Алгебраическая дробь · урок 6 из 15 · новый материал

Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-033

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 6/15, единица R04.6 «Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби». Тип урока — Н (новый материал). Опирается на ALG8-030 (основное свойство), ALG8-031 (сокращение), ALG8-032 (четыре действия с дробями); дальше — практикумы ALG8-034…ALG8-039.
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · всего 45 мин.
Теория (14 мин, все теоретические слайды показываются полностью): титул 1 (сл. 1) · цели 1 (сл. 2) · проблема 1 (сл. 5) · порядок действий 1 (сл. 6) · образец 1 — 2 (сл. 7) · алгоритм 1 (сл. 9) · образец 2 — 2 (сл. 10) · тождество 1,5 (сл. 12) · значение выражения 1,5 (сл. 14) · средняя скорость 1 (сл. 16) · формула из физики 1 (сл. 17).
Практика (31 мин): разминка 4 (сл. 3–4) · «ваш ход» после образцов 6 (сл. 8, 11) · доказательство тождеств 3 (сл. 13) · значение выражения с самопроверкой 3 (сл. 15) · задачи из жизни 3 (сл. 18) · найди ошибку 2 (сл. 19) · закрепление 4 (сл. 20) · самостоятельная работа 4 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 22).
Если не успеваете: задание 5 сл. 15 и задание 3 сл. 18 перенести в ДЗ; на сл. 20 задания 3–4 — по желанию. Теорию не сокращать.

R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Упрощать выражения

несколько действий с дробями в правильном порядке (ПР-5, REQ-2.2)

Доказывать тождества

левая часть после преобразований равна правой (ПР-5, REQ-2.2)

Находить значение

сначала упростить, потом подставить (ПР-5, REQ-2.2)

Применять в задачах

средняя скорость, формула сопротивления (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями». ПР-7 (REQ-2.4): «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики». Элемент содержания EL-2.4 «Рациональные выражения и их преобразование».
Виды деятельности ФРП (строка R04): «Выполнять действия с алгебраическими дробями. Применять преобразования выражений для решения задач. Выражать переменные из формул (физических, геометрических, описывающих бытовые ситуации)».

повторение: R04.2, R04.5

Разминка · устно

Четыре действия с дробями

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

При каких $x$ не имеет смысла?

\frac{5}{x ( x - 4 )}

x = 0

и

x = 4

: знаменатель равен 0

повторение: 7 класс, R04.4, R04.5

Разминка · устно

Разложить, перевернуть, сократить

Разложите $a^{2} - 9$ $(a - 3) (a + 3)$
Разложите $x^{2} - 2 x$ $x (x - 2)$
$(x + 1)^{2} =$ ? $x^{2} + 2 x + 1$

Сократите $\frac{a - b}{b - a}$ $- 1$
Обратная к $\frac{x + 3}{x}$ $\frac{x}{x + 3}$
Общий знаменатель $\frac{1}{x - 2}$ , $\frac{1}{x + 2}$ $(x - 2) (x + 2)$

2 мин · практика
Устно, ответ открывается по клику после ответа класса. Эти шесть умений понадобятся в каждом сегодняшнем примере.
Ответы: 1) a² − 9 = (a − 3)(a + 3); 2) x² − 2x = x(x − 2); 3) (x + 1)² = x² + 2x + 1 (не забыть удвоенное произведение — пригодится в тождестве сл. 12); 4) a − b = −(b − a), дробь = −1 при a ≠ b; 5) обратная дробь x/(x + 3) — для деления; 6) общий знаменатель (x − 2)(x + 2) = x² − 4.
Рисунок: L-образная фигура a² − 9 перекладывается в прямоугольник (a + 3) × (a − 3).

R04.6

Проблема

Как быстрее найти значение при $a = 3, 7$ и $b = 1, 9$ ?

(\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}) \cdot \frac{a ^{2} - b ^{2}}{2 b}

R04.6

Новый материал · порядок действий

Сначала план: какое действие первое?

