Алгебраическая дробь · урок 5 из 15

Сложение, вычитание,
умножение и деление
алгебраических дробей

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-032

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 5/15, единица R04.5. Тип урока — Н.
Теория (14 мин): сл. 1–2 (2), 5 проблема (1), 6 одинаковые знаменатели (1), 8 алгоритм (2), 9 одночлены (1), 11 многочлены (2), 13 умножение (1), 14 деление (1), 16 задача о трубах (1), 17 шпаргалка (1), 18 типичные ошибки (1) — все правила, выводы и схемы показываются полностью.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 3 · «вспомним» (сл. 4) 2 · «образец → сам» (сл. 7, 10, 12, 15) 12 · задания с самопроверкой и формат ОГЭ (сл. 19–20) 7 · «найди ошибку» (сл. 21) 2 · самостоятельная работа (сл. 22) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 23) 1.
Если не успеваете: задание 6 сл. 20 и задание 4 на слайдах «образец → сам» — в ДЗ; теорию не сокращать.
Предыдущий урок ALG8-031 — сокращение алгебраических дробей; следующий ALG8-033 — преобразование выражений с несколькими действиями.

R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Складывать и вычитать

алгебраические дроби с одинаковыми и разными знаменателями (ПР-5)

Умножать и делить

алгебраические дроби, сокращая результат (ПР-5)

Находить общий знаменатель

раскладывая знаменатели на множители (REQ-2.2)

Применять в задачах

записывать время и производительность дробью (ПР-7, REQ-2.4)

повторение: дроби 6 кл., R03, R04.4

Разминка · устно

Восемь вопросов — без тетради

Вычислите

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ $\frac{1}{2}$
$\frac{5}{8} - \frac{3}{8}$ $\frac{1}{4}$
$\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9}$ $\frac{2}{3}$
$\frac{4}{7} : \frac{2}{7}$ $2$

Разложите на множители

$x^{2} - 9$ $(x - 3) (x + 3)$
$3 a + 6$ $3 (a + 2)$
$a^{2} + 5 a$ $a (a + 5)$
$x^{2} - 2 x + 1$ $(x - 1)^{2}$

повторение: дроби, R04.4

Вспомним

Обыкновенные дроби: приводим к общему знаменателю

Общий знаменатель $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{4} ?$ $12$
$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = ?$ $\frac{3}{2}$
Сократите $\frac{x ^{2} - 4}{3 x + 6}$ $\frac{x - 2}{3}$

R04.5

Проблема

Как сложить $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} ?$

Гипотеза «сложить всё»

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{x + y} ?

проверим: $x = y = 2$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1,

но

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

✗

Как с обыкновенными дробями

\frac{1 \cdot y}{x \cdot y} + \frac{1 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{y + x}{x y}

проверим: $x = y = 2$

\frac{4}{4} = 1

✓

Правила действий — те же, что для обыкновенных дробей.

R04.5

Одинаковые знаменатели

Складываем (вычитаем) числители, знаменатель тот же

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

Пример

\frac{3 x}{x - 2} - \frac{6}{x - 2} =

= \frac{3 x - 6}{x - 2} =

вычли числители

= \frac{3 ( x - 2 )}{x - 2} = 3

сократили

при

x \neq = 2

R04.5

Образец → сам

Одинаковые знаменатели

Образец

\frac{x ^{2}}{x + 5} - \frac{25}{x + 5} =

= \frac{x ^{2} - 25}{x + 5} =

вычли числители

= \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x + 5} =

= x - 5

при

x \neq = - 5

Сам

$\frac{4}{y} + \frac{3}{y}$ $\frac{7}{y}$
$\frac{5 x}{x + 1} + \frac{5}{x + 1}$ $5$
$\frac{a + 4}{2 a} - \frac{a - 4}{2 a}$ $\frac{4}{a}$
$\frac{y ^{2}}{y - 3} - \frac{9}{y - 3}$ $y + 3$

R04.5

Разные знаменатели · алгоритм

Пять шагов к общему знаменателю

R04.5

Знаменатели — одночлены

Собираем общий знаменатель из «кирпичиков»

\frac{5}{6 a ^{2} b} + \frac{3}{4 a b ^{2}} =

\frac{5 \cdot 2 b + 3 \cdot 3 a}{12 a ^{2} b ^{2}} =

\frac{10 b + 9 a}{12 a ^{2} b ^{2}}

R04.5

Образец → сам

Знаменатели — одночлены

Образец: НОЗ $= 3 x^{2}$

\frac{2}{3 x} + \frac{1}{x ^{2}} =

= \frac{2 \cdot x}{3 x ^{2}} + \frac{1 \cdot 3}{3 x ^{2}} =

доп. множители

= \frac{2 x + 3}{3 x ^{2}}

не сокращается

Сам

$\frac{1}{2 a} + \frac{1}{3 a}$ $\frac{5}{6 a}$
$\frac{5}{x} - \frac{2}{x ^{2}}$ $\frac{5 x - 2}{x ^{2}}$
$\frac{a}{4 b} - \frac{b}{6 a}$ $\frac{3 a ^{2} - 2 b ^{2}}{12 ab}$
$\frac{3}{2 x ^{2} y} + \frac{1}{4 x y ^{2}}$ $\frac{6 y + x}{4 x ^{2} y ^{2}}$

