 15 - 40 = 0$	да
−8	$64 - 24 - 40 = 0$	да

Корень — значение

x

, при котором левая часть равна 0.

R05.1

Образец → сам · проверка корня

Подставьте и проверьте — ответ по клику

1 · база

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ корень ли $x = 3$ ?

да:

9 - 15 + 6 = 0

2 · база

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$ корень ли $x = - 1$ ?

нет:

1 - 4 - 5 = - 8

3 · база

$2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ корень ли $x = - 2$ ?

да:

8 - 6 - 2 = 0

4 · база

$2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ корень ли $x = 0, 5$ ?

да:

0, 5 + 1, 5 - 2 = 0

5 · повыш.

$x^{2} + 3 x + c = 0$ при каком $c$ корень $x = 2$ ?

c = - 10

6 · повыш.

$x^{2} + b x - 6 = 0$ при каком $b$ корень $x = - 3$ ?

b = 1

R05.1

Исследуем

Значения $x^{2} - x - 6$ при разных $x$

Нули: $x = - 2$ и $x = 3$

это корни уравнения $x^{2} - x - 6 = 0$

Корней у квадратного уравнения может быть 2, 1 или ни одного, но не больше двух.

1 мин · теория
Значения проверены: x = −3: 9 + 3 − 6 = 6; −2: 4 + 2 − 6 = 0; −1: 1 + 1 − 6 = −4; 0: −6; 1: 1 − 1 − 6 = −6; 2: 4 − 2 − 6 = −4; 3: 9 − 3 − 6 = 0; 4: 16 − 4 − 6 = 6.
Это то самое уравнение со сл. 10: (x − 2)(x + 3) = 2x. Проверка: x = 3 → 1 · 6 = 6 = 2 · 3 ✓; x = −2 → (−4) · 1 = −4 = 2 · (−2) ✓.
Примеры по числу корней — со сл. 4: x² − 9 = 0 (2 корня), x² = 0 (1), x² + 4 = 0 (нет). Что «не больше двух» — докажем на уроке о формуле корней; сейчас только наблюдаем. Перебор — не способ решения: корень может быть дробным.

R05 (история алгебры)

Из истории алгебры

Аль-Хорезми, IX век: «квадрат и десять корней равны 39»

x^{2} + 10 x = 39

x^{2} + 10 x - 39 = 0

x = 3

:

9 + 30 - 39 = 0

✓

от его книги «аль-джабр» — слово алгебра

1 мин · теория
Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (Хорезм – Багдад, IX в.) — трактат «Китаб аль-джабр валь-мукабала». Уравнения он записывал словами и решал геометрически, достраивая фигуру до квадрата; отрицательные корни не рассматривались.
Второй корень этого уравнения — −13: 169 − 130 − 39 = 0. Можно спросить сильных учеников.
Если не хватает времени — пропустить слайд (виды деятельности ФРП: «Знакомиться с историей развития алгебры»).

R05.1

Найдите ошибку

Типичные ошибки

Запись	Ученик пишет	Верно
$x^{2} - 4 x + 1 = 0$	$b = 4$	$b = - 4$ — знак входит в коэффициент
$x^{2} + 5 = 3 x$	$a = 1, b = 0, c = 5$	$x^{2} - 3 x + 5 = 0$ : $b = - 3$
$7 x - 2 x^{2} = 0$	$a = 7, b = - 2$	$a = - 2, b = 7, c = 0$
$x (x - 1) = 2$	$x = 2$ или $x - 1 = 2$	$x^{2} - x - 2 = 0$ , справа должен быть 0

R05.1

Задания с самопроверкой

Решите — ответы по клику

базаНазовите $a$ , $b$ , $c$ : $5 x^{2} - x + 2 = 0$ $5; - 1; 2$
базаНазовите $a$ , $b$ , $c$ : $7 - x^{2} + 2 x = 0$ $- 1; 2; 7$
повыш.Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ : $(2 x - 1) (x + 4) = 3 x^{2} - 1$ $x^{2} - 7 x + 3 = 0$

