Алгебраическая дробь · урок 15 из 15 · обобщение

Обобщение: алгебраическая дробь

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-042

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 15/15 — последний в строке. Тип О (обобщение и систематизация): единицы R04.1–R04.6. До этого — практикумы ALG8-036…041 по отдельным единицам; после — R05 «Квадратные уравнения» (ALG8-043).
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория (вся сохранена): титул 1, цели 1 (сл. 1–2), карта темы 1 (сл. 5), шаги 1–6 — 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 (сл. 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16). Практика: разминка 2 + 2 (сл. 3–4), «ваша очередь» 2 + 3 + 3 + 2 + 2 (сл. 7, 10, 13, 15, 17), найди ошибку 2 (сл. 18), самопроверка 2 + 3 (сл. 19–20), ОГЭ 2 (сл. 21), самостоятельная работа 4 (сл. 22), рефлексия и ДЗ 2 (сл. 23).
Если не успеваете: на сл. 20 решить 1, 3, 4, 5, остальные — в ДЗ; на сл. 13 — задания 1, 3, 4.

R04.1–R04.6

Цели урока

Сегодня вы соберёте тему целиком

Видеть всю тему

шесть шагов: от дроби и её допустимых значений до преобразований (ПР-5)

Выполнять действия

сложение, вычитание, умножение и деление дробей (ПР-5, REQ-2.2)

Упрощать выражения

в несколько действий и проверять подстановкой (ПР-5, REQ-2.2)

Применять

выражать переменную из формулы, считать по формуле (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-5 (REQ-2.2): «выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями». ПР-7 (REQ-2.4): «применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Элементы содержания: EL-2.2 «Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби», EL-2.3 «Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей», EL-2.4 «Рациональные выражения и их преобразование».
Вопрос классу: какое действие с дробями кажется самым трудным? Запомнить ответы — вернёмся на рефлексии.

повторение: R03, 5–6 кл.

Разминка · устно

Разложите на множители и вычислите

1

x^{2} - 25

(x - 5) (x + 5)

5

\frac{2}{3} + \frac{1}{6}

\frac{5}{6}

2

a^{2} + 6 a + 9

(a + 3)^{2}

6

\frac{5}{6} - \frac{3}{4}

\frac{1}{12}

3

3 x - 12

3 (x - 4)

7

\frac{3}{4} : \frac{9}{8}

\frac{2}{3}

4

- (2 - x)

x - 2

8

\frac{12 a ^{3}}{4 a}

3 a^{2}

повторение: ALG8-036…041

Разминка

Верно или неверно?

R04.1–R04.6

Карта темы

Шесть шагов темы «Алгебраическая дробь»

R04.1 · R04.2

Шаги 1–2 · дробь и допустимые значения

Когда дробь $\frac{x + 5}{x ^{2} - 4 x}$ имеет смысл?

x^{2} - 4 x = x (x - 4) \neq = 0

x \neq = 0, x \neq = 4

Значение дроби

$x = 5$ : $\frac{10}{5} = 2$
$x = 4$ : не имеет смысла

Ваша очередь: при каких

x

не имеет смысла

\frac{2 x}{x ^{2} - 9}

?

R04.1 · R04.2

Шаги 1–2 · ваша очередь

При каких $x$ дробь не имеет смысла?

база $\frac{2 x}{x ^{2} - 9}$ $x = \pm 3$
база $\frac{5}{x ^{2} + 2 x}$ $x = 0; x = - 2$
повыш. $\frac{x}{x ^{2} + 1}$ таких нет
базаЗначение $\frac{x ^{2} - 4}{x + 3}$ при $x = - 1$ $- 1, 5$

Алгоритм

1) знаменатель $= 0$
2) разложить на множители
3) каждый множитель $= 0$

R04.3

Шаг 3 · основное свойство дроби

Умножаем числитель и знаменатель на одно и то же

\frac{P}{Q} = \frac{P \cdot R}{Q \cdot R}, R \neq = 0

Знак «−»

$- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}$

Приведите

\frac{5}{2 y}

к знаменателю

6 y^{3}

R04.4

Шаг 4 · сокращение

Чем разложить — так и сократить

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x} =

= \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )}

= \frac{x - 3}{x}

проверка: $x = 1$ : $- 8 : 4 = - 2$ и $- 2 : 1 = - 2$ ✓

R04.3 · R04.4

Шаги 3–4 · ваша очередь

Приведите к знаменателю и сократите

база $\frac{5}{2 y}$ к знаменателю $6 y^{3}$
$\frac{15 y ^{2}}{6 y ^{3}}$
база $\frac{a}{a - 3}$ к знаменателю $a^{2} - 9$
$\frac{a ^{2} + 3 a}{a ^{2} - 9}$

