Практикум · урок 11 из 15

Сложение, вычитание,
умножение и деление
алгебраических дробей

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-038

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1 титул (1), 2 цели (1), 5 карта практикума и общий алгоритм (2), 6 образец типа 1 (3), 9 образец типа 2 (2), 12 образец типа 3 (2), 16 образец типа 4 в формате ОГЭ (2). Все теоретические слайды показываются полностью, без сокращений.
Практика (32 мин): сл. 3 разминка (2), 4 блиц (2), 7–8 тип 1 — сами и с самопроверкой (3 + 2), 10–11 тип 2 (2 + 2), 13–14 тип 3 и смешанные задания с самопроверкой (3 + 3), 15 задача о катере (2), 17–18 формат ОГЭ (2 + 2), 19 найдите ошибку (1), 20 самостоятельная работа (4), 21 рефлексия и ДЗ (2).
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 11/15, единица R04.5. Тип урока — П (практикум); правила действий введены на уроке ALG8-032.
Если не успеваете: задачу о катере (сл. 15) — в ДЗ; задания «повыш.» — только сильным; на сл. 8, 11, 14 — по два задания вместо четырёх.

R04.5

Цели практикума

Сегодня вы научитесь

Менять знак знаменателя

складывать дроби со знаменателями $a - b$ и $b - a$ (ПР-5)

Записывать целое дробью

складывать многочлен и алгебраическую дробь (ПР-5, REQ-2.2)

Разлагать и сокращать

умножать и делить дроби, раскладывая на множители (ПР-5, REQ-2.2)

Упрощать, потом считать

находить значение выражения, решать задачу (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-5 / REQ-2.2 (дословно ФРП): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями».
ПР-7 / REQ-2.4: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Вид деятельности ФРП: «Выполнять действия с алгебраическими дробями. Применять преобразования выражений для решения задач».

повторение: R04.4, R04.5

Разминка · устно

Четыре правила — четыре примера

с прошлого урока

Сократите

\frac{a - b}{b - a}

= \frac{a - b}{- ( a - b )} = - 1

Это ключ к первому типу заданий.

повторение: 7 класс, R04.4

Разминка · блиц

Восемь быстрых вопросов

Вынесите минус: $7 - x$ $- (x - 7)$
Разложите $x^{2} - 25$ $(x - 5) (x + 5)$
Разложите $a^{2} + 6 a + 9$ $(a + 3)^{2}$
Разложите $3 x - 12$ $3 (x - 4)$

Разложите $9 - y^{2}$ $(3 - y) (3 + y)$
Сократите $\frac{x - 2}{2 - x}$ $- 1$
Допишите: $2 = \frac{?}{x}$ $\frac{2 x}{x}$
Верно ли: $(m - n)^{2} = (n - m)^{2}$ ? да

R04.5

Карта практикума

Четыре типа заданий — один алгоритм

R04.5

Тип 1 · образец

Знаменатели $a - 3$ и $3 - a$ : меняем знак

\frac{a ^{2}}{a - 3} + \frac{9}{3 - a} =

= \frac{a ^{2}}{a - 3} - \frac{9}{a - 3} =

знак — к дроби

= \frac{a ^{2} - 9}{a - 3} = \frac{( a - 3 ) ( a + 3 )}{a - 3} =

= a + 3

при

a \neq = 3

R04.5

Тип 1 · сами

Выполните действия

база $\frac{x}{x - 5} + \frac{5}{5 - x}$
повыш. $\frac{1}{x - 4} + \frac{8}{16 - x ^{2}}$

R04.5

Тип 1 · задания с самопроверкой

Меняем знак знаменателя — ответы по клику

база $\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ $1$
база $\frac{3 a}{a - 2} + \frac{6}{2 - a}$ $3$

база $\frac{x ^{2}}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}$ $x$
повыш. $\frac{2}{x - 3} + \frac{12}{9 - x ^{2}}$ $\frac{2}{x + 3}$

R04.5

Тип 2 · образец

Многочлен — это дробь со знаменателем 1

a + 1 - \frac{a ^{2}}{a - 1} =

= \frac{( a + 1 ) ( a - 1 )}{a - 1} - \frac{a ^{2}}{a - 1} =

= \frac{a ^{2} - 1 - a ^{2}}{a - 1} = \frac{- 1}{a - 1}

= \frac{1}{1 - a}

при

a \neq = 1

R04.5

Тип 2 · сами

Выполните действие и проверьте числом

база $x - 2 + \frac{4}{x + 2}$ $\frac{x ^{2}}{x + 2}$

Проверка: подставьте одно и то же число в условие и в ответ.