повыш.Какие из чисел −3, 1, 4 — корни $x^{2} - x - 12 = 0$ ? $- 3$ и $4$
практикаПлощадь прямоугольника 60 см², одна сторона на 7 см меньше другой. Составьте уравнение; подходит ли $x = 12$ ? $x^{2} - 7 x - 60 = 0$ ; да
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $(x + 4)^{2} = (x - 6)^{2}$ $x = 1$

3,5 мин · практика
Ответы: 1) a = 5, b = −1, c = 2. 2) a = −1, b = 2, c = 7.
3) 2x² + 8x − x − 4 = 3x² − 1 → 2x² + 7x − 4 − 3x² + 1 = 0 → −x² + 7x − 3 = 0 (или x² − 7x + 3 = 0).
4) −3: 9 + 3 − 12 = 0 — да; 1: 1 − 1 − 12 = −12 — нет; 4: 16 − 4 − 12 = 0 — да.
5) x — большая сторона: x(x − 7) = 60 → x² − 7x − 60 = 0; x = 12: 144 − 84 − 60 = 0 — подходит, стороны 12 см и 5 см (12 · 5 = 60).
6) x² + 8x + 16 = x² − 12x + 36 → 20x = 20 → x = 1. Проверка: 5² = 25, (−5)² = 25. Ответ: 1. Мораль: x² сократились, a = 0 — уравнение оказалось линейным.
При нехватке времени задание 5 перенести в ДЗ.

R05.1 · ОГЭ, линия 9

Формат ОГЭ · линия 9

Похоже на квадратное — проверьте! Ответ по клику

1 · решите уравнение

$(x - 3)^{2} = (x + 5)^{2}$

Ответ:

- 1

2 · решите уравнение

$x (x + 6) = x^{2} - 12$

Ответ:

- 2

3 · решите уравнение

$(x + 2) (x - 2) = x^{2} + 4 x$

Ответ:

- 1

4 · какое из чисел — корень уравнения?

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 1) $- 4$ 2) $- 2$ 3) $2$ 4) $8$

Ответ: 2

2,5 мин · практика
Мораль задач 1–3: после раскрытия скобок x² сокращается, a = 0 — уравнение линейное (вспоминаем слайд «Почему a ≠ 0»). В бланк ОГЭ записывается только число.
1) x² − 6x + 9 = x² + 10x + 25 → −16x = 16 → x = −1. Проверка: (−4)² = 16, 4² = 16 ✓.
2) x² + 6x = x² − 12 → 6x = −12 → x = −2. Проверка: −2 · 4 = −8; 4 − 12 = −8 ✓.
3) x² − 4 = x² + 4x → 4x = −4 → x = −1. Проверка: 1 · (−3) = −3; 1 − 4 = −3 ✓.
4) −4: 16 + 8 − 8 = 16; −2: 4 + 4 − 8 = 0 ✓; 2: 4 − 4 − 8 = −8; 8: 64 − 16 − 8 = 40. Ответ: 2 (число −2). Второй корень уравнения — 4, его нет среди вариантов.

R05.1

Задачи из жизни · составьте модель

Составьте квадратное уравнение и проверьте число

Рамка для фото

Фото 10 × 15 см вставили в рамку ширины $x$ см. Площадь фото с рамкой — 266 см². Подходит ли $x = 2$ ?

(10 + 2 x) (15 + 2 x) = 266

2 x^{2} + 25 x - 58 = 0

да:

14 \cdot 19 = 266

Два числа

Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 132. Проверьте $x = 11$ .

x (x + 1) = 132

x^{2} + x - 132 = 0

да: числа 11 и 12

Мяч

Высота мяча через $t$ с: $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Когда он на высоте 15 м? Проверьте $t = 1$ и $t = 3$ .

5 t^{2} - 20 t + 15 = 0

t^{2} - 4 t + 3 = 0

оба корня подходят

2,5 мин · практика
Работа в парах, каждая пара — одна задача по выбору (по рядам). Открываем по клику: уравнение → стандартный вид → проверка.
Рамка: стороны с рамкой 10 + 2x и 15 + 2x; 150 + 20x + 30x + 4x² = 266 → 4x² + 50x − 116 = 0 → ÷2: 2x² + 25x − 58 = 0. x = 2: 2 · 4 + 50 − 58 = 0 ✓; 14 · 19 = 266 ✓. Ширина рамки 2 см.
Числа: x(x + 1) = 132 → x² + x − 132 = 0; x = 11: 121 + 11 − 132 = 0 ✓ (11 · 12 = 132). Второй корень −12 не натуральный.
Мяч: 20t − 5t² = 15 → 5t² − 20t + 15 = 0 → ÷5: t² − 4t + 3 = 0; t = 1: 1 − 4 + 3 = 0 ✓; t = 3: 9 − 12 + 3 = 0 ✓. Мяч на высоте 15 м дважды: на подъёме (1 с) и при падении (3 с).

