Алгебраическая дробь · урок 12 из 15 · практикум

Преобразование
выражений, содержащих
алгебраические дроби

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-039

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 12/15, единица R04.6. Тип урока — П (практикум). Это второй урок по R04.6: новый материал был на уроке ALG8-033, действия с дробями отрабатывали на ALG8-038.
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 5 (план преобразования) 2 · 6 (дерево выражения) 2 · 8 (образец, тип 1) 2 · 11 (образец, тип 2) 2 · 13 (образец, тип 3) 3. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка и «Вспомним» (сл. 3–4) 4 · «дерево — сами» (сл. 7) 1 · тип 1: задания и «образец → сам» (сл. 9–10) 5 · тип 2 (сл. 12) 3 · тип 3 (сл. 14) 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · задача из жизни (сл. 16) 2 · задания с самопроверкой (сл. 17–18) 5 · формат ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная работа (сл. 20) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задание «б» со сл. 9, 12 и 14 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Упрощать выражения

с несколькими действиями над алгебраическими дробями (ПР-5, REQ-2.2)

Доказывать тождества

показывать, что значение выражения не зависит от переменных (ПР-5)

Находить значение

выражения: сначала упростить, потом подставить (ПР-5, REQ-2.2)

Применять в задачах

преобразовывать формулы из жизни и физики (ПР-7, REQ-2.4)

повторение: R04.4–R04.5

Разминка · устно

Действия с дробями в уме

Вычислите

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x}$ $\frac{5}{x}$
$\frac{a}{3} \cdot \frac{6}{a ^{2}}$ $\frac{2}{a}$
$\frac{x}{4} : \frac{x}{8}$ $2$
$1 - \frac{1}{x}$ $\frac{x - 1}{x}$

Сократите, разложите, ответьте

$\frac{5 a}{10 a ^{2}}$ $\frac{1}{2 a}$
$x^{2} - 25$ $(x - 5) (x + 5)$
$\frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ $x - 1$
$\frac{3}{x + 4}$ : где нет смысла? $x = - 4$

повторение: R04.4–R04.5

Вспомним

Инструменты для преобразований

Разложите:
$x^{2} - 9$ ; $a^{2} + 6 a + 9$
$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} = ?$
$\frac{x}{5} : \frac{x ^{2}}{10} = ?$

R04.6

Алгоритм

План: как упростить выражение с дробями

R04.6

Порядок действий — схемой

Дерево выражения: что делаем первым

(1 - \frac{3}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x ^{2} - 4}

Корень дерева — последнее действие. Оно определяет, что это: произведение.

R04.6

Порядок действий · сами

Какое действие выполняется последним?

а)

(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) : \frac{x + y}{x}

деление

б)

\frac{2}{a} - \frac{3}{a} \cdot \frac{a}{6}

вычитание

в)

\frac{x}{x - 1} \cdot (1 - \frac{1}{x})

умножение

г)

\frac{4}{b} + \frac{b}{2} : \frac{b ^{2}}{8}

сложение

R04.6

Тип 1Образец решения

Упростить выражение со скобками

1)

1 - \frac{3}{x + 1} = \frac{x + 1 - 3}{x + 1} = \frac{x - 2}{x + 1}

2)

\frac{x - 2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

x^{2} - 4

разложили

= \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 2}

Ответ

\frac{1}{x + 2}

при

x \neq = - 1, x \neq = 2, x \neq = - 2

R04.6

Тип 1Ваша очередь

Упростите выражение

а)

(\frac{a}{a - 2} - 1) : \frac{4}{a ^{2} - 4}

подсказка: 1 = $\frac{a - 2}{a - 2}$

Ответ:

\frac{a + 2}{2}

б)

(\frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 x}

подсказка: общий знаменатель $x^{2} - 1$

Ответ:

\frac{x}{2}

R04.6

Тип 1Образец → сам

Скобка, потом второе действие

Образец

(\frac{x}{y} - 1) \cdot \frac{y}{x - y}

1)

\frac{x}{y} - 1 = \frac{x - y}{y}

2)

\frac{x - y}{y} \cdot \frac{y}{x - y} = 1

при $y \neq = 0, x \neq = y$

Сам: упростите

$(1 + \frac{2}{x}) \cdot \frac{x}{x + 2}$ $1$
$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{a + b}{ab}$ $a - b$
$(\frac{3}{y - 3} + 1) : \frac{y}{y ^{2} - 9}$ $y + 3$
$(x - \frac{4}{x}) \cdot \frac{x}{x + 2}$ $x - 2$

R04.6

Тип 2Образец решения

Значение не зависит от переменных

(\frac{b}{a - b} + \frac{b}{a + b}) : \frac{ab}{a ^{2} - b ^{2}} = 2

?