R04.5 · опора R04.4

Знаменатели — многочлены

Сначала раскладываем знаменатели на множители

\frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 4} =

= \frac{1 ^{(x + 2)}}{x - 2} - \frac{4}{( x - 2 ) ( x + 2 )} =

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

= \frac{x + 2 - 4}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} =

= \frac{1}{x + 2}

сократили на

x - 2

Допустимые значения:

x \neq = 2

,

x \neq = - 2

R04.5 · опора R04.4

Образец → сам

Знаменатели — многочлены

Образец: $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$

\frac{2}{x + 3} + \frac{6}{x ^{2} + 3 x} =

= \frac{2 \cdot x + 6}{x ( x + 3 )} =

НОЗ

x (x + 3)

= \frac{2 ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{2}{x}

Сам

$\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$ $\frac{1}{a ( a + 1 )}$
$\frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ $\frac{5 x + 1}{x ^{2} - 1}$
$\frac{x}{x - 4} - \frac{16}{x ^{2} - 4 x}$ $\frac{x + 4}{x}$
$\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ $1$

R04.5

Умножение

Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

\frac{x ^{2} - 9}{4 x} \cdot \frac{2 x ^{2}}{x + 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 ) \cdot 2 x ^{2}}{4 x \cdot ( x + 3 )} =

= \frac{x ( x - 3 )}{2}

2 x^{2} : 4 x = \frac{x}{2}

Сначала разложите и сократите, потом перемножайте.

R04.5

Деление

Делим — значит умножаем на обратную дробь

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}

\frac{a ^{2} - b ^{2}}{3 a} : \frac{a + b}{6 a ^{2}} = \frac{( a - b ) ( a + b )}{3 a} \cdot \frac{6 a ^{2}}{a + b} =

= 2 a (a - b)

6 a^{2} : 3 a = 2 a

R04.5

Образец → сам

Умножение и деление

Образец: делим

\frac{x ^{2} - 4}{3 x} : \frac{x + 2}{6} =

= \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{3 x} \cdot \frac{6}{x + 2} =

= \frac{2 ( x - 2 )}{x}

6 : 3 = 2

Сам

$\frac{3 a}{b ^{2}} \cdot \frac{b}{9 a ^{2}}$ $\frac{1}{3 ab}$
$\frac{4 x ^{2}}{y} : \frac{2 x}{y ^{3}}$ $2 x y^{2}$
$\frac{a + 5}{a} \cdot \frac{a ^{2}}{a ^{2} - 25}$ $\frac{a}{a - 5}$
$\frac{x ^{2} - x}{x + 3} : \frac{x - 1}{x ^{2} + 3 x}$ $x^{2}$

R04.5 · ПР-7

Дроби в задачах

Две трубы наполняют бассейн: за $a$ ч и за $b$ ч

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}

за 1 час вместе

t = 1 : \frac{a + b}{ab} = \frac{ab}{a + b}

R04.5

Шпаргалка

Четыре действия — четыре правила

Сложение и вычитание (одинаковые знам.)

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

знаменатель тот же

Сложение и вычитание (разные знам.)

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a d \pm b c}{b d}

лучше — простейший общий знаменатель

Умножение

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

сначала сократить

Деление

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a d}{b c}

умножить на обратную

R04.5

Осторожно

Типичные ошибки

Неверно	Верно	Почему
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$	$\frac{a d + b c}{b d}$	знаменатели не складывают
$\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - x + 1}{x - 1}$	$\frac{x - x - 1}{x - 1} = \frac{- 1}{x - 1}$	минус перед дробью меняет знак всего числителя
$\frac{x + 3}{3} = x$	не сокращается	сокращают только множители
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{d}$	$\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	переворачивают делитель

R04.5

Задания с самопроверкой · 1

Выполните действия — ответы по клику

база $\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x + 2}$ $1$
база $\frac{3}{4 a} - \frac{1}{6 a}$ $\frac{7}{12 a}$

база $\frac{5 a ^{2}}{3 b} : \frac{10 a}{9 b ^{2}}$ $\frac{3 ab}{2}$
повыш. $\frac{1}{x - 3} - \frac{6}{x ^{2} - 9}$ $\frac{1}{x + 3}$

R04.5 · ПР-7

Задания с самопроверкой · 2

Сложнее и ближе к жизни — ответы по клику

повыш. $\frac{a ^{2} - 4}{a ^{2} + 3 a} \cdot \frac{a + 3}{a - 2}$ $\frac{a + 2}{a}$
практикаТуда 12 км со скоростью $v$ км/ч, обратно — на 3 км/ч быстрее. Запишите время в пути одной дробью; найдите его при $v = 12$ . $\frac{24 v + 36}{v ( v + 3 )}$ ; 1,8 ч
ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{ab}{a + b}$ при $a = 7, 4$ , $b = 2, 6$ . 4,8

R04.5

Найди ошибку

Где ученик ошибся?

