Алгебраическая дробь · урок 13 из 15 · практикум

Практикум: алгебраическая дробь

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-040

Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 13/15, единица R04.1 «Алгебраическая дробь». Тип урока — П (второй практикум по R04.1; первый — ALG8-034).
1 мин · теория (орг. момент). Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул 1 (т) · цели 1 (т) · разминка 3 (п, сл. 3) · строение дроби 2 (т, сл. 4) · карта 1 (т, сл. 5) · тип 1: образец 2 (т) + задания 3 (п) (сл. 6–7) · тип 2: образец 2 (т) + задания 3 (п) (сл. 8–9) · самопроверка 1 — 2 (п, сл. 10) · тип 3: образец 2 (т) + задания 3 (п) (сл. 11–12) · тип 4: образец 2 (т) + задания 2 (п) (сл. 13–14) · самопроверка 2 — 2 (п, сл. 15) · найди ошибку 2 (п, сл. 16) · закрепление 3 (п, сл. 17) · ОГЭ 2 (п, сл. 18) · задача из жизни 2 (п, сл. 19) · самостоятельная 4 (п, сл. 20) · итог и ДЗ 1 (т, сл. 21).
Отличие от ALG8-034: значения переменных — отрицательные, десятичные и обыкновенные дроби; новый тип «когда дробь равна нулю»; задачи с двумя этапами; формулы, где выражаемая переменная попадает в знаменатель.
Если не успеваете: в сл. 7, 9, 12 решать только по два первых задания, остальные — в ДЗ; сл. 19 можно дать на дом.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Вычислять

значение дроби при отрицательных и дробных значениях, на калькуляторе

Находить

значения переменной, при которых дробь равна нулю

Составлять

дробь по условию задачи и вычислять её значение

Выражать

переменную из формулы и находить её значение

1 мин · теория
ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями» — сл. 6–10, 13–15, 17, 18, 20.
ПР-7 (REQ-2.4): «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики» — сл. 11–15, 17–20.
Виды деятельности ФРП (R04): «Записывать алгебраические выражения. … Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби, в том числе с помощью калькулятора. … Выражать переменные из формул (физических, геометрических, описывающих бытовые ситуации)».

повторение: 6–7 класс

Разминка · устно

Посчитайте в уме — пригодится сегодня

$(- 3)^{2}$ $9$
$- 3^{2}$ $- 9$
$9 - 1, 5$ $7, 5$
$4, 5 : (- 3)$ $- 1, 5$

$\frac{1}{3} + 1$ $\frac{4}{3}$
$2 \cdot 1, 5 - 4$ $- 1$
$x + 7 = 0$ , x = ? $- 7$
$x^{2} = 25$ , x = ? $\pm 5$

повторение: R04.1

Вспомним

Из чего состоит алгебраическая дробь

Устно

$\frac{x + 4}{x - 1}$ при x = −2
Целое или дробное: $\frac{3 x}{5}$ , $\frac{5}{3 x}$ ?
Запишите дробью: a конфет поровну на n детей

R04.1

План практикума

Четыре типа заданий

R04.1

Тип 1 · образец

Подставляем отрицательное и десятичное число

числитель

9 − 1,5 = 7,5

знаменатель

−3 − 3 = −6

делим

7,5 : (−6) = −1,25

R04.1

Тип 1 · решите

Найдите значение дроби

база $\frac{x ^{2} + 1}{x - 3}$ при x = −2
повыш. $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ при $x = \frac{1}{3}$
калькулятор $\frac{3 , 7 + 1 , 25}{2 , 4 \cdot 0 , 8 - 1 , 1}$ , до сотых

R04.1

Тип 2 · образец

При каком x дробь равна нулю?

\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0

1. числитель = 0

x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2

или

x = - 2

2. знаменатель ≠ 0

x + 2 ≠ 0 → x ≠ −2

Ответ:

x = 2

R04.1

Тип 2 · решите

При каком x дробь равна нулю?

