Алгебраическая дробь · урок 10 из 15 · практикум

Практикум: сокращение дробей

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-037

Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 10/15, единица R04.4 «Сокращение дробей». Тип урока — П (практикум). Продолжение урока ALG8-031 (новый материал по той же единице): там — правило и простые случаи, здесь — четыре типа заданий, включая группировку и квадратный трёхчлен (R03).
1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория: титул и цели 2 (сл. 1–2), карта типов 1 (сл. 5), четыре образца 2 + 3 + 3 + 3 (сл. 6, 8, 10, 12). Практика: разминка 2 + 2 (сл. 3–4), «ваша очередь» 3 + 3 + 3 + 2 (сл. 7, 9, 11, 13), найди ошибку 2 (сл. 14), самопроверка 2 + 2 (сл. 15–16), закрепление 3 (сл. 17), самостоятельная работа 5 (сл. 18), рефлексия и ДЗ 2 (сл. 19).
Если не успеваете: на сл. 17 решить задания 1, 2, 5, остальные — в ДЗ; на сл. 16 — только задания 3 и 4.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать тип дроби

и выбирать способ разложения на множители (ПР-5, REQ-2.2)

Сокращать сложные дроби

с группировкой, квадратным трёхчленом, противоположными множителями (ПР-5, ПР-6, REQ-2.3)

Находить значение

дроби: сначала сократить, потом подставить (ПР-7, REQ-2.4)

Не ошибаться в знаке

$a - b = - (b - a)$ , но $(a - b)^{2} = (b - a)^{2}$

1 мин · теория
ПР-5 (REQ-2.2): «выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями». ПР-6 (REQ-2.3): «раскладывать квадратный трехчлен на множители». ПР-7 (REQ-2.4): «применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Элемент содержания EL-2.2 «Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби».

повторение: ALG8-031

Разминка · устно

Можно ли сократить? Да или нет

повторение: R03, ALG8-031

Разминка · устно

Разложите на множители

1

5 a - 5 b

5 (a - b)

2

x^{2} - 49

(x - 7) (x + 7)

3

x y + 3 x

x (y + 3)

4

a^{2} + 10 a + 25

(a + 5)^{2}

5

7 - x = - (?)

- (x - 7)

6

4 - y^{2}

(2 - y) (2 + y)

R04.4

Карта практикума

Четыре типа дробей — четыре способа

R04.4

Тип 1 · образец

Сократим $\frac{24 x ^{5} y ^{2}}{16 x ^{3} y ^{6}}$

общий множитель

8 x^{3} y^{2}

= \frac{3 x ^{2}}{2 y ^{4}}

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ — из большей степени вычитаем меньшую

R04.4

Тип 1 · ваша очередь

Сократите

база $\frac{14 a ^{4} b ^{3}}{21 a ^{6} b}$ $\frac{2 b ^{2}}{3 a ^{2}}$
база $\frac{- 35 m ^{2} n}{14 m n ^{3}}$ $- \frac{5 m}{2 n ^{2}}$
повыш. $\frac{6 x ^{2} y - 9 x y ^{2}}{12 x y}$ $\frac{2 x - 3 y}{4}$

Алгоритм

1) НОД коэффициентов
2) каждая буква — в наименьшей степени
3) разделить на этот одночлен

a^{m} : a^{n} = a^{m - n}

R04.4

Тип 2 · образец · группировка

Сократим $\frac{ab + 3 a + 2 b + 6}{b ^{2} - 9}$

a (b + 3) + 2 (b + 3) = (b + 3) (a + 2)

\frac{( b + 3 ) ( a + 2 )}{( b - 3 ) ( b + 3 )} = \frac{a + 2}{b - 3}

проверка: $a = 1, b = 4$ → $21 : 7 = 3$ и $3 : 1 = 3$ ✓

R04.4

Тип 2 · ваша очередь

Сократите

база $\frac{x y - 2 x + 5 y - 10}{y ^{2} - 4 y + 4}$
$\frac{x + 5}{y - 2}$
повыш. $\frac{m ^{2} - mn + 4 m - 4 n}{m ^{2} - n ^{2}}$
$\frac{m + 4}{m + n}$