базаСократите $\frac{14 a ^{2} b}{21 a b ^{3}}$ $\frac{2 a}{3 b ^{2}}$
базаСократите $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{2 x - 6}$ $\frac{x - 3}{2}$
повыш.Сократите $\frac{ab - 2 a + 3 b - 6}{b ^{2} - 4}$
$\frac{a + 3}{b + 2}$

R04.5

Шаг 5 · сводная таблица

Четыре действия с дробями

Действие	Правило	Пример
± одинаковые знаменатели	$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$	$\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 1$
± разные знаменатели	$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a d \pm b c}{b d}$	$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y}$
· умножение	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$	$\frac{2 a}{b} \cdot \frac{b ^{2}}{4 a} = \frac{b}{2}$
: деление	$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a d}{b c}$	$\frac{x ^{2}}{y} : \frac{x}{y ^{2}} = x y$

R04.5

Шаг 5 · общий знаменатель

Вычислим $\frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 4}$

= \frac{x + 2 - 4}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

= \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

= \frac{1}{x + 2}

R04.5

Шаг 5 · ваша очередь

Выполните действия

база $\frac{3 x}{x - 2} - \frac{6}{x - 2}$ $3$
база $\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$ $\frac{1}{a ( a + 1 )}$
повыш. $\frac{3}{x - 3} - \frac{18}{x ^{2} - 9}$ $\frac{3}{x + 3}$

база $\frac{x ^{2} - 1}{4 x} \cdot \frac{8 x ^{2}}{x + 1}$
$2 x (x - 1)$
база $\frac{a ^{2} - 9}{a} : \frac{a - 3}{a ^{2}}$
$a (a + 3)$

R04.6

Шаг 6 · преобразование выражения

Упростим по действиям

(\frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b}) : \frac{ab}{a - b}

R04.6

Шаг 6 · ваша очередь

Упростите выражение

база $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) : \frac{x + y}{x y}$ $1$
повыш. $(\frac{a}{a - 2} - \frac{a}{a + 2}) \cdot \frac{a ^{2} - 4}{a}$ $4$
повыш. $\frac{2}{b} - \frac{b - 2}{b} \cdot \frac{4}{b - 2}$ $- \frac{2}{b}$

Порядок

1) скобки
2) умножение и деление
3) сложение и вычитание
4) проверка подстановкой

R04.6

Применение · физика

Параллельное соединение: выразим $R$

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

\frac{1}{R} = \frac{R _{2} + R _{1}}{R _{1} R _{2}}

сложили дроби

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

перевернули обе части равенства

R04.6

Применение · ваша очередь

Выразите переменную из формулы

базаВыразите $t$ : $v = \frac{s}{t}$ $t = \frac{s}{v}$
базаВыразите $m$ : $E = \frac{m v ^{2}}{2}$ $m = \frac{2 E}{v ^{2}}$
из жизниЛинза: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ . Выразите $F$ и найдите его при $d = 30$ см, $f = 15$ см
$F = \frac{df}{d + f} = 10$ см

Как на сл. 16

сложить дроби
→ перевернуть обе части
→ подставить числа

R04.2–R04.5

Типичные ошибки · найдите ошибку

Где ошибка?

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{a + 3}{b + 3} = \frac{a}{b}$	сократили слагаемое	не сокращается
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{a + b}$	сложили знаменатели	$\frac{a + b}{ab}$
$\frac{x}{x - 2} - \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$	минус — на весь числитель	$- \frac{1}{x - 2}$
$\frac{x + 2}{x ^{2} - 4} : x \neq = 2$	смотрим исходную дробь	$x \neq = 2, x \neq = - 2$

R04.2–R04.5

Задания с самопроверкой · базовый уровень

Решите и сверьте ответ

шаг 2При каких $b$ не имеет смысла $\frac{b + 2}{b ^{2} - 36}$ ? $b = \pm 6$
шаг 4Сократите $\frac{4 x + 8}{x ^{2} - 4}$ $\frac{4}{x - 2}$
шаг 5 $\frac{2}{3 x} + \frac{1}{6 x}$ $\frac{5}{6 x}$

шаг 5 $\frac{3 a}{b ^{2}} \cdot \frac{b}{9 a ^{2}}$ $\frac{1}{3 ab}$
ОГЭ, линия 8Найдите значение $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 6 x + 9}$ при $x = 5$ $4$

R04.2–R04.6

Задания с самопроверкой · база и повышенный уровень

Решите и сверьте ответ

базаПри каких $x$ не имеет смысла $\frac{x + 7}{x ^{2} + 5 x}$ ?
$x = 0; x = - 5$
базаПриведите $\frac{2}{3 a}$ к знаменателю $12 a^{2} b$
$\frac{8 ab}{12 a ^{2} b}$
базаСократите $\frac{5 x - 15}{x ^{2} - 9}$ $\frac{5}{x + 3}$

повыш. $\frac{x}{x - y} + \frac{y}{y - x}$ $1$
повыш. $\frac{a ^{2} - 4}{3 a} : \frac{a + 2}{6 a ^{2}}$
$2 a (a - 2)$
практикаВыразите $h$ : $S = \frac{( a + b ) h}{2}$
$h = \frac{2 S}{a + b}$

3 мин · практика
Решают в тетрадях, затем ответы открываются по клику, класс сверяет. Ответы: 1) x(x + 5) = 0: x = 0 и x = −5; 2) дополнительный множитель 4ab: 8ab/(12a²b); 3) 5(x − 3)/((x − 3)(x + 3)) = 5/(x + 3); 4) x/(x − y) − y/(x − y) = (x − y)/(x − y) = 1 (при x ≠ y); 5) (a − 2)(a + 2)/(3a) · 6a²/(a + 2) = 2a(a − 2) = 2a² − 4a; 6) 2S = (a + b)h, h = 2S/(a + b).
Проверки: 4) x = 3, y = 1: 3/2 + 1/(−2) = 1; 5) a = 1: (−3/3) : (3/6) = −2 и 2 · 1 · (−1) = −2; 6) a = 3, b = 5, h = 4: S = 16, 2 · 16/8 = 4.
Ошибка в 4: не заметить, что y − x = −(x − y). Если не успеваете: 2 и 6 — в ДЗ.

R04.6

Формат ОГЭ

ОГЭ, линия 12 Расчёт по формуле

Общее сопротивление $R$ двух проводников при параллельном соединении вычисляется по формуле $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ . Найдите $R_{2}$ (в омах), если $R = 6$ Ом, $R_{1} = 10$ Ом.

План

1) подставить числа
2) умножить обе части на знаменатель
3) решить линейное уравнение
4) проверить подстановкой

6 = \frac{10 R _{2}}{10 + R _{2}}

R_{2} = 15

Ом

R04.2–R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

нет смысла при $\frac{x - 3}{x ^{2} - 7 x}$ $0; 7$
$\frac{x ^{2} - 16}{3 x + 12}$ $\frac{x - 4}{3}$
$\frac{2}{x - 1} - \frac{4}{x ^{2} - 1}$ $\frac{2}{x + 1}$
$\frac{a ^{2} - 1}{2 a} : \frac{a + 1}{4 a ^{2}}$ $2 a (a - 1)$

Вариант 2

нет смысла при $\frac{x + 4}{x ^{2} + 6 x}$ $0; - 6$
$\frac{y ^{2} - 25}{2 y + 10}$ $\frac{y - 5}{2}$
$\frac{3}{x - 2} - \frac{12}{x ^{2} - 4}$ $\frac{3}{x + 2}$
$\frac{b ^{2} - 4}{3 b} : \frac{b - 2}{6 b ^{2}}$ $2 b (b + 2)$

4 мин · практика
3 минуты на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). В каждом варианте — шаги 2, 4, 5 (сложение) и 5 (деление).
Вариант 1: 1) x(x − 7) = 0 при x = 0 и x = 7; 2) (x − 4)(x + 4)/(3(x + 4)) = (x − 4)/3; 3) общий знаменатель (x − 1)(x + 1): (2x + 2 − 4)/((x − 1)(x + 1)) = 2(x − 1)/((x − 1)(x + 1)) = 2/(x + 1); 4) (a − 1)(a + 1)/(2a) · 4a²/(a + 1) = 2a(a − 1).
Вариант 2: 1) x(x + 6) = 0 при x = 0 и x = −6; 2) (y − 5)(y + 5)/(2(y + 5)) = (y − 5)/2; 3) (3x + 6 − 12)/((x − 2)(x + 2)) = 3(x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = 3/(x + 2); 4) (b − 2)(b + 2)/(3b) · 6b²/(b − 2) = 2b(b + 2).
Проверки: В1 № 3, x = 0: −2 + 4 = 2 и 2/1 = 2; В2 № 3, x = 0: −1,5 + 3 = 1,5 и 3/2 = 1,5; В1 № 4, a = 2: (4 − 1)/4 = 0,75; (2 + 1)/16 = 0,1875; 0,75 : 0,1875 = 4 и 2 · 2 · 1 = 4 ✓. Критерий: «5» — 4 задания, «4» — 3, «3» — 2.

рефлексия · ДЗ

Итог темы

Оцените себя по карте и потренируйтесь

Светофор по шагам 1–6

зелёный — могу объяснить
жёлтый — делаю с подсказкой
красный — надо повторить

Домашнее задание

При каких $x$ не имеет смысла $\frac{3 x}{x ^{2} - 25}$ ?
Упростите $(\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}) \cdot \frac{a ^{2} - b ^{2}}{b}$
Значение $\frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 8 x + 16}$ при $x = 6$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

2 мин · практика
Рефлексия: каждый отмечает в тетради цвет для шагов 1–6 карты (сл. 5). «Красные» шаги — повторить по тренажёру. Вернуться к вопросу со сл. 2: изменилось ли, какое действие самое трудное?
Ответы ДЗ: 1) x = 5 и x = −5; 2) (a + b − a + b)/(a² − b²) · (a² − b²)/b = 2b/b = 2 (проверка a = 3, b = 1: (1/2 − 1/4) · 8 = 2); 3) (x − 4)/(x + 4) = 2/10 = 0,2 (без сокращения: 20/100 = 0,2).
Следующий урок ALG8-043 — новая строка R05 «Квадратные уравнения»: разложение на множители и допустимые значения понадобятся в дробно-рациональных уравнениях.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-042 · Обобщение и систематизация: алгебраическая дробь

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 15/15 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R04.1 «Алгебраическая дробь» → 5, 6, 7 (зад. 4) · R04.2 «Допустимые значения переменных…» → 5, 6, 7, 18, 19 (зад. 1), 20 (зад. 1), 22 (зад. 1) · R04.3 «Основное свойство алгебраической дроби» → 5, 8, 10 (зад. 1–2), 20 (зад. 2) · R04.4 «Сокращение дробей» → 3, 4, 9, 10 (зад. 3–5), 18, 19 (зад. 2, 5), 20 (зад. 3), 22 (зад. 2) · R04.5 «Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей» → 3, 4, 11, 12, 13, 18, 19 (зад. 3–4), 20 (зад. 4–5), 22 (зад. 3–4) · R04.6 «Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби» → 14, 15, 16, 17, 20 (зад. 6), 21
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 2–15, 18–20, 22, 23 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение преобразований) → 16, 17, 20 (зад. 6), 21 · EL-2.2, EL-2.3, EL-2.4
Вне урока	квадратные и дробно-рациональные уравнения — R05 (ALG8-043 и далее); разложение квадратного трёхчлена — только как памятка (R03)
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16) · практика 31 мин (69 %): сл. 3, 4, 7, 10, 13, 15, 17–23 · вся теория урока сохранена
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: алгебраическая дробь

Сегодня вы соберёте тему целиком

Видеть всю тему

Выполнять действия

Упрощать выражения

Применять

Разложите на множители и вычислите

Верно или неверно?

Шесть шагов темы «Алгебраическая дробь»

Когда дробь x2−4xx+5​ имеет смысл?

Значение дроби

При каких x дробь не имеет смысла?

Алгоритм

Умножаем числитель и знаменатель на одно и то же

Знак «−»

Чем разложить — так и сократить

Приведите к знаменателю и сократите

Четыре действия с дробями

Вычислим x−21​−x2−44​

Выполните действия

Упростим по действиям

Упростите выражение

Порядок

Параллельное соединение: выразим R

Выразите переменную из формулы

Как на сл. 16

Где ошибка?

Решите и сверьте ответ

Решите и сверьте ответ

ОГЭ, линия 12 Расчёт по формуле

План

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

Вариант 2

Оцените себя по карте и потренируйтесь

Светофор по шагам 1–6

Домашнее задание

ALG8-042 · Обобщение и систематизация: алгебраическая дробь

Когда дробь $\frac{x + 5}{x ^{2} - 4 x}$ имеет смысл?

При каких $x$ дробь не имеет смысла?

Вычислим $\frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 4}$

Параллельное соединение: выразим $R$