1)

\frac{b ( a + b ) + b ( a - b )}{( a - b ) ( a + b )} = \frac{2 ab}{a ^{2} - b ^{2}}

2)

\frac{2 ab}{a ^{2} - b ^{2}} \cdot \frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} = 2

✓

a	b	значение
2	1	2
3	1	2
5	2	2

Подстановки — проверка. Доказывает только преобразование.

R04.6

Тип 2Ваша очередь

Докажите, что значение равно 1

а)

(\frac{x + 3}{x - 3} - \frac{x - 3}{x + 3}) : \frac{12 x}{x ^{2} - 9}

б)

(\frac{a}{a + 3} + \frac{3}{a - 3}) : \frac{a ^{2} + 9}{a ^{2} - 9}

R04.6

Тип 3Образец решения

Найти значение: сначала упростить

R04.6

Тип 3Ваша очередь

Упростите и найдите значение

а)

(\frac{4 a}{a - 2} - a) : \frac{a}{a - 2}

при

a = 1, 8

6 - a = 4, 2

б)

(\frac{1}{3 a} + \frac{1}{6 a}) \cdot \frac{a ^{2}}{5}

при

a = 7, 3

\frac{a}{10} = 0, 73

Сначала упростите — подставлять придётся в короткое выражение.

R04.6

Найди ошибку

Типичные ошибки

Неверно	Верно	Правило
$\frac{x + 3}{x + 5} = \frac{3}{5}$ ✗	не сокращается ✓	сокращают множители, не слагаемые
$\frac{a}{a - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{1}{a - 1}$ ✗	$= \frac{a - ( a + 1 )}{a - 1} = - \frac{1}{a - 1}$ ✓	числитель — в скобки
$\frac{x}{y} : \frac{x ^{2}}{y} = \frac{x ^{3}}{y ^{2}}$ ✗	$= \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x ^{2}} = \frac{1}{x}$ ✓	делитель переворачиваем

R04.6 · ПР-7

Из жизни

Средняя скорость «туда и обратно»

$v_{ср}$ = весь путь : всё время

Не (60 + 40) : 2 = 50!

$s$ сократилось — ответ не зависит от расстояния.

R04.6

Закрепление · задания с самопроверкой

Решите и проверьте

база $\frac{3}{a} - \frac{3}{a + 1}$ $\frac{3}{a ( a + 1 )}$
база $\frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x ^{2} - 9}{4 x ^{2}}$ $\frac{x - 3}{2 x}$
повыш. $(\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b}) : \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a + b}$
$\frac{1}{a - b}$

повыш.Докажите, что не зависит от $x$ : $(x + 2 - \frac{8 x}{x + 2}) : \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x + 2}$ $1$
практика12 км до озера со скоростью $v$ км/ч, обратно — на 4 км/ч быстрее. Запишите всё время дробью; найдите его при $v = 8$ .
$\frac{24 ( v + 2 )}{v ( v + 4 )}$ ; 2,5 ч

3 мин · практика
Задания 1–2 — самостоятельно, ответы открывать по клику после каждого; 3–5 — в парах. При нехватке времени задание 5 — в ДЗ.
Ответы: 1) (3(a + 1) − 3a)/(a(a + 1)) = 3/(a(a + 1)), a ≠ 0, −1.
2) 2x(x − 3)(x + 3)/((x + 3) · 4x²) = (x − 3)/(2x), x ≠ 0, −3.
3) (a(a + b) − b(a − b))/(a² − b²) = (a² + b²)/(a² − b²); · (a + b)/(a² + b²) = 1/(a − b), a ≠ ±b.
4) ((x + 2)² − 8x)/(x + 2) = (x² − 4x + 4)/(x + 2) = (x − 2)²/(x + 2); значение 1 при x ≠ ±2.
5) 12/v + 12/(v + 4) = (24v + 48)/(v(v + 4)) = 24(v + 2)/(v(v + 4)); при v = 8: 240/96 = 2,5 ч (проверка: 1,5 ч + 1 ч).

R04.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Упростите и проверьте

повыш. $\frac{a ^{2} - 9}{a ^{2} + 6 a + 9} : \frac{a - 3}{2 a + 6}$ $2$
повыш. $(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}) \cdot \frac{x ^{2} - 1}{x}$ $4$
повыш.Найдите значение $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} : (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})$ при $a = 3, 7$ , $b = 1, 3$ $a + b = 5$

2 мин · практика
Ответы. 1) (a − 3)(a + 3)/(a + 3)² · 2(a + 3)/(a − 3) = 2, a ≠ ±3; проверка a = 0: (−9/9) : (−3/6) = (−1) : (−0,5) = 2 ✓.
2) ((x + 1)² − (x − 1)²)/(x² − 1) = 4x/(x² − 1); · (x² − 1)/x = 4, x ≠ 0, ±1; проверка x = 2: (3 − 1/3) · 3/2 = 8/3 · 3/2 = 4 ✓.
3) 1/b − 1/a = (a − b)/(ab); (a − b)(a + b)/(ab) · ab/(a − b) = a + b = 3,7 + 1,3 = 5 (a, b ≠ 0, a ≠ b); проверка a = 2, b = 1: (3/2) : (1/2) = 3 = a + b ✓.
Работа в парах, ответы — по клику после каждого задания (взаимопроверка). В 3) подставлять «в лоб» неудобно — это аргумент «сначала упростить».

R04.6 · ОГЭ

В формате ОГЭ

ОГЭ, линия 20 Упростите и найдите значение

(\frac{1}{a - 2} - \frac{1}{a + 2}) \cdot \frac{a ^{2} - 4}{a ^{2}}

при

a = - 0, 5

\frac{4}{a ^{2}} = 16

R04.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$\frac{4}{x} - \frac{4}{x + 2}$ $\frac{8}{x ( x + 2 )}$
$(\frac{a}{a - 1} - 1) : \frac{3}{a ^{2} - 1}$ $\frac{a + 1}{3}$
$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 6 x + 9} : \frac{x + 3}{x}$ , $x = 3, 5$ $7$
Докажите: $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) : \frac{a + b}{ab} = 1$ верно

Вариант 2

$\frac{5}{y} - \frac{5}{y + 1}$ $\frac{5}{y ( y + 1 )}$
$(\frac{b}{b + 2} + 1) \cdot \frac{b ^{2} - 4}{2 b + 2}$ $b - 2$
$\frac{y ^{2} - 16}{y ^{2} + 8 y + 16} : \frac{y - 4}{y}$ , $y = - 2$ $- 1$
Докажите: $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) : \frac{y - x}{x y} = 1$ верно

4 мин · практика
Вариант 1: 1) (4(x + 2) − 4x)/(x(x + 2)) = 8/(x(x + 2)), x ≠ 0, −2. 2) (a − (a − 1))/(a − 1) = 1/(a − 1); · (a − 1)(a + 1)/3 = (a + 1)/3, a ≠ ±1; проверка a = 0: (−1) : (−3) = 1/3 ✓. 3) (x − 3)(x + 3)/(x − 3)² · x/(x + 3) = x/(x − 3) = 3,5 : 0,5 = 7; проверка «в лоб»: 3,25 : 0,25 = 13; 13 : (6,5/3,5) = 7 ✓. 4) (a + b)/(ab) · ab/(a + b) = 1 (a, b ≠ 0, a ≠ −b).
Вариант 2: 1) (5(y + 1) − 5y)/(y(y + 1)) = 5/(y(y + 1)), y ≠ 0, −1. 2) (b + b + 2)/(b + 2) = 2(b + 1)/(b + 2); · (b − 2)(b + 2)/(2(b + 1)) = b − 2, b ≠ −2, −1; проверка b = 0: 1 · (−4/2) = −2 ✓. 3) (y − 4)(y + 4)/(y + 4)² · y/(y − 4) = y/(y + 4) = −2/2 = −1; проверка «в лоб»: (−12/4) : (−6/(−2)) = −3 : 3 = −1 ✓. 4) (y − x)/(xy) · xy/(y − x) = 1 (x, y ≠ 0, x ≠ y).
3 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

С чего начинаем упрощение?
Что можно сокращать?
Откуда берутся условия в ответе?

Домашнее задание

Докажите: $(\frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x + 5}) \cdot \frac{x ^{2} - 25}{x} = 2$
Найдите значение $\frac{y ^{2} - 16}{y ^{2} + 8 y + 16} : \frac{y - 4}{y + 1}$ при $y = - 2, 5$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-039 · Практикум: преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_baza.pdf, с. 54–61
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 12/15 · тип П
Единицы → слайды	R04.6 → 5–21 (опора на R04.4–R04.5 → 3–4)
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 5–15, 17–21 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение преобразований в задачах) → 16, 17
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 11, 13) · практика 32 мин (71 %)
Вне урока	понятие алгебраической дроби и допустимые значения — ALG8-040, ALG8-041; обобщение строки — ALG8-042; простейшие дробно-рациональные уравнения — R05.6
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Преобразованиевыражений, содержащихалгебраические дроби

Сегодня вы научитесь

Упрощать выражения

Доказывать тождества

Находить значение

Применять в задачах

Действия с дробями в уме

Вычислите

Сократите, разложите, ответьте

Инструменты для преобразований

План: как упростить выражение с дробями

Дерево выражения: что делаем первым

Какое действие выполняется последним?

а)

б)

в)

г)

Упростить выражение со скобками

Ответ

Упростите выражение

а)

б)

Скобка, потом второе действие

Образец

Сам: упростите

Значение не зависит от переменных

Докажите, что значение равно 1

а)

б)

Найти значение: сначала упростить

Упростите и найдите значение

а)

б)

Типичные ошибки

Средняя скорость «туда и обратно»

Решите и проверьте

Упростите и проверьте

ОГЭ, линия 20 Упростите и найдите значение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-039 · Практикум: преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби

Преобразование
выражений, содержащих
алгебраические дроби