1 — действие в скобках

2 — умножение и деление

3 — сложение и вычитание

Порядок тот же, что с числами

R04.6

Образец решения 1

Упростим выражение по действиям

1)

\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b} = \frac{a + b - a + b}{( a - b ) ( a + b )}

= \frac{2 b}{( a - b ) ( a + b )}

2)

\frac{2 b}{( a - b ) ( a + b )} \cdot \frac{( a - b ) ( a + b )}{2 b} = 1

Знаменатель

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

Допустимые значения

$a \neq = b, a \neq = - b, b \neq = 0$

Ответ: 1 (при допустимых a, b)

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Шаг 1: общий знаменатель (a − b)(a + b), дополнительные множители (a + b) и (a − b). Числитель: (a + b) − (a − b) = a + b − a + b = 2b — скобку со знаком «минус» раскрываем со сменой знаков.
Шаг 2: числитель a² − b² сразу записываем как (a − b)(a + b) — сокращаются одинаковые множители (цвета).
Вопрос: «Почему ответ “1 при допустимых”, а не просто 1?» При a = b или b = 0 исходное выражение не имеет смысла.
Ошибка: 1/(a − b) − 1/(a + b) = 0/… («вычли числители и знаменатели»).

R04.6

Образец → сам · по действиям

Ваш ход: упростите, как в образце

Как в образце 1

1 — действие в скобках: общий знаменатель

2 — умножение или деление: разложить и сократить

дерево к заданию 1

Ваш ход

$(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3}) \cdot \frac{x ^{2} - 9}{2 x}$ $1$
$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) : \frac{a + b}{a ^{2}}$ $\frac{a}{b}$
$(\frac{x}{x - 1} - 1) \cdot \frac{x ^{2} - 1}{x}$ повыш. $\frac{x + 1}{x}$

3 мин · практика
Ученики решают в тетрадях (2 мин), затем ответы открываются по клику; один ученик проговаривает решение задания 1 по дереву.
Ответы: 1) скобка: (x + 3 + x − 3)/((x − 3)(x + 3)) = 2x/((x − 3)(x + 3)); умножаем на (x − 3)(x + 3)/(2x) → 1 (x ≠ 0, x ≠ ±3). Проверка x = 1: (−1/2 + 1/4) · (−8/2) = (−1/4) · (−4) = 1 ✓.
2) 1/a + 1/b = (a + b)/(ab); · a²/(a + b) = a/b (a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ −b). Проверка a = 2, b = 1: (1/2 + 1) : (3/4) = 3/2 · 4/3 = 2 = a/b ✓.
3) x/(x − 1) − 1 = (x − x + 1)/(x − 1) = 1/(x − 1); · (x − 1)(x + 1)/x = (x + 1)/x (x ≠ 0, x ≠ ±1). Проверка x = 2: (2 − 1) · 3/2 = 3/2 ✓.
Ошибка в 3): x/(x − 1) − 1 = (x − 1)/(x − 1) — «вычли 1 из числителя».

R04.6

Алгоритм

Пять шагов преобразования

R04.6

Образец решения 2 · по алгоритму

Упростите: $(\frac{a}{a - 2} - \frac{2 a}{a ^{2} - 4}) : \frac{a}{a + 2}$

1)

\frac{a}{a - 2} - \frac{2 a}{( a - 2 ) ( a + 2 )} = \frac{a ( a + 2 ) - 2 a}{( a - 2 ) ( a + 2 )}

= \frac{a ^{2} + 2 a - 2 a}{( a - 2 ) ( a + 2 )} = \frac{a ^{2}}{( a - 2 ) ( a + 2 )}

2)

\frac{a ^{2}}{( a - 2 ) ( a + 2 )} \cdot \frac{a + 2}{a} = \frac{a}{a - 2}

a \neq = 0

— из делителя

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Идём по алгоритму сл. 9: порядок — сначала скобки, затем деление; знаменатель a² − 4 = (a − 2)(a + 2); общий знаменатель (a − 2)(a + 2), дополнительный множитель к первой дроби (a + 2).
Деление заменяем умножением на обратную дробь (a + 2)/a; сокращаем на a и на (a + 2): a²/a = a.
Проверка подстановкой a = 4: (4/2 − 8/12) : 4/6 = 4/3 · 6/4 = 2; и a/(a − 2) = 4/2 = 2. Верно.
Ограничения: a ≠ 2, a ≠ −2 (знаменатели), a ≠ 0 (делим на a/(a + 2)). Частая ошибка — забыть a ≠ 0: в ответе a/(a − 2) при a = 0 получается 0, а исходное выражение смысла не имеет.

R04.6

Образец → сам · по алгоритму

Ваш ход: упростите по пяти шагам

Алгоритм

1 порядок действий

2 разложить знаменатели

3 общий знаменатель

4 деление → умножение

5 сократить, ограничения

Ваш ход · укажите и допустимые значения

$(\frac{a}{a + 3} + \frac{3 a}{a ^{2} - 9}) : \frac{a}{a - 3}$ $\frac{a}{a + 3}$
$(\frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ $2$
$(\frac{c}{c - 2} - \frac{4}{c ^{2} - 2 c}) : \frac{c + 2}{c ^{2}}$ повыш. $c$

3 мин · практика
Самостоятельно по алгоритму, ответы — по клику; ограничения проговорить устно.
Ответы: 1) a² − 9 = (a − 3)(a + 3); a(a − 3) + 3a = a²; скобка a²/((a − 3)(a + 3)); · (a − 3)/a = a/(a + 3). Ограничения a ≠ 0, a ≠ ±3. Проверка a = 6: (6/9 + 18/27) : 6/3 = (4/3) : 2 = 2/3 и 6/9 = 2/3 ✓.
2) x(x − 1) + x(x + 1) = 2x²; 2x²/(x² − 1) · (x² − 1)/x² = 2. Ограничения x ≠ 0, x ≠ ±1. Проверка x = 2: (2/3 + 2) · 3/4 = 8/3 · 3/4 = 2 ✓.
3) c² − 2c = c(c − 2); c · c − 4 = (c − 2)(c + 2); скобка (c + 2)/c; · c²/(c + 2) = c. Ограничения c ≠ 0, c ≠ ±2. Проверка c = 3: (3 − 4/3) : 5/9 = 5/3 · 9/5 = 3 ✓.
Ошибка: забыть a ≠ 0 и c ≠ 0 — они приходят из делителя (шаг 5 алгоритма).

R04.6

Доказательство тождества

Преобразуем левую часть — получаем правую

\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{4 x}{x ^{2} - 1}

левая

= \frac{( x + 1 ) ^{2} - ( x - 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{4 x}{x ^{2} - 1}

= правая ✓

Тождество верно при

x \neq = 1, x \neq = - 1

R04.6

Образец → сам · тождества

Докажите тождество

Преобразуйте левую часть

$\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{x ^{2} - 4}$ верно ✓
$\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a} = 1$ верно ✓
$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{8 x}{x ^{2} - 4}$ повыш. верно ✓

3 мин · практика
Ученики доказывают в тетрадях, по клику — «верно ✓», решение у доски проговаривает ученик.
1) Общий знаменатель (x − 2)(x + 2) = x² − 4; числитель x + 2 − (x − 2) = 4 → 4/(x² − 4) ✓ (x ≠ ±2). Проверка x = 3: 1 − 1/5 = 4/5 и 4/5 ✓.
2) b/(b − a) = −b/(a − b); a/(a − b) − b/(a − b) = (a − b)/(a − b) = 1 ✓ (a ≠ b). Проверка a = 3, b = 1: 3/2 + 1/(−2) = 1 ✓.
3) (x + 2)² − (x − 2)² = x² + 4x + 4 − x² + 4x − 4 = 8x → 8x/(x² − 4) ✓ (x ≠ ±2). Рисунок: квадрат со стороной x + 2 без квадрата со стороной x − 2 — рамка из четырёх прямоугольников 2 × x, площадь 8x. Проверка x = 3: 5 − 1/5 = 24/5 и 24/5 ✓.

R04.6

Значение выражения

Сначала упростить, потом подставить

(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{ab}{a + b} = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} \cdot \frac{ab}{a + b}

= \frac{( a - b ) ( a + b ) \cdot ab}{ab ( a + b )} = a - b

a = 5, 8; b = 2, 3 : 5, 8 - 2, 3 = 3, 5

Ваша очередь

$(\frac{c}{c - 3} - \frac{3}{c + 3}) \cdot \frac{c - 3}{c ^{2} + 9}$
при $c = - 2, 5$
$\frac{x ^{2} - 4}{x} \cdot (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$
при $x = 0, 8$

1,5 мин · теория (разбор образца; задания «Ваша очередь» решаются на сл. 15 — там ответы по клику)
Образец: a/b − b/a = (a² − b²)/(ab), затем сокращаем на ab и на (a + b). Значение при a = 5,8, b = 2,3: 3,5. Подставлять в исходное выражение пришлось бы с дробями 5,8/2,3 — неудобно.
Ответы: 1) c(c + 3) − 3(c − 3) = c² + 9, выражение = (c² + 9)/((c − 3)(c + 3)) · (c − 3)/(c² + 9) = 1/(c + 3); при c = −2,5: 1/0,5 = 2. 2) скобка = 4/((x − 2)(x + 2)), выражение = 4/x; при x = 0,8: 5.
Перед подстановкой проверить, что значение допустимо: c = −2,5 ≠ ±3; x = 0,8 ≠ 0, ±2.

R04.6

Задания с самопроверкой · значение выражения

Сначала упростите, потом подставьте

база $(\frac{c}{c - 3} - \frac{3}{c + 3}) \cdot \frac{c - 3}{c ^{2} + 9}$
при $c = - 2, 5$ $2$
база $\frac{x ^{2} - 4}{x} \cdot (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$
при $x = 0, 8$ $5$
база $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) : \frac{x + y}{x y}$
при $x = 7, 4; y = 2, 6$ $4, 8$

формат ОГЭ $(\frac{1}{2 a} + \frac{1}{3 a}) \cdot \frac{a ^{2}}{4}$
при $a = - 4, 8$ $- 1$
повыш. $(\frac{b}{a} - \frac{a}{b}) \cdot \frac{ab}{a - b}$
при $a = 1, 3; b = 2, 7$ $- 4$

3 мин · практика
Задания 1–2 — те, что были в карточке «Ваша очередь» на сл. 14. Работа в парах, ответы открываются по клику после каждого задания.
Ответы: 1) c(c + 3) − 3(c − 3) = c² + 9; выражение = 1/(c + 3) = 1/0,5 = 2. 2) скобка 4/((x − 2)(x + 2)); выражение = 4/x = 4/0,8 = 5. 3) (x² − y²)/(xy) · xy/(x + y) = x − y = 7,4 − 2,6 = 4,8.
4) 1/(2a) + 1/(3a) = (3 + 2)/(6a) = 5/(6a); · a²/4 = 5a/24 = 5 · (−4,8)/24 = −24/24 = −1. 5) (b² − a²)/(ab) · ab/(a − b) = (b − a)(b + a)/(a − b) = −(a + b) = −(1,3 + 2,7) = −4.
Ошибка в 5): получить a + b = 4 — потерян знак при b − a = −(a − b). Проверить допустимость: c ≠ ±3; x ≠ 0, ±2; x, y ≠ 0, x ≠ −y; a ≠ 0; a ≠ b.

R04.6

Применение · задача из жизни

Туда 60 км/ч, обратно 40 км/ч. Средняя скорость?

время

t = \frac{s}{60} + \frac{s}{40} = \frac{5 s}{120} = \frac{s}{24}

скорость

v = 2 s : \frac{s}{24} = 48 км / ч

v_{ср} = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}

1 мин · теория (демонстрационный пример; похожие задачи ученики решают на сл. 18)
Сначала опрос: «Сколько?» Большинство скажет 50 (шаг на рисунке). Почему нет: обратно едут дольше, поэтому медленная скорость «весит» больше.
Средняя скорость = весь путь : всё время. t = s/60 + s/40 = (2s + 3s)/120 = s/24; v = 2s · 24/s = 48 км/ч — s сократилось, ответ не зависит от расстояния.
Общая формула: t = s/v₁ + s/v₂ = s(v₁ + v₂)/(v₁v₂), v = 2s : t = 2v₁v₂/(v₁ + v₂). Проверка: 2 · 60 · 40/100 = 48.