Так проверяли образец $a + 1 - \frac{a ^{2}}{a - 1} = \frac{1}{1 - a}$

a	условие	ответ
$0$	$1 - 0 = 1$	$1 : 1 = 1$	✓
$2$	$3 - 4 = - 1$	$1 : (- 1) = - 1$	✓
$3$	$4 - 4, 5 = - 0, 5$	$1 : (- 2) = - 0, 5$	✓
$1$	нельзя: знаменатель $a - 1 = 0$

R04.5

Тип 2 · задания с самопроверкой

Целое выражение и дробь — ответы по клику

база $x + \frac{1}{x}$ $\frac{x ^{2} + 1}{x}$
база $1 - \frac{2 a}{a + 1}$ $\frac{1 - a}{a + 1}$

база $b - 3 + \frac{9}{b + 3}$ $\frac{b ^{2}}{b + 3}$
повыш. $2 m - \frac{4 m ^{2} - 1}{2 m + 1}$ $1$

R04.5 · опора R04.4

Тип 3 · образец

Деление: разложить, перевернуть, сократить

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9} : \frac{2 x - 6}{x + 3} = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \cdot \frac{x + 3}{2 ( x - 3 )}

R04.5

Тип 3 · сами

Разложите на множители и выполните действие

база $\frac{y ^{2} - y}{y + 1} : \frac{y ^{2} - 1}{( y + 1 ) ^{2}}$ $y$
повыш. $\frac{a ^{2} + 4 a + 4}{5 a} \cdot \frac{10 a ^{2}}{a ^{2} - 4}$
$\frac{2 a ( a + 2 )}{a - 2}$

R04.5 · опора R04.4

Тип 3 · задания с самопроверкой

Разложите, сократите — ответы по клику

база $\frac{a ^{2} - 1}{4 a} \cdot \frac{8 a ^{2}}{a - 1}$ $2 a (a + 1)$
база $\frac{5 a}{a ^{2} - 25} : \frac{a}{a + 5}$ $\frac{5}{a - 5}$

повыш. $\frac{b ^{2} - 6 b + 9}{b ^{2} - 3 b} \cdot \frac{b}{b - 3}$ $1$
повыш. $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 2 x + 1} : \frac{x - 1}{3 x + 3}$ $3$

R04.5 · ПР-7

Дроби в задаче

Катер: 20 км по течению и 20 км обратно

практикаСобственная скорость катера $v$ км/ч. Запишите время всего пути одной дробью и найдите его при $v = 18$ .

t = \frac{s}{v}

t = \frac{40 v}{v ^{2} - 4}

; при

v = 18

: 2,25 ч

R04.5

Тип 4 · образец в формате ОГЭ

Сначала упростить — потом подставить

Найдите значение

(\frac{1}{3 a} + \frac{1}{5 a}) \cdot \frac{a ^{2}}{8}

при

a = - 6

R04.5 · ОГЭ

Тип 4 · сами · формат ОГЭ

Задание с кратким ответом

ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения
$\frac{a ^{2} - 9 b ^{2}}{ab} : \frac{a + 3 b}{b}$
при $a = 0, 8$ , $b = 0, 1$ . 0,625

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · задания с самопроверкой

Упростить — потом подставить

ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения
$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{a + b}{ab}$
при $a = 3, 7$ , $b = 1, 2$ 2,5

ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения
$(\frac{y}{y - 2} - \frac{y}{y + 2}) \cdot \frac{y ^{2} - 4}{y}$
при $y = 13, 7$ 4

R04.5

Осторожно

Ошибки практикума

Неверно	Верно	Почему
$\frac{5}{3 - a} = \frac{5}{a - 3}$	$- \frac{5}{a - 3}$	сменили знак знаменателя — меняем знак дроби
$a + 1 - \frac{a ^{2}}{a - 1} = \frac{a + 1 - a ^{2}}{a - 1}$	$\frac{( a + 1 ) ( a - 1 ) - a ^{2}}{a - 1}$	целое тоже умножаем на знаменатель
$\frac{x ^{2} + 9}{x + 3} = x + 3$	не сокращается	$x^{2} + 9$ не раскладывается на множители

R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

$\frac{x}{x - 7} + \frac{7}{7 - x}$ $1$
$a - 2 + \frac{4}{a + 2}$ $\frac{a ^{2}}{a + 2}$
$\frac{y ^{2} - 9}{2 y} \cdot \frac{4 y ^{2}}{y + 3}$ $2 y (y - 3)$
$(\frac{1}{2 a} + \frac{1}{3 a}) \cdot \frac{a ^{2}}{5}$ при $a = - 1, 2$ −0,2

Вариант 2

$\frac{2 b}{b - 3} + \frac{6}{3 - b}$ $2$
$c - 5 + \frac{25}{c + 5}$ $\frac{c ^{2}}{c + 5}$
$\frac{m ^{2} - 16}{5 m} \cdot \frac{10 m ^{2}}{m + 4}$ $2 m (m - 4)$
$(\frac{1}{4 a} + \frac{1}{6 a}) \cdot \frac{a ^{2}}{5}$ при $a = - 3$ −0,25