база $\frac{x - 5}{x + 7}$
база $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$
повыш. $\frac{x ^{2} + 3 x}{x}$

повыш.При каком x $\frac{6}{x - 1} = 2$ ?
повыш.Может ли $\frac{5}{x ^{2} + 1}$ равняться 0?

числитель = 0 и знаменатель ≠ 0

R04.1

Задания с самопроверкой · типы 1 и 2

Решите и сверьте ответ

Найдите значение

база $\frac{2 x + 3}{x - 1}$ при $x = - 1$ $- 0, 5$
база $\frac{a ^{2} + 1}{a + 3}$ при $a = - 0, 5$ $0, 5$
повыш. $\frac{x - y}{x + y}$ при $x = \frac{1}{2}$ , $y = - \frac{1}{4}$ $3$

При каком x дробь равна 0?

база $\frac{x + 8}{x - 2}$ $x = - 8$
база $\frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ $x = 1$
повыш. $\frac{x ^{2} - 5 x}{x - 5}$ $x = 0$

R04.1

Тип 3 · образец

Средняя цена смеси — дробь

m кг яблок по a руб.,
n кг груш по b руб.

средняя = \frac{am + bn}{m + n}

m = 2, a = 120, n = 3, b = 180

\frac{240 + 540}{5} = 156

руб.

R04.1

Тип 3 · решите

Запишите дробью и вычислите

базаТруба наполняет бассейн за x ч. Какую часть — за 3 ч? Вычислите при x = 12.
базаПлощадь прямоугольника 36 см², одна сторона x см. Вторая сторона? При x = 4,5?
практикаВелосипедист проехал s км за t ч, затем ещё 10 км за 0,5 ч. Средняя скорость? При s = 26, t = 1,5?

R04.1

Тип 4 · образец

Выражаем высоту трапеции из формулы площади

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

2S = (a + b) · h умножили на 2

h = \frac{2 S}{a + b}

разделили на a + b

h = \frac{2 \cdot 36}{5 + 7} = \frac{72}{12} = 6

R04.1

Тип 4 · решите

Выразите переменную из формулы

база $v = \frac{s}{t}$ — выразите t
база $S = \frac{ah}{2}$ — выразите a;
найдите a: S = 15, h = 6
практика $t_{F} = 1, 8 t_{C} + 32$ — выразите $t_{C}$ ;
найдите $t_{C}$ при $t_{F} = 212$

R04.1

Задания с самопроверкой · типы 3 и 4

Составьте дробь, выразите переменную

база2 кг конфет по a руб. и 3 кг печенья по b руб. Средняя цена 1 кг? При a = 400, b = 150. $\frac{2 a + 3 b}{5}$ ; 250 руб.
базаПремию 60 000 руб. делят поровну на n человек. Сколько получит каждый? При n = 8. $\frac{60 000}{n}$ ; 7500 руб.
повыш.Лодка прошла 15 км по течению; своя скорость x км/ч, течение 2 км/ч. Время? При x = 13. $\frac{15}{x + 2}$ ; 1 ч

база $F = ma$ — выразите m; m при F = 30, a = 1,5 $m = \frac{F}{a}$ ; 20
повыш. $P = 2 (a + b)$ — выразите b; b при P = 26, a = 5 $b = \frac{P - 2 a}{2}$ ; 8
повыш. $s = \frac{v + v _{0}}{2} t$ — выразите t; t при s = 60, v = 14, $v_{0} = 6$ $t = \frac{2 s}{v + v _{0}}$ ; 6

R04.1

Найдите ошибку

Четыре частые ошибки

Ситуация	Ошибка	Верно
$a^{2}$ при $a = - 3$	$- 3^{2} = - 9$	$(- 3)^{2} = 9$
дробь $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$	x = 2 или x = −2	x = 2 (x ≠ −2)
калькулятор	3,7 + 1,25 ÷ 0,82	(3,7 + 1,25) ÷ 0,82
из 2S = (a + b)h	h = 2S : a + b	h = 2S : (a + b)

R04.1

Закрепление

Решите самостоятельно

база $\frac{3 x - 2}{x + 4}$ при x = −0,5
базаПри каком x $\frac{2 x + 6}{x - 1} = 0$ ?
повыш. $\frac{a - b}{ab}$ при $a = \frac{1}{2}$ , $b = - \frac{1}{3}$
повыш.При каком x $\frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 4 x} = 0$ ?