R04.6

Применение · формула из физики

Выразим R из формулы параллельного соединения

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

\frac{1}{R} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1} R _{2}}

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

Найдите $R$ при $R_{1} = 4$ Ом, $R_{2} = 12$ Ом

1 мин · теория (демонстрационный пример; задание в карточке — устно, ответ 3 Ом)
Сложили дроби в правой части, затем «перевернули» обе части равенства: если 1/R = p/q, то R = q/p (p, q ≠ 0).
Пример на рисунке: R = 6 · 3/(6 + 3) = 18/9 = 2 Ом. Задание: R = 48/16 = 3 Ом.
Для сильных: выразите R₁. 1/R₁ = 1/R − 1/R₂ = (R₂ − R)/(RR₂), R₁ = RR₂/(R₂ − R). Проверка: 2 · 3/(3 − 2) = 6.
Если физика ещё не изучала параллельное соединение, достаточно назвать формулу «формулой из физики 8 класса».

R04.6

Практика · задачи из жизни

Одна и та же дробь в разных задачах

практикаВ гору велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, с горы по той же дороге — 24 км/ч. Средняя скорость? 16 км/ч
практикаРезисторы $R_{1} = 10$ Ом и $R_{2} = 15$ Ом соединены параллельно. Найдите $R$ . 6 Ом
повыш.Одна труба наполняет бак за 3 ч, другая — за 6 ч. За сколько часов наполнят вместе? 2 ч

R04.6

Найди ошибку

Пять частых ошибок

Задание	Неверно	Верно
$\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}$	0	$\frac{2 b}{a ^{2} - b ^{2}}$
$\frac{a}{a - 2} - \frac{a + 1}{a - 2}$	$\frac{1}{a - 2}$	$- \frac{1}{a - 2}$
$\frac{x + 3}{x}$	3	не сокращается
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$	$\frac{a c}{b d}$	$\frac{a d}{b c}$
образец 2 при $a = 0$	0	не имеет смысла

R04.6

Закрепление

Решите

базаУпростите: $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2) \cdot \frac{ab}{a + b}$ $a + b$
базаДокажите, что не зависит от $x$ : $(\frac{x}{x + 2} - 1) : \frac{4}{x + 2}$ $- 0, 5$
повыш.Докажите тождество: $(\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b}) : \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a - b} = \frac{1}{a + b}$ верно ✓

практикаВелосипедист ехал туда со скоростью 15 км/ч, обратно — 10 км/ч. Найдите среднюю скорость. 12 км/ч
ОГЭ, линия 20Найдите значение выражения $8 a - 2 b + 15$ , если $\frac{2 a - 3 b + 4}{3 a - 2 b + 4} = 2$ . 7

4 мин · практика
В тетрадях; 1, 2, 5 — все, 3–4 — по мере готовности. Ответы открываются по клику.
Ответы: 1) (a² + 2ab + b²)/(ab) · ab/(a + b) = (a + b)²/(a + b) = a + b. 2) x/(x + 2) − 1 = (x − x − 2)/(x + 2) = −2/(x + 2); −2/(x + 2) · (x + 2)/4 = −1/2 = −0,5 при всех x ≠ −2. 3) a(a + b) − b(a − b) = a² + b², скобка = (a² + b²)/((a − b)(a + b)); умножаем на (a − b)/(a² + b²): 1/(a + b). Проверка a = 2, b = 1: (2 − 1/3) : 5 = 1/3. 4) 2 · 15 · 10/25 = 12 км/ч.
5) 2a − 3b + 4 = 2(3a − 2b + 4) = 6a − 4b + 8, откуда 4a − b = −4; 8a − 2b + 15 = 2(4a − b) + 15 = −8 + 15 = 7. Проверка: a = 0, b = 4: (−12 + 4)/(−8 + 4) = 2, 8 · 0 − 8 + 15 = 7. Ответ: 7. Задание того же типа, что в открытом банке ФИПИ (часть 2).