1) $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{5}{x + y}$	ошибка: $= \frac{3 y + 2 x}{x y}$
2) $\frac{a}{a - 2} - \frac{a + 2}{a - 2} = \frac{2}{a - 2}$	ошибка: $a - (a + 2) = - 2$ , ответ $- \frac{2}{a - 2}$
3) $\frac{2 x}{5} \cdot \frac{10}{x ^{2}} = \frac{4}{x}$	верно: $\frac{20 x}{5 x ^{2}} = \frac{4}{x}$
4) $\frac{x}{3} : \frac{x}{6} = \frac{x ^{2}}{18}$	ошибка: $\frac{x}{3} \cdot \frac{6}{x} = 2$
5) $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{4 a} = \frac{3}{8 a ^{2}}$	ошибка: НОЗ $4 a$ : $\frac{2 + 1}{4 a} = \frac{3}{4 a}$

2 мин · практика
Ответы: ошибки в 1, 2, 4, 5; запись 3 верна. 1) Знаменатели не складывают: НОЗ xy, (3y + 2x)/(xy); проверка x = y = 1: 3 + 2 = 5, а 5/2 ≠ 5. 2) Минус перед дробью меняет знак всего числителя: (a − a − 2)/(a − 2) = −2/(a − 2). 3) 2x · 10/(5x²) = 20x/(5x²) = 4/x — верно. 4) При делении умножают на обратную: (x/3)·(6/x) = 2 (x ≠ 0). 5) Взят произведение знаменателей 8a² и ещё неверно сложены числители; верно 3/(4a). Проверка a = 1: 1/2 + 1/4 = 3/4 ✓.
Класс сначала показывает «верно/неверно» по каждой строке (поднятой рукой), затем учитель открывает объяснение.

R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$\frac{7}{3 a} - \frac{1}{3 a}$ $\frac{2}{a}$
$\frac{2}{x} + \frac{3}{x ^{2}}$ $\frac{2 x + 3}{x ^{2}}$
$\frac{a ^{2} - 1}{2 a} \cdot \frac{4 a}{a + 1}$ $2 (a - 1)$
$\frac{1}{x - 5} - \frac{10}{x ^{2} - 25}$ $\frac{1}{x + 5}$

Вариант 2

$\frac{9}{4 b} - \frac{1}{4 b}$ $\frac{2}{b}$
$\frac{4}{y} - \frac{1}{y ^{2}}$ $\frac{4 y - 1}{y ^{2}}$
$\frac{b ^{2} - 4}{3 b} : \frac{b - 2}{6 b}$ $2 (b + 2)$
$\frac{1}{x + 4} + \frac{8}{x ^{2} - 16}$ $\frac{1}{x - 4}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти общий знаменатель?
Что делаем с делителем при делении?
Какой шаг последний в каждом действии?

Домашнее задание

$\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1}$ ;
$\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + x} : \frac{x - 1}{5 x}$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-032 · Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 5/15 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R04.5 «Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей» → 2, 5–23 · опора: R04.4 (сокращение) → 3, 4, 6, 7, 11–15 · R04.2 (допустимые значения) → 6, 11
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования с алгебраическими дробями) → 2–15, 17–23 · ПР-7 / REQ-2.4 (преобразования в задачах) → 16, 20
Время	теория 14 мин (сл. 1–2, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16–18) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 4, 7, 10, 12, 15, 19–23)
Вне урока	преобразование выражений с несколькими действиями, возведение дроби в степень — ALG8-033; практикумы — ALG8-038; рациональные уравнения — строка R05
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сложение, вычитание,умножение и делениеалгебраических дробей

Сегодня вы научитесь

Складывать и вычитать

Умножать и делить

Находить общий знаменатель

Применять в задачах

Восемь вопросов — без тетради

Вычислите

Разложите на множители

Обыкновенные дроби: приводим к общему знаменателю

Как сложить x1​+y1​?

Гипотеза «сложить всё»

Как с обыкновенными дробями

Складываем (вычитаем) числители, знаменатель тот же

Одинаковые знаменатели

Образец

Сам

Пять шагов к общему знаменателю

Собираем общий знаменатель из «кирпичиков»

Знаменатели — одночлены

Образец: НОЗ =3x2

Сам

Сначала раскладываем знаменатели на множители

Знаменатели — многочлены

Образец: x2+3x=x(x+3)

Сам

Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель

Делим — значит умножаем на обратную дробь

Умножение и деление

Образец: делим

Сам

Две трубы наполняют бассейн: за a ч и за b ч

Четыре действия — четыре правила

Сложение и вычитание (одинаковые знам.)

Сложение и вычитание (разные знам.)

Умножение

Деление

Типичные ошибки

Выполните действия — ответы по клику

Сложнее и ближе к жизни — ответы по клику

Где ученик ошибся?

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-032 · Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей

Сложение, вычитание,
умножение и деление
алгебраических дробей

Как сложить $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} ?$

Образец: НОЗ $= 3 x^{2}$

Образец: $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$

Две трубы наполняют бассейн: за $a$ ч и за $b$ ч