практикаЭкскурсия: 9000 руб. за автобус и 1500 руб. с каждого из k человек. Стоимость на одного? При k = 6?
ОГЭ, линия 12Работа тока $A = \frac{U ^{2} t}{R}$ (Дж). Найдите R (Ом), если t = 15 с, U = 40 В, A = 1200 Дж.

R04.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12 · расчёт по формуле

Ответ в бланк — одно число

линия 12Мощность тока $P = I^{2} R$ (Вт). Найдите R (Ом), если P = 147 Вт, I = 3,5 А. 12
линия 12Площадь четырёхугольника $S = \frac{d _{1} d _{2} sin α}{2}$ . Найдите $d_{2}$ , если $d_{1} = 16$ , $sin α = 0, 4$ , S = 12,8. 4
линия 12Путь $s = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ (м). Найдите a (м/с²), если $v_{0} = 3$ м/с, t = 4 с, s = 44 м. 4

R04.1

Задача из жизни

Сколько стоит километр на такси?

Посадка — 150 руб., каждый километр — 30 руб. Поездка — s км.

базаЗапишите стоимость 1 км дробью $\frac{150 + 30 s}{s}$
базаВычислите при s = 5 и s = 15 60 и 40 руб.
повыш.При каком s 1 км стоит 45 руб.? s = 10
повыш.Может ли 1 км стоить 30 руб.? нет

R04.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

$\frac{x ^{2} - 3}{x + 2}$ при $x = - 1, 5$ $- 1, 5$
При каком x $\frac{x ^{2} - 36}{x - 6} = 0$ ? $x = - 6$
m тетрадей по 25 руб. и n по 40 руб. Средняя цена? При m = 6, n = 4 31 руб.
$E = m g h$ — выразите h; h при E = 980, m = 10, g = 9,8 10

Вариант 2

$\frac{x ^{2} - 5}{x + 3}$ при $x = - 2, 5$ $2, 5$
При каком x $\frac{x ^{2} - 49}{x + 7} = 0$ ? $x = 7$
k кг по 80 руб. и p кг по 120 руб. Средняя цена 1 кг? При k = 3, p = 1 90 руб.
$Q = c m t$ — выразите t; t при Q = 84 000, c = 4200, m = 2 10

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Зачем при подстановке скобки?
Когда дробь равна нулю?
Как найти среднюю цену?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} - 2}{2 x + 1}$ при x = −1,5
$\frac{x ^{2} - 25}{x + 5} = 0$ — найдите x
$I = \frac{U}{R}$ — выразите R;
найдите R: U = 220, I = 5,5
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-040 · Практикум: Алгебраическая дробь

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 13/15 · тип П (второй практикум по R04.1; первый — ALG8-034) · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R04.1 «Алгебраическая дробь» → 2, 5–21 · повторение: счёт с отрицательными и дробными числами → 3, строение дроби → 4
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (рациональные выражения, алгебраические дроби) → 2, 6–10, 13–17, 20 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение в задачах) → 2, 11–15, 17–20 · виды деятельности R04: числовые подстановки и значение дроби, в том числе с калькулятором → 3, 6, 7, 10, 17, 20; записывать алгебраические выражения → 11, 12, 15, 17, 19, 20; выражать переменные из формул → 13–15, 17, 18, 20, 21
ОГЭ	линия 12 (расчёт по формуле): задание 6 слайда 17, слайд 18 (3 задания)
Вне урока	допустимые значения переменных подробно — ALG8-041 (R04.2) · сокращение и действия с дробями — R04.4, R04.5 · обобщение строки — ALG8-042 · простейшие дробно-рациональные уравнения — R05.6
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending