Алгебраическая дробь · урок 3 из 15

Основное свойство алгебраической дроби

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-030

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2, 6–9, 11, 13, 15, 17 — модель, основное свойство, допустимые значения, образцы приведения к новому знаменателю (одночлен, многочлен), смена знаков, общий знаменатель и типичные ошибки показываются полностью, по 1–2 мин на слайд.
Практика (32 мин): разминка, повторение и проблемная таблица (сл. 3–5) 6 · «образец → сам» после каждого правила (сл. 10, 12, 14, 16) 11 · «найди ошибку» (сл. 18) 2 · задания с самопроверкой (сл. 19–20) 7 · самостоятельная работа (сл. 21) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 22) 2.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 3/15, единица R04.3 «Основное свойство алгебраической дроби». Тип урока — Н. Опора: ALG8-028 (алгебраическая дробь), ALG8-029 (допустимые значения). Сокращение дробей — следующий урок ALG8-031.
Если не успеваете: задание 4 на сл. 16 и задание 9 на сл. 20 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Формулировать свойство

числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно ненулевое выражение (ПР-5, REQ-2.2)

Приводить к знаменателю

находить дополнительный множитель (ПР-5, REQ-2.2)

Менять знаки

$a - b$ на $b - a$ в числителе и знаменателе (ПР-5)

Применять в задачах

общий знаменатель, значение выражения (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-n — номер предметного результата 8 класса по порядку ФРП. ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями»; ПР-7 (REQ-2.4): «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Вид деятельности ФРП (строка R04): «Формулировать основное свойство алгебраической дроби и применять его для преобразования дробей». Элемент кодификатора EL-2.2 «Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби».

повторение: 7 класс, R04.1

Разминка · устно

Делим одночлены и дополняем дроби

Вычислите

$6 a^{2} b : 2 a$ $3 ab$
$12 x^{3} y : 4 x y$ $3 x^{2}$
НОК $(4; 6)$ $12$
$2 x \cdot 3 x y$ $6 x^{2} y$

Заполните пропуск

$\frac{3}{5} = \frac{?}{35}$ $21$
$\frac{4}{9} = \frac{20}{?}$ $45$
$x^{2} - 16 = (x - 4) (?)$ $x + 4$
$- (3 - x) = ?$ $x - 3$

повторение: R04.1, R04.2

Вспомним

Дробь не меняется, если её «раздробить» мельче

$\frac{2}{7} = \frac{?}{21}$
Сократите $\frac{18}{24}$
Разложите $x^{2} - 9$

R04.3

Проблема

Равны ли эти дроби при любых $a$ и $b$ ?

\frac{2 a}{3 b} = ? \frac{2 a ^{2}}{3 ab}

Второй дроби: числитель и знаменатель умножили на $a$

$a$	$b$	$\frac{2 a}{3 b}$	$\frac{2 a ^{2}}{3 ab}$
$1$	$1$	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$
$2$	$3$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{18} = \frac{4}{9}$
$3$	$- 1$	$\frac{6}{- 3} = - 2$	$\frac{18}{- 9} = - 2$
$0$	$5$	$0$	$\frac{0}{0}$ — ?

R04.3

Откуда берётся свойство

Мельче части — та же закрашенная площадь

R04.3

Основное свойство алгебраической дроби

Числитель и знаменатель — на одно и то же ≠ 0

R04.3 · опора R04.2

Важная оговорка

Умножаем на $x$ — проверяем, где $x \neq = 0$

R04.3

Применение 1 · образец

Приводим дробь к новому знаменателю

R04.3

Практика · образец → сам

Приведите к новому знаменателю

Образец

\frac{2}{3 x} = \frac{?}{12 x ^{2} y}

множитель:

12 x^{2} y : 3 x = 4 x y

\frac{2 \cdot 4 x y}{3 x \cdot 4 x y} = \frac{8xy}{12 x ^{2} y}

Сам: заполните пропуск

$\frac{5}{2 a} = \frac{?}{8 a ^{3}}$ $20 a^{2}$
$\frac{3 b}{4 c} = \frac{?}{20 b c ^{2}}$ $15 b^{2} c$
$\frac{x}{6 y ^{2}} = \frac{?}{18 x y ^{3}}$ $3 x^{2} y$
$\frac{7}{m} = \frac{?}{m ^{2} n}$ $7 mn$

R04.3

Применение 2 · образец

Знаменатель — многочлен: сначала разложить

R04.3

Практика · образец → сам

Знаменатель — многочлен

Образец

\frac{a}{a + 2} = \frac{?}{a ^{2} - 4}

a^{2} - 4 = (a - 2) (a + 2)

множитель:

a - 2

? = a (a - 2) = a^{2} - 2a

Сам: заполните пропуск

$\frac{3}{x - 1} = \frac{?}{x ^{2} - 1}$ $3 x + 3$
$\frac{y}{y + 5} = \frac{?}{y ^{2} + 5 y}$ $y^{2}$
$\frac{2}{a - b} = \frac{?}{3 ( a - b ) ^{2}}$ $6 a - 6 b$
$\frac{x}{x - 4} = \frac{?}{x ^{2} - 8 x + 16}$ $x^{2} - 4 x$

R04.3

Применение 3

Смена знаков: умножаем на −1

2 мин · теория
Выражения a − b и b − a — противоположные числа (на прямой симметричны относительно 0). Умножение числителя и знаменателя на −1 меняет знак у обоих — дробь не меняется.
Равные записи: a/b = (−a)/(−b); −a/b = (−a)/b = a/(−b). Минус можно «переносить» с одной части дроби в другую или перед дробью.
Пример: (x − 5)/(3 − x) = (5 − x)/(x − 3). Проверка при x = 4: (−1)/(−1) = 1 и 1/1 = 1.
Типичная ошибка: поменяли знак только в знаменателе — получили противоположную дробь.

R04.3

Практика · образец → сам

Меняем знаки в числителе и знаменателе

Образец

\frac{2 - x}{- 5}

— убрать минус

= \frac{( 2 - x ) \cdot ( - 1 )}{( - 5 ) \cdot ( - 1 )}

= \frac{x - 2}{5}

Сам: запишите с указанным знаменателем

$\frac{a}{3 - a}$ знам. $a - 3$ $\frac{- a}{a - 3}$
$\frac{x - 1}{- 7}$ знам. $7$ $\frac{1 - x}{7}$
$\frac{4 - b}{b - 6}$ знам. $6 - b$ $\frac{b - 4}{6 - b}$
$- \frac{m}{2 - m}$ знам. $m - 2$ $\frac{m}{m - 2}$

R04.3

Применение 4 · образец

Две дроби — к общему знаменателю

1 мин · теория (демонстрационный образец)
Общий знаменатель одночленов: НОК коэффициентов (НОК(2; 3) = 6) и каждая буква в наибольшей степени (x²) → 6x². Дополнительные множители: 6x² : 2x = 3x; 6x² : 3x² = 2.
Многочлены a − b и a + b — разные, общий знаменатель — их произведение a² − b². Множители: a + b и a − b. Числители: a(a + b) = a² + ab; b(a − b) = ab − b².
Зачем: на уроке ALG8-032 так будем складывать и вычитать дроби. Нижний пример — показать, такие же задания ученики решают на следующем слайде.

R04.3

Практика · образец → сам

Приведите дроби к общему знаменателю

Образец

\frac{3}{4 a}

и

\frac{1}{6 a ^{2}}

общий:

12 a^{2}

; множители

3 a

и

2

\frac{9a}{12 a ^{2}}

и

\frac{2}{12 a ^{2}}

Сам

$\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x ^{2}}$ $\frac{x}{x ^{2}}; \frac{2}{x ^{2}}$
$\frac{5}{2 b}$ и $\frac{1}{3 b}$ $\frac{15}{6 b}; \frac{2}{6 b}$
$\frac{a}{3 c ^{2}}$ и $\frac{b}{6 c}$ $\frac{2 a}{6 c ^{2}}; \frac{b c}{6 c ^{2}}$
$\frac{1}{x - 2}$ и $\frac{3}{x + 2}$ $\frac{x + 2}{x ^{2} - 4}; \frac{3 x - 6}{x ^{2} - 4}$

3 мин · практика
Порядок: общий знаменатель (НОК коэффициентов, буквы в наибольшей степени или произведение разных многочленов) → дополнительные множители → числители. Ответы открывать по клику.
Ответы: 1) общий x², множители x и 1: x/x² и 2/x²; 2) общий 6b, множители 3 и 2: 15/(6b) и 2/(6b); 3) общий 6c², множители 2 и c: 2a/(6c²) и bc/(6c²); 4) общий (x − 2)(x + 2) = x² − 4, множители x + 2 и x − 2: (x + 2)/(x² − 4) и 3(x − 2)/(x² − 4) = (3x − 6)/(x² − 4).
Ошибка в 2): общий знаменатель «6b²» — b в обеих дробях в первой степени, достаточно 6b.

R04.3

Осторожно

Три типичные ошибки

Неверно	Почему	Проверка числом
$\frac{a + 2}{b + 2} = \frac{a}{b}$	прибавлять нельзя — только умножать	$a = 1, b = 2 : \frac{3}{4} \neq = \frac{1}{2}$
$\frac{3}{2 a} = \frac{3}{6 a ^{2} b}$	умножили только знаменатель	$a = b = 1 : \frac{3}{2} \neq = \frac{3}{6}$
$\frac{x + 3}{x} = 3$	$x$ — слагаемое, а не множитель	$x = 1 : \frac{4}{1} \neq = 3$

R04.3

Практика · найди ошибку

Найдите ошибку

Задание	Неверно	Верно	Почему
$\frac{5}{3 a} = \frac{?}{9 a ^{2}}$	$? = 15$	$? = 15 a$	множитель $3 a$ , а не $3$
$\frac{x}{x + 1} = \frac{?}{x ^{2} - 1}$	$? = x^{2} - 1$	$? = x^{2} - x$	$x (x - 1)$ — скобки обязательны
$\frac{a - 3}{2 - a}$ , знам. $a - 2$	$\frac{a - 3}{a - 2}$	$\frac{3 - a}{a - 2}$	знак меняют и в числителе
общий знам. $\frac{1}{4 x}$ и $\frac{1}{6 x}$	$24 x^{2}$	$12 x$	НОК $(4; 6) = 12$ , $x$ — в 1-й степени

R04.3

Закрепление · задания с самопроверкой

Решите и проверьте

базаЗаполните пропуск: $\frac{5}{3 y} = \frac{?}{12 y ^{3}}$ $20 y^{2}$
базаПриведите $\frac{2 b}{5 a ^{2}}$ к знаменателю $15 a^{3} b^{2}$
$\frac{6 a b ^{3}}{15 a ^{3} b ^{2}}$
повыш.Приведите $\frac{3}{x + 2}$ к знаменателю $x^{2} - 4$
$\frac{3 x - 6}{x ^{2} - 4}$

повыш.Запишите $\frac{a - 7}{2 - a}$ со знаменателем $a - 2$ $\frac{7 - a}{a - 2}$
практикаНа $b$ порций — $a$ г муки. Порций и муки стало втрое больше. Сколько муки на порцию? $\frac{a}{b}$ г
ОГЭ, линия 20Найдите значение $\frac{a ^{2} - 9}{2 a + 6}$ при $a = 7, 5$ $2, 25$

4 мин · практика
В тетрадях; 1, 2, 6 — все, 3–5 — по мере готовности. Ответы открывать по клику после каждого задания (проверка всем классом).
Ответы: 1) множитель 4y², ? = 20y². 2) 15a³b² : 5a² = 3ab², ответ 6ab³/(15a³b²). 3) x² − 4 = (x − 2)(x + 2), множитель x − 2: (3x − 6)/(x² − 4). 4) (7 − a)/(a − 2). 5) 3a/(3b) = a/b г — не изменилось (основное свойство). 6) (a − 3)(a + 3)/(2(a + 3)) = (a − 3)/2 = 4,5 : 2 = 2,25; ответ 2,25.
Проверка 6 прямым счётом: 7,5² = 56,25; (56,25 − 9)/(15 + 6) = 47,25/21 = 2,25. В задании 6 свойство работает «справа налево» — делим на a + 3 ≠ 0 (a = 7,5); подробно — на уроке ALG8-031.

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и проверьте

повыш.Приведите к общему знаменателю $\frac{2}{a ^{2} - 9}$ и $\frac{1}{a + 3}$
$\frac{2}{a ^{2} - 9}; \frac{a - 3}{a ^{2} - 9}$
повыш.Запишите $\frac{x}{5 - x}$ и $\frac{3}{x - 5}$ с одинаковым знаменателем $x - 5$
$\frac{- x}{x - 5}; \frac{3}{x - 5}$

из жизниПирог разрезали на $n$ равных кусков, Маша съела $k$ кусков. Каждый кусок разрезали ещё на 3 части. Запишите ту же долю с новым знаменателем. $\frac{3 k}{3 n}$
ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения $\frac{a ^{2} - 4}{3 a + 6}$ при $a = 5, 6$ $1, 2$

3 мин · практика
Ответы: 7) a² − 9 = (a − 3)(a + 3) — это и есть общий знаменатель; у первой дроби множитель 1, у второй a − 3: 2/(a² − 9) и (a − 3)/(a² − 9). 8) x/(5 − x) = −x/(x − 5) (умножили на −1), вторая уже со знаменателем x − 5.
9) Было k/n; кусков стало 3n, съедено 3k: k/n = 3k/(3n) — основное свойство, доля не изменилась.
10) (a − 2)(a + 2)/(3(a + 2)) = (a − 2)/3 = 3,6 : 3 = 1,2 (делим на a + 2 ≠ 0). Прямой счёт: 5,6² = 31,36; (31,36 − 4)/(16,8 + 6) = 27,36/22,8 = 1,2. Работа в парах; при нехватке времени задание 9 — в ДЗ.

R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

заполните пропуск: $\frac{7}{4 x} = \frac{?}{20 x ^{2} y}$ $35 x y$
к знаменателю $x^{2} - 25$ : $\frac{x}{x + 5}$ $\frac{x ^{2} - 5 x}{x ^{2} - 25}$
со знаменателем $b - 3$ : $\frac{b - 4}{3 - b}$ $\frac{4 - b}{b - 3}$
к общему знаменателю: $\frac{1}{3 a}$ и $\frac{2}{a ^{2}}$ $\frac{a}{3 a ^{2}}; \frac{6}{3 a ^{2}}$

Вариант 2

заполните пропуск: $\frac{5}{6 y} = \frac{?}{18 x y ^{3}}$ $15 x y^{2}$
к знаменателю $y^{2} - 16$ : $\frac{y}{y - 4}$ $\frac{y ^{2} + 4 y}{y ^{2} - 16}$
со знаменателем $c - 8$ : $\frac{c - 1}{8 - c}$ $\frac{1 - c}{c - 8}$
к общему знаменателю: $\frac{1}{2 b ^{2}}$ и $\frac{3}{b}$ $\frac{1}{2 b ^{2}}; \frac{6 b}{2 b ^{2}}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

На что можно умножить числитель и знаменатель?
Как найти дополнительный множитель?
Чему равна $\frac{- a}{- b}$ ?

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}

b \neq = 0, c \neq = 0

Домашнее задание

$\frac{3}{7 m}$ к знаменателю $21 m^{2} n$
$\frac{a}{a - 1}$ к знаменателю $(a - 1)^{2}$
Уберите минус из знаменателя: $\frac{2 - x}{- 3}$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-030 · Основное свойство алгебраической дроби

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 3/15 · тип Н
Единицы → слайды	R04.3 «Основное свойство алгебраической дроби» → 2, 5–22 · опора: 7 класс (деление одночленов, разложение) → 3; R04.1 → 3, 4; R04.2 (допустимые значения) → 4, 5, 8
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 6–21 · ПР-7 / REQ-2.4 (задачи) → 15, 16, 19, 20 · EL-2.2
Вне урока	сокращение дробей — ALG8-031; сложение, вычитание, умножение и деление дробей — ALG8-032; преобразование выражений — ALG8-033
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1–2, 6–9, 11, 13, 15, 17) · практика 32 мин (сл. 3–5, 10, 12, 14, 16, 18–22) · 71 %
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Основное свойство алгебраической дроби

Сегодня вы научитесь

Формулировать свойство

Приводить к знаменателю

Менять знаки

Применять в задачах

Делим одночлены и дополняем дроби

Вычислите

Заполните пропуск

Дробь не меняется, если её «раздробить» мельче

Равны ли эти дроби при любых a и b?

Мельче части — та же закрашенная площадь

Числитель и знаменатель — на одно и то же ≠ 0

Умножаем на x — проверяем, где x=0

Приводим дробь к новому знаменателю

Приведите к новому знаменателю

Образец

Сам: заполните пропуск

Знаменатель — многочлен: сначала разложить

Знаменатель — многочлен

Образец

Сам: заполните пропуск

Смена знаков: умножаем на −1

Меняем знаки в числителе и знаменателе

Образец

Сам: запишите с указанным знаменателем

Две дроби — к общему знаменателю

Приведите дроби к общему знаменателю

Образец

Сам

Три типичные ошибки

Найдите ошибку

Решите и проверьте

Решите и проверьте

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-030 · Основное свойство алгебраической дроби

Равны ли эти дроби при любых $a$ и $b$ ?

Умножаем на $x$ — проверяем, где $x \neq = 0$