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

$a$ , $b$ , $c$ у $4 x^{2} - x - 3 = 0$ $4; - 1; - 3$
К стандартному виду:
$x (x + 2) = 3 x + 6$ $x^{2} - x - 6 = 0$
Корень ли $- 2$ уравнения
$x^{2} - x - 6 = 0$ ? да
При каком $c$ число $3$ — корень
$x^{2} - 2 x + c = 0$ ? $c = - 3$

Вариант 2

$a$ , $b$ , $c$ у $5 x^{2} + 2 x - 7 = 0$ $5; 2; - 7$
К стандартному виду:
$x (x - 3) = 2 x - 4$ $x^{2} - 5 x + 4 = 0$
Корень ли $- 1$ уравнения
$x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ? нет
При каком $c$ число $- 2$ — корень
$x^{2} + 3 x + c = 0$ ? $c = 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое уравнение называют квадратным?
Почему $a \neq = 0$ ?
Как проверить, что число — корень?

Домашнее задание

$a$ , $b$ , $c$ у $4 - 3 x^{2} + x = 0$
$(x + 5) (x - 1) = 2 x + 3$ → вид $a x^{2} + b x + c = 0$ ; корни ли $2$ и $- 4$ ?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-043 · Квадратное уравнение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения», 15 ч · урок 1/15 · тип Н
Единицы → слайды	R05.1 «Квадратное уравнение» → теория 5–8, 10, 12, 14, 16; практика 9, 11, 13, 15, 18–22 · повторение R01.6 (x² = a), R03.1 (квадратный трёхчлен) → 3–4 · история алгебры (виды деятельности R05) → 17 · итог и ДЗ → 23
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 → 6–13, 18–20, 22 · ПР-9 / REQ-3.2 → 4, 14–16, 19–20, 22 · ПР-10 / REQ-3.3 → 5, 14, 19, 21 · EL-3.1
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Вне урока	неполные уравнения — ALG8-044; формула корней — ALG8-045; теорема Виета — ALG8-046; текстовые задачи — R05.7
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратное уравнение

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Приводить к виду

Проверять корни

Составлять модель

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

Уравнение x2=a и квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен

Участок: длина на 3 м больше ширины, площадь 40 м²

Квадратное уравнение

Почему a=0? Квадратное или нет?

a, b, c — вместе со знаком

Назовите a, b, c — ответ по клику

Приводим к виду ax2+bx+c=0

Приведите к виду ax2+bx+c=0 — ответ по клику

Какие бывают квадратные уравнения

Приведённое? Полное? — ответ по клику

Сделайте приведённым

Полное или неполное?

Какие числа — корни уравнения x2+3x−40=0?

Подставьте и проверьте — ответ по клику

Значения x2−x−6 при разных x

Нули: x=−2 и x=3

Аль-Хорезми, IX век: «квадрат и десять корней равны 39»

Типичные ошибки

Решите — ответы по клику

Похоже на квадратное — проверьте! Ответ по клику

Составьте квадратное уравнение и проверьте число

Рамка для фото

Два числа

Мяч

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-043 · Квадратное уравнение

Уравнение $x^{2} = a$ и квадратный трёхчлен

Почему $a \neq = 0$ ? Квадратное или нет?

$a$ , $b$ , $c$ — вместе со знаком

Назовите $a$ , $b$ , $c$ — ответ по клику

Приводим к виду $a x^{2} + b x + c = 0$

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ — ответ по клику

Какие числа — корни уравнения $x^{2} + 3 x - 40 = 0$ ?

Значения $x^{2} - x - 6$ при разных $x$

Нули: $x = - 2$ и $x = 3$