R04.4 · R03.2

Тип 3 · образец · квадратный трёхчлен

Сократим $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$

\frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )}

= \frac{x - 2}{x + 3}

проверка: $x = 4$ → $2 : 7$ и $2 : 7$ ✓

R04.4 · R03.2

Тип 3 · ваша очередь

Сократите

база $\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 4 x + 4}$ $\frac{x + 3}{x - 2}$
повыш. $\frac{2 x ^{2} + x - 3}{x ^{2} - 1}$ $\frac{2 x + 3}{x + 1}$
корни трёхчлена: 1 и −1,5

Три шага

1) найти корни $x_{1}$ , $x_{2}$
2) $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
3) проверить раскрытием скобок

x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + ?)

R04.4

Тип 4 · образец · противоположные множители

Знак меняется — или нет?

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{9 - x ^{2}} = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{- ( x - 3 ) ( x + 3 )}

= - \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{3 - x}{x + 3}

$9 - x^{2} = (3 - x) (3 + x) = - (x - 3) (x + 3)$

R04.4

Тип 4 · ваша очередь

Сократите

база $\frac{4 - 2 y}{y ^{2} - 4}$ $- \frac{2}{y + 2}$
база $\frac{3 a - 3 b}{( b - a ) ^{2}}$ $\frac{3}{a - b}$
повыш. $\frac{a ^{2} - 2 ab + b ^{2}}{5 b - 5 a}$ $\frac{b - a}{5}$

Помни

$a - b = - (b - a)$
$(a - b)^{2} = (b - a)^{2}$

Сначала уравняй скобки, потом сокращай.

R04.4

Типичные ошибки · найдите ошибку

Где ошибка?

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{3 a - 3 b}{b - a} = 3$	множители противоположны	−3
$\frac{( a - b ) ^{2}}{( b - a ) ^{2}} = - 1$	квадрат не меняет знак	1
$\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{2} + 4} = 1$	$(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$	не сокращается
$\frac{ab + a}{ab} = a$	$a (b + 1) : ab$ — делим на $a$	$\frac{b + 1}{b}$

R04.4 · R03.2

Задания с самопроверкой · базовый уровень

Определите тип и сократите

тип 1 $\frac{16 a ^{2} b ^{3}}{24 a ^{5} b}$ $\frac{2 b ^{2}}{3 a ^{3}}$
тип 2 $\frac{5 x + 10}{x ^{2} - 4}$ $\frac{5}{x - 2}$

тип 3 $\frac{x ^{2} - 3 x - 10}{x ^{2} - 25}$ $\frac{x + 2}{x + 5}$
тип 4 $\frac{6 - 3 m}{m ^{2} - 4 m + 4}$ $\frac{3}{2 - m}$

R04.4 · R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите и сверьте ответ

повыш. $\frac{a x - 2 a + 3 x - 6}{x ^{2} - 4}$ $\frac{a + 3}{x + 2}$
повыш. $\frac{3 x ^{2} - 5 x - 2}{4 - x ^{2}}$ $- \frac{3 x + 1}{x + 2}$
ОГЭ, линия 8Найдите значение $\frac{a ^{2} - 6 a + 9}{a ^{2} - 9}$ при $a = 7$ $0, 4$

из жизниПлощадь участка $(x^{2} + 7 x + 12)$ м², ширина $(x + 3)$ м. Найдите длину. $x + 4$ м

2 мин · практика
Сильные ученики — все задания, остальные — 3 и 4. Ответы открываются по клику.
Ответы: 1) a(x − 2) + 3(x − 2) = (x − 2)(a + 3), x² − 4 = (x − 2)(x + 2) → (a + 3)/(x + 2); 2) корни трёхчлена 2 и −1/3: 3(x − 2)(x + 1/3) = (x − 2)(3x + 1); 4 − x² = −(x − 2)(x + 2) → −(3x + 1)/(x + 2), проверка x = 0: −2/4 = −0,5 и −1/2; 3) (a − 3)²/((a − 3)(a + 3)) = (a − 3)/(a + 3) = 4/10 = 0,4 (без сокращения: 16/40 = 0,4); 4) длина = S : ширина = (x + 3)(x + 4)/(x + 3) = x + 4 м (корни трёхчлена −3 и −4).
Задание 3 — формат ОГЭ, часть 1 (линия 8, «найдите значение выражения»): сначала сократить, потом подставить.

R04.4

Закрепление · все типы

Решите

базаСократите: $\frac{18 a ^{3} b}{27 a b ^{4}}$ $\frac{2 a ^{2}}{3 b ^{3}}$
базаСократите: $\frac{7 x - 14}{x ^{2} - 4}$ $\frac{7}{x + 2}$
повыш.Сократите: $\frac{a x - 3 a + 2 x - 6}{x ^{2} - 6 x + 9}$
$\frac{a + 2}{x - 3}$

повыш.Сократите: $\frac{x ^{2} - 7 x + 12}{16 - x ^{2}}$ $\frac{3 - x}{x + 4}$
практикаЗначение $\frac{b ^{2} - 10 b + 25}{b ^{2} - 25}$ при $b = 7, 5$ $0, 2$
ОГЭ, линия 20
Сократите: $\frac{1 2 ^{n + 1}}{3 ^{n - 1} \cdot 2 ^{2 n + 3}}$ $4, 5$

3 мин · практика
Решают в парах, ответы открываются по клику. Ответы: 1) 2a²/(3b³) (общий множитель 9ab); 2) 7(x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = 7/(x + 2); 3) (x − 3)(a + 2)/(x − 3)² = (a + 2)/(x − 3); 4) (x − 3)(x − 4)/((4 − x)(4 + x)) = −(x − 3)/(x + 4) = (3 − x)/(x + 4), проверка x = 0: 12/16 = 0,75 и 3/4; 5) (b − 5)/(b + 5) = 2,5 : 12,5 = 0,2 (без сокращения: 6,25 : 31,25 = 0,2); 6) 12ⁿ⁺¹ = 2²ⁿ⁺² · 3ⁿ⁺¹, дробь = 3² · 2⁻¹ = 4,5.
Задание 6 — формат ОГЭ, часть 2 (линия 20, 2 балла): нужна запись 12 = 2² · 3 и свойства степеней (R02). Проверка при n = 1: 144 : (1 · 32) = 4,5.
Если не успеваете: 3, 4 и 6 — в ДЗ.

R04.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

$\frac{21 x ^{3} y ^{2}}{28 x y ^{5}}$ $\frac{3 x ^{2}}{4 y ^{3}}$
$\frac{x ^{2} - 8 x + 16}{3 x - 12}$ $\frac{x - 4}{3}$
$\frac{x y - 5 x + 2 y - 10}{y ^{2} - 25}$ $\frac{x + 2}{y + 5}$
$\frac{x ^{2} - x - 12}{16 - x ^{2}}$ $- \frac{x + 3}{x + 4}$

Вариант 2

$\frac{30 a ^{4} b}{45 a ^{2} b ^{3}}$ $\frac{2 a ^{2}}{3 b ^{2}}$
$\frac{y ^{2} + 10 y + 25}{4 y + 20}$ $\frac{y + 5}{4}$
$\frac{ab - 3 a + 4 b - 12}{b ^{2} - 9}$ $\frac{a + 4}{b + 3}$
$\frac{x ^{2} + 2 x - 15}{9 - x ^{2}}$ $- \frac{x + 5}{x + 3}$

5 мин · практика
4 минуты на решение (сократите дроби), затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). В каждом варианте — все четыре типа по порядку.
Вариант 1: 1) общий множитель 7xy²: 21x³y² = 7xy² · 3x², 28xy⁵ = 7xy² · 4y³ → 3x²/(4y³); 2) (x − 4)²/(3(x − 4)) = (x − 4)/3; 3) x(y − 5) + 2(y − 5) = (y − 5)(x + 2), y² − 25 = (y − 5)(y + 5) → (x + 2)/(y + 5); 4) корни трёхчлена 4 и −3: (x − 4)(x + 3)/(−(x − 4)(x + 4)) = −(x + 3)/(x + 4).
Вариант 2: 1) общий множитель 15a²b: 30a⁴b = 15a²b · 2a², 45a²b³ = 15a²b · 3b² → 2a²/(3b²); 2) (y + 5)²/(4(y + 5)) = (y + 5)/4; 3) a(b − 3) + 4(b − 3) = (b − 3)(a + 4), b² − 9 = (b − 3)(b + 3) → (a + 4)/(b + 3); 4) корни трёхчлена 3 и −5: (x − 3)(x + 5)/(−(x − 3)(x + 3)) = −(x + 5)/(x + 3).
Проверки подстановкой x = 0: В1 № 4: −12/16 = −0,75 и −3/4; В2 № 4: −15/9 = −5/3 и −5/3. Критерий: «5» — 4 задания, «4» — 3, «3» — 2.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой тип был самым трудным?
Когда нужна группировка?
Чему равно $\frac{( a - b ) ^{2}}{( b - a ) ^{2}}$ ?

Домашнее задание

Сократите: $\frac{20 x ^{4} y}{45 x ^{2} y ^{3}}$ ; $\frac{x y + 4 y - 3 x - 12}{x ^{2} - 16}$ ; $\frac{x ^{2} - 8 x + 15}{25 - x ^{2}}$
Значение $\frac{a ^{2} - 9}{a ^{2} + 6 a + 9}$ при $a = - 2, 5$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-037 · Практикум: сокращение дробей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 10/15 · тип П (продолжение ALG8-031)
Единицы → слайды	R04.4 «Сокращение дробей» → 2–19 · опора: R03 (разложение на множители: общий множитель, формулы сокращённого умножения) → 4; R03.2 «Разложение квадратного трехчлена на множители» → 10, 11, 15, 16, 18; R02 (свойства степени) → 6, 17 (зад. 6)
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 2–19 · ПР-6 / REQ-2.3 (разложение квадратного трехчлена) → 10, 11, 15 (зад. 3), 16 (зад. 2, 4), 17 (зад. 4), 18 (зад. 4) · ПР-7 / REQ-2.4 (применение преобразований) → 16 (зад. 3–4), 17 (зад. 5–6), 19 · EL-2.2
Вне урока	действия с алгебраическими дробями — ALG8-038; преобразование рациональных выражений — ALG8-039; формула корней квадратного уравнения — R05
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 10, 12) · практика 31 мин (69 %): сл. 3, 4, 7, 9, 11, 13–19 · вся теория урока сохранена
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: сокращение дробей

Сегодня вы научитесь

Узнавать тип дроби

Сокращать сложные дроби

Находить значение

Не ошибаться в знаке

Можно ли сократить? Да или нет

Разложите на множители

Четыре типа дробей — четыре способа

Сократим 16x3y624x5y2​

Сократите

Алгоритм

Сократим b2−9ab+3a+2b+6​

Сократите

Сократим x2−9x2−5x+6​

Сократите

Три шага

Знак меняется — или нет?

Сократите

Помни

Где ошибка?

Определите тип и сократите

Решите и сверьте ответ

Решите

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-037 · Практикум: сокращение дробей

Сократим $\frac{24 x ^{5} y ^{2}}{16 x ^{3} y ^{6}}$

Сократим $\frac{ab + 3 a + 2 b + 6}{b ^{2} - 9}$

Сократим $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$