4 мин · практика
Вариант 1: 1) (x − 7)/(x − 7) = 1, x ≠ 7. 2) (a² − 4 + 4)/(a + 2) = a²/(a + 2), a ≠ −2 (проверка a = 0: −2 + 2 = 0 ✓). 3) (y − 3)(y + 3) · 4y²/(2y(y + 3)) = 2y(y − 3), y ≠ 0, y ≠ −3 (проверка y = 1: (−8/2) · (4/4) = −4; 2 · 1 · (−2) = −4 ✓). 4) 5/(6a) · a²/5 = a/6 = −1,2/6 = −0,2 (прямая подстановка: (−0,4167 − 0,2778) · 0,288 ≈ −0,2 ✓).
Вариант 2: 1) (2b − 6)/(b − 3) = 2, b ≠ 3 (проверка b = 4: 8 − 6 = 2 ✓). 2) (c² − 25 + 25)/(c + 5) = c²/(c + 5), c ≠ −5 (проверка c = 1: −4 + 25/6 = 1/6 ✓). 3) (m − 4)(m + 4) · 10m²/(5m(m + 4)) = 2m(m − 4), m ≠ 0, m ≠ −4 (проверка m = 1: (−15/5) · (10/5) = −6; 2 · 1 · (−3) = −6 ✓). 4) 10/(24a) · a²/5 = a/12 = −3/12 = −0,25 (прямая подстановка: (−1/12 − 1/18) · 9/5 = (−5/36) · 1,8 = −0,25 ✓).
После 4 минут — обмен тетрадями, ответы открываются по клику; оценка: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как связаны $a - b$ и $b - a$ ?
Как записать многочлен дробью?
Когда сокращают при делении?

Домашнее задание

$\frac{y ^{2}}{y - 7} + \frac{49}{7 - y}; b + 3 - \frac{9}{3 - b}$
$\frac{m ^{2} - 4 m + 4}{m + 2} : \frac{m - 2}{m ^{2} - 4}$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

2 мин · практика (рефлексия, ДЗ)
Ответы рефлексии: b − a = −(a − b); знаменатель 1, затем умножить на нужный знаменатель весь многочлен; после замены деления умножением на обратную дробь.
Ответы ДЗ: 1) (y² − 49)/(y − 7) = y + 7 (y ≠ 7). 2) b + 3 + 9/(b − 3) = ((b + 3)(b − 3) + 9)/(b − 3) = b²/(b − 3) (b ≠ 3). 3) (m − 2)²/(m + 2) · (m − 2)(m + 2)/(m − 2) = (m − 2)², m ≠ ±2. Проверка 3) m = 0: (4/2) : (−2/−4) = 2 : 0,5 = 4 = (0 − 2)² ✓.
Следующий урок ALG8-039 — практикум по преобразованию выражений с несколькими действиями (R04.6).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-038 · Практикум: сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 11/15 · тип П (практикум); продолжение ALG8-032
Единицы → слайды	R04.5 «Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей» → 2–21 · опора: R04.4 (сокращение) → 3–4, 12–14 · R04.2 (допустимые значения) → 5, 10, 12
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования с алгебраическими дробями) → 2–14, 16–21 · ПР-7 / REQ-2.4 (преобразования в задачах) → 15–18, 20
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 9, 12, 16) · практика 32 мин (71 %): разминка и блиц 3–4, «образец → сам» 7–8, 10–11, 13–14, задача 15, ОГЭ 17–18, ошибки 19, самостоятельная работа 20, рефлексия 21
Задания	авторские: 1, 3, 4 (база), 2, 5 (повыш.), 6 (практика) · 7–9 — формат ОГЭ, линия 8 · блиц (8), самопроверка сл. 8, 11, 14 (по 4), самостоятельная работа 2 × 4
Вне урока	выражения с несколькими действиями, возведение дроби в степень — ALG8-039 (R04.6); рациональные уравнения — строка R05
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сложение, вычитание,умножение и делениеалгебраических дробей

Сегодня вы научитесь

Менять знак знаменателя

Записывать целое дробью

Разлагать и сокращать

Упрощать, потом считать

Четыре правила — четыре примера

Восемь быстрых вопросов

Четыре типа заданий — один алгоритм

Знаменатели a−3 и 3−a: меняем знак

Выполните действия

Меняем знак знаменателя — ответы по клику

Многочлен — это дробь со знаменателем 1

Выполните действие и проверьте числом

Целое выражение и дробь — ответы по клику

Деление: разложить, перевернуть, сократить

Разложите на множители и выполните действие

Разложите, сократите — ответы по клику

Катер: 20 км по течению и 20 км обратно

Сначала упростить — потом подставить

Задание с кратким ответом

Упростить — потом подставить

Ошибки практикума

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-038 · Практикум: сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей

Сложение, вычитание,
умножение и деление
алгебраических дробей

Знаменатели $a - 3$ и $3 - a$ : меняем знак