R04.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

$(\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}) \cdot \frac{x ^{2} - 16}{8}$ $1$
$(\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}) : \frac{2 a}{a ^{2} - 1}$ $a$
$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{mn}{m + n}$
при $m = 4, 2; n = 1, 7$ $2, 5$

Вариант 2

$(\frac{1}{y - 5} + \frac{1}{y + 5}) \cdot \frac{y ^{2} - 25}{2 y}$ $1$
$(\frac{b}{b - 2} + \frac{b}{b + 2}) : \frac{2 b}{b ^{2} - 4}$ $b$
$(\frac{p}{q} + \frac{q}{p} + 2) \cdot \frac{pq}{p + q}$
при $p = 3, 6; q = 1, 9$ $5, 5$

4 мин · практика
3 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику).
Вариант 1: 1) скобка (x + 4 − x + 4)/((x − 4)(x + 4)) = 8/(x² − 16); · (x² − 16)/8 = 1. 2) a(a − 1) + a(a + 1) = 2a²; 2a²/(a² − 1) · (a² − 1)/(2a) = a. 3) (m² − n²)/(mn) · mn/(m + n) = m − n = 4,2 − 1,7 = 2,5.
Вариант 2: 1) скобка (y + 5 + y − 5)/((y − 5)(y + 5)) = 2y/(y² − 25); · (y² − 25)/(2y) = 1. 2) b(b + 2) + b(b − 2) = 2b²; 2b²/(b² − 4) · (b² − 4)/(2b) = b. 3) (p² + q² + 2pq)/(pq) · pq/(p + q) = (p + q)²/(p + q) = p + q = 5,5.
Проверки: В1-1 при x = 0: (−1/4 − 1/4) · (−16/8) = 1 ✓; В1-2 при a = 2: (2/3 + 2) : 4/3 = 8/3 · 3/4 = 2 ✓; В2-1 при y = 1: (−1/4 + 1/6) · (−24/2) = (−1/12) · (−12) = 1 ✓; В2-2 при b = 4: (2 + 2/3) : 8/12 = 8/3 · 3/2 = 4 ✓.
Критерий: «5» — 3 задания с ограничениями, «4» — 3 задания, «3» — 2.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

С какого действия начинаем упрощение?
Как доказать тождество?
Почему средняя скорость 48, а не 50?

Домашнее задание

Упростите: $(\frac{x}{x - 4} - \frac{4}{x + 4}) \cdot \frac{x + 4}{x ^{2} + 16}$
Значение $(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{mn}{m - n}$ при $m = 3, 25; n = 1, 75$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-033 · Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 6/15 · тип Н (новый материал) · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R04.6 «Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби» → 2, 5–21 · опора: R04.2 (допустимые значения) → 3, 7, 10, 11 · R04.5 (действия с дробями) → 3, 4
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 5–15, 19–21 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение преобразований в задачах) → 16–18, 20 · EL-2.4 «Рациональные выражения и их преобразование»
Вне урока	простейшие дробно-рациональные уравнения — строка R05 (R05.6, EL-3.3); практикумы по единицам R04.1–R04.6 — ALG8-034…ALG8-041; обобщение — ALG8-042
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби

Сегодня вы научитесь

Упрощать выражения

Доказывать тождества

Находить значение

Применять в задачах

Четыре действия с дробями

При каких x не имеет смысла?

Разложить, перевернуть, сократить

Как быстрее найти значение при a=3,7 и b=1,9?

Сначала план: какое действие первое?

Упростим выражение по действиям

Знаменатель

Допустимые значения

Ваш ход: упростите, как в образце

Как в образце 1

Ваш ход

Пять шагов преобразования

Упростите: (a−2a​−a2−42a​):a+2a​

Ваш ход: упростите по пяти шагам

Алгоритм

Ваш ход · укажите и допустимые значения

Преобразуем левую часть — получаем правую

Докажите тождество

Преобразуйте левую часть

Сначала упростить, потом подставить

Ваша очередь

Сначала упростите, потом подставьте

Туда 60 км/ч, обратно 40 км/ч. Средняя скорость?

Выразим R из формулы параллельного соединения

Одна и та же дробь в разных задачах

Пять частых ошибок

Решите

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-033 · Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби

При каких $x$ не имеет смысла?

Как быстрее найти значение при $a = 3, 7$ и $b = 1, 9$ ?

Упростите: $(\frac{a}{a - 2} - \frac{2 a}{a ^{2} - 4}) : \frac{a}{a + 2}$