Алгебраическая дробь · урок 8 из 15 · практикум

Практикум: допустимые значения переменных

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-035

Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 8/15, единица R04.2. Тип урока — П (практикум).
1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1 титул (1), 2 цели (1), 5 образец типа 1 (3), 7 образец типа 2 (3), 9 образец типа 3 (2), 11 схема-памятка (3). Все теоретические слайды показываются полностью, без сокращений.
Практика (32 мин): сл. 3 разминка устно (3), 4 алгоритм и три дроби (2), 6 тип 1 — ваша очередь (4), 8 тип 2 — ваша очередь (3), 10 значение выражения (3), 12 найдите ошибку (2), 13–14 задания с самопроверкой (4 + 4), 15 самостоятельная работа в двух вариантах (5), 16 рефлексия и ДЗ (2).
Это продолжение ALG8-029 (новый материал по R04.2): там — линейный знаменатель, x² − a, произведение, дробь = 0. Сегодня — сложнее: знаменатель надо разложить на множители, «дробь в дроби» и деление, сохранение запрета после сокращения.
Предыдущий урок ALG8-034 «Практикум: Алгебраическая дробь». Следующий — ALG8-036 «Практикум: Основное свойство алгебраической дроби».

R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить допустимые значения

«находить область определения рационального выражения» (вид деятельности ФРП)

Раскладывать знаменатель

вынесение множителя, формулы сокращённого умножения (ПР-5, REQ-2.2)

Сохранять запрет

после сокращения и при вычислении значения дроби (ПР-7, REQ-2.4)

Решать «знаменатель = 0»

уравнения, сводящиеся к линейным и $x^{2} = a$ (ПР-8, REQ-3.1)

1 мин · теория
ПР-5 / REQ-2.2: «выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями».
ПР-7 / REQ-2.4: «применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики»; ПР-8 / REQ-3.1: «решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним…».
Вид деятельности ФРП (строка R04): «Находить область определения рационального выражения. Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби…».

повторение: 7 класс, ALG8-029

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

Когда нет смысла у $\frac{7}{x - 6}$ ? $x = 6$
Разложите $x^{2} - 16$ $(x - 4) (x + 4)$
Разложите $x^{2} - 10 x + 25$ $(x - 5)^{2}$
Разложите $x^{3} - 5 x^{2}$ $x^{2} (x - 5)$

Решите $x^{2} = 49$ $x = \pm 7$
Решите $x (x + 2) = 0$ $0; - 2$
$1 : \frac{2}{3}$ = ? $\frac{3}{2}$
Может ли $\frac{3}{x} = 0$ ? нет

3 мин · практика
Устно, ответ открывается кликом после ответа класса. Повторяем всё, что понадобится сегодня: знаменатель = 0, разложение на множители, x² = a, деление на дробь.
Ответы: 1) x − 6 = 0 ⇒ x = 6; 2) разность квадратов: (x − 4)(x + 4); 3) квадрат разности: (x − 5)², проверка: x² − 10x + 25; 4) x²(x − 5); 5) x = ±7 (оба корня!); 6) произведение равно 0 ⇒ x = 0 или x = −2; 7) 1 : (2/3) = 1 · 3/2 = 3/2; 8) нет — дробь равна 0 только при нулевом числителе, а 3 ≠ 0.
Вопросы 7–8 готовят тип 2: делитель-дробь равен нулю, только когда равен нулю её числитель.

повторение: ALG8-029

Вспомним · алгоритм

Алгоритм и разминка

1Каждый знаменатель = 0

\frac{5}{x + 4}

$x \neq = - 4$

2Решить уравнение

\frac{x - 1}{x ^{2} - 25}

$x \neq = \pm 5$

3Исключить корни:

x \neq = \dots

\frac{3}{x ^{2} + 1}

любое $x$

R04.2

Тип 1 · образец

Знаменатель — многочлен: сначала разложить

R04.2

Тип 1 · ваша очередь

Найдите допустимые значения

база

\frac{4}{x ^{2} + 5 x}

$x (x + 5) = 0 \Rightarrow x \neq = 0, x \neq = - 5$

база

\frac{x + 2}{x ^{2} + 10 x + 25}

$(x + 5)^{2} = 0 \Rightarrow x \neq = - 5$

повыш.

\frac{7}{x ^{3} - x}

$x (x - 1) (x + 1) = 0 \Rightarrow x \neq = 0, x \neq = \pm 1$

повыш.

\frac{1}{x ^{3} + 3 x ^{2} - 4 x - 12}

$(x + 3) (x - 2) (x + 2) = 0 \Rightarrow x \neq = - 3, x \neq = \pm 2$

R04.2

Тип 2 · образец

Дробь в дроби и деление на дробь

3 мин · теория (учитель разбирает образец)
Левая часть: два «этажа» запретов. Внутренняя дробь 3/x требует x ≠ 0; весь знаменатель 1 − 3/x не должен быть нулём: 3/x = 1 ⇒ x = 3. Проверка: при x = 3 знаменатель 1 − 1 = 0.
Правая часть: при делении A : B делитель B не равен 0, а дробь (x − 5)/(x + 4) равна 0 при x = 5. Поэтому добавляется запрет из числителя делителя.
Вопрос классу: почему здесь числитель влияет на ответ? (После «переворота» делителя (x − 5) окажется в знаменателе.)
Типичная ошибка: ответ «x ≠ 0» в левом примере и «x ≠ 2, x ≠ −4» в правом.

R04.2

Тип 2 · ваша очередь

Найдите все запреты

база

\frac{5}{2 - \frac{4}{x}}

$x \neq = 0; 2 - 4/ x = 0 \Rightarrow x = 2$
$x \neq = 0, x \neq = 2$

повыш.

\frac{x}{x + 3} : \frac{x - 1}{x}

$x \neq = - 3, x \neq = 0$ ;
делитель: $x \neq = 1$
$x \neq = - 3, x \neq = 0, x \neq = 1$

повыш.

\frac{1}{x - \frac{1}{x}}

$x \neq = 0; x = 1/ x \Rightarrow x^{2} = 1$
$x \neq = 0, x \neq = \pm 1$

Проверяем каждый знаменатель и делитель

R04.2 · R04.4

Тип 3 · образец

Сокращение не отменяет запрет

R04.2 · R04.4

Тип 3 · значение выражения

Сначала запрет, потом подстановка

Образец

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x}

$x \neq = 0, x \neq = - 3$

$x = 1, 5$ : $(1, 5 - 3) : 1, 5 = - 1$

$x = - 3$ : не имеет смысла

практика Найдите значение

\frac{a ^{2} + 6 a + 9}{a ^{2} - 9}

при $a = 7$
при $a = - 3$
при $a = 0, 5$

$\frac{a + 3}{a - 3}$ , $a \neq = \pm 3$

$2, 5$ · не имеет смысла · $- 1, 4$

3 мин · практика
Левый образец учитель лишь напоминает (30 с) — он продолжает сл. 9; основное время ученики решают правую карточку.
Образец: разложили числитель (разность квадратов) и знаменатель (вынесли x), записали запреты, сократили на x + 3.
Проверка образца без сокращения: при x = 1,5 числитель 2,25 − 9 = −6,75, знаменатель 2,25 + 4,5 = 6,75, дробь −1. При x = −3: 0/0.
Ответы справа: (a + 3)²/((a − 3)(a + 3)) = (a + 3)/(a − 3). a = 7: 10 : 4 = 2,5 (проверка: 100 : 40 = 2,5); a = −3 — не имеет смысла (0/0); a = 0,5: 3,5 : (−2,5) = −1,4 (проверка: 12,25 : (−8,75) = −1,4).
Типичная ошибка: при a = −3 подставить в (a + 3)/(a − 3) и получить 0.

R04.2

Схема-памятка

Где прячутся запреты

R04.2

Найдите ошибку

Типичные ошибки

Выражение	Неверно	Верно	Почему
$\frac{5}{x ^{2} + 6 x + 9}$	$x \neq = \pm 3$	$x \neq = - 3$	$(x + 3)^{2}$ — один корень
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$	при любом $x$	$x \neq = 1$	запрет остаётся после сокращения
$\frac{2}{1 - \frac{1}{x}}$	$x \neq = 0$	$x \neq = 0, x \neq = 1$	весь знаменатель $\neq = 0$
$x : \frac{x - 4}{x + 2}$	$x \neq = - 2$	$x \neq = - 2, x \neq = 4$	делитель не может быть 0

R04.2

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Решите и сверьте ответ

базаДопустимые значения $\frac{3}{x ^{2} - 49}$ $x \neq = \pm 7$
базаДопустимые значения $\frac{x - 6}{x ^{2} - 8 x + 16}$ $x \neq = 4$
повыш.Допустимые значения $\frac{1}{3 - \frac{6}{x}}$ $x \neq = 0, x \neq = 2$

повыш.Допустимые значения $\frac{x + 1}{x - 3} : \frac{x + 5}{x}$ $x \neq = 3, x \neq = 0, x \neq = - 5$
практикаЗначение $\frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} - 4 x}$ при $x = - 0, 8$ $- 4$
ОГЭ, линия 12Параллельное соединение: $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} .$ Найдите $R$ (в омах) при $R_{1} = 15$ Ом, $R_{2} = 10$ Ом. $6 Ом$

4 мин · практика
Ответы открываются по клику (по одному на задание) — проверка всем классом.
Ответы: 1) x ≠ ±7; 2) x ≠ 4 ((x − 4)²); 3) x ≠ 0, x ≠ 2 (3 − 6/2 = 0); 4) x ≠ 3, x ≠ 0, x ≠ −5; 5) −4; 6) 6.
Проверка 5: (x − 4)(x + 4)/(x(x − 4)) = (x + 4)/x, x ≠ 0, x ≠ 4; 3,2 : (−0,8) = −4. Без сокращения: (0,64 − 16) : (0,64 + 3,2) = −15,36 : 3,84 = −4.
Проверка 6: R = 15 · 10 : (15 + 10) = 150 : 25 = 6. По смыслу R₁ + R₂ > 0, знаменатель не обращается в нуль.
Задания 1–3 — всем, 4–6 — по выбору; задание 6 — формат ОГЭ (линия 12, расчёт по формуле).

R04.2 · R04.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите и сверьте ответ

повыш.Допустимые значения $\frac{x}{x ^{3} - 4 x ^{2} + 4 x}$ $x \neq = 0, x \neq = 2$
повыш.Допустимые значения $\frac{3}{\frac{2}{x} + 1}$ $x \neq = 0, x \neq = - 2$
повыш.Допустимые значения $\frac{x + 2}{x - 1} : \frac{x + 2}{x + 3}$ $x \neq = - 3, x \neq = - 2, x \neq = 1$

ОГЭ, линия 8Найдите значение $\frac{b ^{2} - 25}{b ^{2} + 5 b}$ при $b = 2, 5$ $- 1$
из жизниЛодка проходит 60 км против течения (течение 3 км/ч, собственная скорость $v$ км/ч): $t = \frac{60}{v - 3}$ . При каком $v$ формула не имеет смысла? Найдите $t$ при $v = 15$ . $v = 3$ ; 5 ч

4 мин · практика
Сильные ученики — все задания, остальные — 1, 4 и 5. Ответы открываются по клику.
Ответы: 1) x³ − 4x² + 4x = x(x − 2)² ⇒ x ≠ 0, x ≠ 2 (проверка x = 2: 8 − 16 + 8 = 0); 2) внутренняя дробь: x ≠ 0; 2/x + 1 = 0 ⇒ 2/x = −1 ⇒ x = −2 (проверка: 2/(−2) + 1 = 0) ⇒ x ≠ 0, x ≠ −2; 3) знаменатели: x ≠ 1, x ≠ −3; делитель (x + 2)/(x + 3) = 0 при x = −2 ⇒ x ≠ −3, x ≠ −2, x ≠ 1.
4) (b − 5)(b + 5)/(b(b + 5)) = (b − 5)/b, b ≠ 0, b ≠ −5; при b = 2,5: −2,5 : 2,5 = −1. Без сокращения: (6,25 − 25) : (6,25 + 12,5) = −18,75 : 18,75 = −1.
5) v − 3 = 0 при v = 3 — формула не имеет смысла (по смыслу задачи нужно v > 3, иначе лодка не плывёт против течения); t = 60 : (15 − 3) = 60 : 12 = 5 ч.
Задание 4 — формат ОГЭ, часть 1 (линия 8): сначала разложить и сократить, затем подставить; запреты b ≠ 0, b ≠ −5 не нарушены.

R04.2 · R04.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

ОДЗ: $\frac{x}{x ^{2} - 36}$ $x \neq = \pm 6$
ОДЗ: $\frac{2}{x ^{2} + 4 x + 4}$ $x \neq = - 2$
ОДЗ: $\frac{1}{4 - \frac{8}{x}}$ $x \neq = 0, x \neq = 2$
$\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - x}$ при $x = 0, 5$ $3$

Вариант 2

ОДЗ: $\frac{x}{x ^{2} - 81}$ $x \neq = \pm 9$
ОДЗ: $\frac{5}{x ^{2} - 6 x + 9}$ $x \neq = 3$
ОДЗ: $\frac{1}{6 - \frac{18}{x}}$ $x \neq = 0, x \neq = 3$
$\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 2 x}$ при $x = 0, 5$ $- 3$

5 мин · практика
4 минуты на решение («ОДЗ» — допустимые значения переменной), затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику).
Вариант 1: 1) x² = 36 ⇒ x ≠ ±6; 2) (x + 2)² ⇒ x ≠ −2; 3) x ≠ 0; 4 − 8/x = 0 ⇒ x = 2 (проверка: 4 − 8/2 = 0) ⇒ x ≠ 0, x ≠ 2; 4) (x − 1)(x + 1)/(x(x − 1)) = (x + 1)/x, x ≠ 0, x ≠ 1; при x = 0,5: 1,5 : 0,5 = 3 (без сокращения: (0,25 − 1) : (0,25 − 0,5) = −0,75 : (−0,25) = 3).
Вариант 2: 1) x² = 81 ⇒ x ≠ ±9; 2) (x − 3)² ⇒ x ≠ 3; 3) x ≠ 0; 6 − 18/x = 0 ⇒ x = 3 (проверка: 6 − 18/3 = 0) ⇒ x ≠ 0, x ≠ 3; 4) (x − 2)(x + 2)/(x(x + 2)) = (x − 2)/x, x ≠ 0, x ≠ −2; при x = 0,5: −1,5 : 0,5 = −3 (без сокращения: (0,25 − 4) : (0,25 + 1) = −3,75 : 1,25 = −3).
Критерий: «5» — 4 задания, «4» — 3, «3» — 2. Типичные ошибки: ±2 во 2-м задании (полный квадрат), потерянный x ≠ 0 в 3-м.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Зачем раскладывать знаменатель на множители?
Когда числитель тоже даёт запрет?
Меняет ли сокращение допустимые значения?

Домашнее задание

Допустимые значения: $\frac{1}{x ^{3} - 16 x}, \frac{2}{x ^{2} - 10 x + 25},$ $\frac{4}{2 - \frac{8}{x}}$
Найдите $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + x}$ при $x = 0, 2$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-035 · Практикум: Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 8/15 · тип П
Единицы → слайды	R04.2 «Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения» → 2–16 · опора: R04.4 сокращение (ALG8-031) → 9, 10, 13–15; R01.6 (x² = a) → 3, 4, 8, 15; R03 / 7 кл. разложение на множители → 3, 5, 6, 14, 15
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 → 5–15 · ПР-7 / REQ-2.4 (значение выражения, формула из физики, задача о лодке) → 10, 13–15 · ПР-8 / REQ-3.1 (уравнение «знаменатель = 0») → 3–8, 14, 15 · вид деятельности «Находить область определения рационального выражения. Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби» → 3–15 · хронометраж: теория 13 мин, практика 32 мин (71 %)
Вне урока	основное свойство дроби (практикум) — ALG8-036; сокращение (практикум) — ALG8-037; графики функций — R09 (сл. 9 — только иллюстрация); дробно-рациональные уравнения — R05.6; формула корней квадратного уравнения — R05.3
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending