Алгебраическая дробь · урок 7 из 15 · практикум

Практикум: алгебраическая дробь

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-034

1 мин · теория. Общий хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 7/15, единица R04.1 «Алгебраическая дробь». Тип урока — П (практикум). Первый практикум строки; теория — ALG8-028 (понятие дроби), ALG8-029 (допустимые значения).
Теория (14 мин): титул 1 · цели 1 (сл. 2) · «черта дроби = скобки» 2 (сл. 5) · план 1 (сл. 6) · образцы типов 1–4 по 2 мин (сл. 7, 10, 12, 15) · итог и ДЗ 1 (сл. 21).
Практика (31 мин): разминка 2 + 2 (сл. 3, 4) · тип 1 — 3 + 2 (сл. 8, 9) · тип 2 — 3 (сл. 11) · тип 3 — 2 + 2 (сл. 13, 14) · ОГЭ 12 — 3 (сл. 16) · задача из жизни 2 (сл. 17) · найди ошибку 2 (сл. 18) · тренировка 4 (сл. 19) · самостоятельная 4 (сл. 20).
Если не успеваете: на сл. 11 разобрать две задачи из трёх, на сл. 19 задания 4–5 перенести в ДЗ.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Подставлять числа

находить значение дроби, в том числе с калькулятором (ПР-5, REQ-2.2)

Записывать дробью

составлять дробь по условию текстовой задачи (ПР-7, REQ-2.4)

Выражать переменную

из физических и геометрических формул (ПР-7, REQ-2.4)

Считать по формуле

решать задания ОГЭ, линия 12 (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-5 (REQ-2.2): «выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями». ПР-7 (REQ-2.4): «применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: записывать алгебраические выражения; выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби, в том числе с помощью калькулятора; выражать переменные из формул. Элемент содержания EL-2.2.

повторение: R04.1

Разминка · 2 минуты

Целое или дробное выражение?

3 x - 5

целое

\frac{5}{x}

дробное

\frac{a + b}{7}

целое

\frac{x ^{2} - 1}{x + 2}

дробное

2 a^{2} b

целое

\frac{a}{b - 1} + 3

дробное

\frac{x}{2} - 4

целое

(x + 1) : y

дробное

Дробное — есть деление на выражение с переменной.

повторение: 6–7 класс

Разминка · устно

Посчитайте в уме — пригодится при подстановке

$(- 2)^{2}$ $4$
$- 2^{2}$ $- 4$
$(- 3)^{3}$ $- 27$
$0, 5^{2}$ $0, 25$

$- 4 - 0, 5$ $- 4, 5$
$- 6 : (- 0, 5)$ $12$
$2 \cdot (- 1, 5) + 3$ $0$
$\frac{3}{5}$ десятичной дробью $0, 6$

повторение: R04.1

Вспомним

Черта дроби — это деление и скобки

R04.1

План практикума

Четыре типа задач на алгебраическую дробь

R04.1

Тип 1 · образец решения

Найдём $\frac{2 a - b}{a + 3 b}$ при $a = - 2$ , $b = 0, 5$

шаг 3 — делим

\frac{- 4 , 5}{- 0 , 5} = 9

Минус на минус — плюс. Знаменатель не равен 0 — проверяем сразу.

R04.1

Тип 1 · ваша очередь

Заполните таблицу значений $\frac{x ^{2} - 1}{x + 3}$

$x$	−1	0	2	5	−3
$x^{2} - 1$	0	−1	3	24	8
$x + 3$	2	3	5	8	0
$\frac{x ^{2} - 1}{x + 3}$	0	$- \frac{1}{3}$	0,6	3	не имеет смысла

При

x = - 3

знаменатель равен 0 — делить на нуль нельзя.

R04.1

Задания с самопроверкой · тип 1

Найдите значение дроби

база $\frac{a + 4}{a - 1}$ при $a = - 2$ $- \frac{2}{3}$
база $\frac{x ^{2}}{x + 2}$ при $x = - 4$ $- 8$
база $\frac{3 m - n}{m + n}$ при $m = 0, 5$ , $n = - 1, 5$ $- 3$

повыш.При каком $x$ дробь $\frac{x - 5}{x + 1}$ равна нулю? $x = 5$
Не имеет смысла? $x = - 1$
повыш. $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a + b}$ при $a = 3, 7$ , $b = - 1, 3$ $5$

Отрицательные числа и дроби подставляем в скобках.

R04.1

Тип 2 · образец решения

Катер: 30 км по течению и 30 км обратно

t = \frac{30}{v + 2} + \frac{30}{v - 2}

При $v = 8$ :
$3 + 5 = 8 ч$

ответ — алгебраическая дробь

R04.1

Тип 2 · ваша очередь

Запишите ответ дробью

Насос наполняет бассейн за $n$ ч. Какую часть наполнит за 1 ч? За 3 ч?

\frac{1}{n}

;

\frac{3}{n}

$m$ кг яблок стоят 450 р. Сколько стоит 1 кг? Чему равна цена при $m = 6$ ?

\frac{450}{m}

р.; 75 р.

Поезд прошёл 300 км со скоростью $v$ км/ч. На сколько часов меньше, если ехать на 10 км/ч быстрее?

\frac{300}{v} - \frac{300}{v + 10}

R04.1

Тип 3 · образец решения

Выразим $h$ из формулы площади трапеции

S = \frac{( a + b ) h}{2}

2 S = (a + b) h

умножили обе части на 2

h = \frac{2 S}{a + b}

разделили на

(a + b)

Неизвестный множитель = произведение : известный множитель

R04.1

Тип 3 · ваша очередь

Выразите указанную переменную

Формула	Что это	Выразите	Ответ
$v = \frac{s}{t}$	скорость	$t$	$t = \frac{s}{v}$
$F = ma$	второй закон Ньютона	$m$	$m = \frac{F}{a}$
$E = \frac{m v ^{2}}{2}$	кинетическая энергия	$m$	$m = \frac{2 E}{v ^{2}}$
$P = 2 (a + b)$	периметр прямоугольника	$b$	$b = \frac{P - 2 a}{2}$

R04.1

Задания с самопроверкой · тип 3

Выразите переменную и сверьте ответ

база $S = \frac{ah}{2}$ , выразите $a$ $a = \frac{2 S}{h}$
база $ρ = \frac{m}{V}$ , выразите $V$ $V = \frac{m}{ρ}$
повыш. $s = \frac{( v _{0} + v ) t}{2}$ , выразите $t$ $t = \frac{2 s}{v _{0} + v}$
повыш. $x = \frac{a + b}{2}$ , выразите $b$ $b = 2 x - a$

Действия над переменной «развязываем» в обратном порядке: было · на — делим, было : на — умножаем, было + — вычитаем.

Проверка: подставьте удобные числа в обе формулы.

R04.1

Тип 4 · формат ОГЭ, линия 12

Мощность $P = \frac{U ^{2}}{R}$ . Найдите $R$ , если $P = 150$ Вт, $U = 30$ В

R04.1

Тип 4 · формат ОГЭ, линия 12 · ваша очередь

Расчёт по формуле: в ответ — только число

ОГЭ 12Закон Джоуля–Ленца $Q = I^{2} Rt$ . Найдите $t$ (в секундах), если $Q = 1440$ , $I = 4$ , $R = 3$ $30$
ОГЭ 12Площадь ромба $S = \frac{d _{1} d _{2}}{2}$ . Найдите $d_{1}$ , если $S = 60$ , $d_{2} = 12$ $10$

ОГЭ 12Перевод в градусы Цельсия: $t_{F} = 1, 8 t_{C} + 32$ . Найдите $t_{C}$ , если $t_{F} = 77$ $25$
ОГЭ 12Кинетическая энергия $E = \frac{m v ^{2}}{2}$ . Найдите $m$ (в кг), если $E = 100$ , $v = 5$ $8$

R04.1

Задача из жизни

Подарок учителю стоит 3600 р.

Сколько платит каждый, если скидываются $n$ человек? $\frac{3600}{n}$ р.
А если придут ещё двое? $\frac{3600}{n + 2}$ р.
На сколько меньше заплатит каждый? $\frac{3600}{n} - \frac{3600}{n + 2}$
Посчитайте при $n = 10$ $360 - 300 = 60$ р.

R04.1

Найдите ошибку

Типичные ошибки практикума

Запись ученика	Что не так	Верно
$a = - 2 : a^{2} = - 2^{2} = - 4$	отрицательное число без скобок	$(- 2)^{2} = 4$
$t = 30/ v + 2$	знаменатель без скобок	$30/ (v + 2)$
$S = (a + b) h /2 \Rightarrow h = 2 S - (a + b)$	множитель «перенесли» как слагаемое	$h = \frac{2 S}{a + b}$
$P = U^{2} / R \Rightarrow R = P / U^{2}$	перепутали делимое и делитель	$R = \frac{U ^{2}}{P}$

R04.1

Тренировка · все типы задач · 4 минуты

Решите

базаНайдите $\frac{3 x - y}{x + y}$ при $x = - 1$ , $y = 3$
базаНайдите $\frac{a ^{2} + 4}{2 a}$ при $a = - 2$
повыш.Лодка: 12 км по течению и 12 км против, собственная скорость $x$ км/ч, течение 3 км/ч. Запишите время; найдите его при $x = 9$

повыш.Из формулы $a = \frac{v - v _{0}}{t}$ выразите $t$
практикаС калькулятором: $\frac{a ^{2} + b}{a - b}$ при $a = 1, 7$ , $b = 0, 3$ (до сотых)
ОГЭ, линия 12Центростремительное ускорение $a = ω^{2} R$ . Найдите $R$ (в метрах), если $ω = 4 с^{- 1}$ , $a = 64 м / с^{2}$

R04.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

$\frac{2 x + y}{x - y}$ при $x = 2$ , $y = - 1$ $1$
Пешеход прошёл 12 км со скоростью $v$ км/ч. Время? При $v = 4$ ? $\frac{12}{v}$ ; 3 ч
$p = \frac{F}{S}$ , выразите $S$ $S = \frac{F}{p}$
$a = \frac{v ^{2}}{R}$ . Найдите $R$ , если $v = 6$ , $a = 4$ $9$

Вариант 2

$\frac{x - 2 y}{x + y}$ при $x = 3$ , $y = - 1$ $2, 5$
Велосипедист проехал 24 км со скоростью $v$ км/ч. Время? При $v = 12$ ? $\frac{24}{v}$ ; 2 ч
$N = \frac{A}{t}$ , выразите $t$ $t = \frac{A}{N}$
$E = \frac{m v ^{2}}{2}$ . Найдите $m$ , если $E = 90$ , $v = 3$ $20$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Зачем при подстановке скобки?
Как записать в строку $\frac{30}{v + 2}$ ?
Как проверить, что переменная выражена верно?

Домашнее задание

$\frac{2 m - n}{m + n}$ при $m = 0, 5$ , $n = - 1, 5$
Из $Q = c m (t_{2} - t_{1})$ выразите $m$
ОГЭ 12: $P = I^{2} R$ ; $R$ , если $P = 98$ , $I = 3, 5$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-034 · Практикум: алгебраическая дробь

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 7/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.1 «Алгебраическая дробь» → 2–21 · опора: R04.2 (знаменатель ≠ 0) → 7–9 · повторение 6–7 кл. (действия с отрицательными числами) → 4
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (значение рационального выражения, тождественные записи) → 2–5, 7–9, 18, 19 (зад. 1, 2, 5), 20 (зад. 1) · ПР-7 / REQ-2.4 (преобразования для задач из практики и смежных предметов) → 2, 10–17, 19 (зад. 3, 4, 6), 20 (зад. 2–4), 21 · EL-2.2
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 21) · практика 31 мин (сл. 3, 4, 8, 9, 11, 13, 14, 16–20) · 69 %
Вне урока	допустимые значения как отдельный тип — ALG8-035; основное свойство и сокращение — ALG8-036, ALG8-037; действия с дробями — ALG8-038
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: алгебраическая дробь

Сегодня вы научитесь

Подставлять числа

Записывать дробью

Выражать переменную

Считать по формуле

Целое или дробное выражение?

Посчитайте в уме — пригодится при подстановке

Черта дроби — это деление и скобки

Четыре типа задач на алгебраическую дробь

Найдём a+3b2a−b​ при a=−2, b=0,5

шаг 3 — делим

Заполните таблицу значений x+3x2−1​

Найдите значение дроби

Катер: 30 км по течению и 30 км обратно

Запишите ответ дробью

Выразим h из формулы площади трапеции

Выразите указанную переменную

Выразите переменную и сверьте ответ

Мощность P=RU2​. Найдите R, если P=150 Вт, U=30 В

Расчёт по формуле: в ответ — только число

Подарок учителю стоит 3600 р.

Типичные ошибки практикума

Решите

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-034 · Практикум: алгебраическая дробь

Найдём $\frac{2 a - b}{a + 3 b}$ при $a = - 2$ , $b = 0, 5$

Заполните таблицу значений $\frac{x ^{2} - 1}{x + 3}$

Выразим $h$ из формулы площади трапеции

Мощность $P = \frac{U ^{2}}{R}$ . Найдите $R$ , если $P = 150$ Вт, $U = 30$ В