Алгебраическая дробь · урок 2 из 15

Допустимые значения переменных

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-029

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 2/15, единица R04.2. Тип урока — Н.
Теория (14 мин): сл. 1–2, 5–7, 9–10, 12–13, 15 — проблема, определение, алгоритм, знаменатель-произведение, квадрат, несколько знаменателей, дробь равна нулю, формулы показываются полностью.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 3 · «вспомним» (сл. 4) 2 · «образец → сам» (сл. 8, 11, 14) 9 · «найдите ошибку» (сл. 16) 2 · устно (сл. 17) 2 · задания с самопроверкой и формат ОГЭ (сл. 18–19) 7 · задача из жизни (сл. 20) 2 · самостоятельная работа (сл. 21) 3 · рефлексия и ДЗ (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 5–6 сл. 18 и задачу сл. 20 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.
Предыдущий урок ALG8-028 «Алгебраическая дробь»: числитель, знаменатель, значение дроби. Следующий — ALG8-030 «Основное свойство алгебраической дроби».

R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить допустимые значения

«находить область определения рационального выражения» (вид деятельности ФРП)

Вычислять значение дроби

подставлять числа и видеть, когда выражение не имеет смысла (ПР-5, REQ-2.2)

Решать уравнение «знаменатель = 0»

линейное, вида $x^{2} = a$ , произведение $= 0$ (ПР-8, REQ-3.1)

Применять в формулах

$v = s : t$ , $I = U : R$ — что можно подставлять (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-5 / REQ-2.2: «выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями» — допустимые значения нужны для любого преобразования дробей (с ALG8-030).
ПР-8 / REQ-3.1: «решать линейные, квадратные уравнения…»; ПР-7 / REQ-2.4: «применять преобразования выражений для решения различных задач… из реальной практики».
Термин учебника — «допустимые значения переменной»; в ФРП — «область определения рационального выражения». На уроке это синонимы.

повторение: деление, уравнения 7 кл.

Разминка · устно

Восемь вопросов — без тетради

Вычислите

$0 : 7$ $0$
$7 : 0$ нельзя
$\frac{- 12}{- 3}$ $4$
$\frac{3}{x}$ при $x = - 6$ $- 0, 5$

Решите уравнение

$x - 4 = 0$ $x = 4$
$2 x + 10 = 0$ $x = - 5$
$x^{2} = 25$ $x = \pm 5$
$x (x - 3) = 0$ $x = 0$ или $3$

повторение: деление, ALG8-028

Вспомним

Деление проверяют умножением

Найдите значение $\frac{5}{x - 2}$

при $x = 7$
при $x = - 3$
при $x = 2$ ?

На нуль делить нельзя

R04.2

Проблема

Всегда ли у дроби есть значение?

R04.2

Определение

Допустимые значения переменных

Допустимые значения переменных — значения, при которых выражение имеет смысл.

R04.2

Алгоритм

Как найти допустимые значения дроби

R04.2

Образец → сам

Найдите допустимые значения по алгоритму

Образец

\frac{x}{3 x + 12}

①

3 x + 12 = 0

②

3 x = - 12, x = - 4

③

x \neq = - 4

проверка: $3 \cdot (- 4) + 12 = 0$ ✓

Сам

$\frac{4}{x + 9}$ $x \neq = - 9$
$\frac{x - 1}{5 x}$ $x \neq = 0$
$\frac{2}{4 x - 2}$ $x \neq = 0, 5$
$\frac{x + 6}{8}$ любое $x$

R04.2

Знаменатель — произведение

Каждый множитель знаменателя ≠ 0

R04.2

Знаменатель с квадратом

Два корня — или ни одного

\frac{x + 1}{x ^{2} - 9} x^{2} - 9 = 0

x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3

или

x = - 3

$x \neq = \pm 3$

\frac{7}{x ^{2} + 1} x^{2} + 1 = 0 ?

x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + 1 \geq 1

$x$ — любое число

R04.2

Образец → сам

Знаменатель — произведение или с квадратом

Образец

\frac{5}{x ^{2} - 6 x}

①

x (x - 6) = 0

②

x = 0

или

x = 6

③

x \neq = 0, x \neq = 6

сначала вынесли $x$ за скобки

Сам

$\frac{1}{( x - 2 ) ( x + 5 )}$ $x \neq = 2, x \neq = - 5$
$\frac{x}{x ^{2} - 49}$ $x \neq = \pm 7$
$\frac{3}{x ^{2} + 2 x}$ $x \neq = 0, x \neq = - 2$
$\frac{9}{x ^{2} + 16}$ любое $x$

R04.2

Несколько знаменателей

Каждый знаменатель ≠ 0

\frac{a + b}{a - b}

Две переменные: $a \neq = b$ (при $a = b$ знаменатель равен 0)

R04.2

Применение

Когда дробь равна нулю

R04.2

Образец → сам

При каких x дробь равна нулю?

Образец

\frac{x + 4}{x - 1} = 0

①

x + 4 = 0, x = - 4

②

- 4 - 1 = - 5 \neq = 0

✓

③

x = - 4

корень числителя проверяем знаменателем

Сам

$\frac{x - 6}{x + 3} = 0$ $x = 6$
$\frac{2 x + 8}{x} = 0$ $x = - 4$
$\frac{x ^{2} - 25}{x + 5} = 0$ $x = 5$
$\frac{x ( x - 1 )}{x - 1} = 0$ $x = 0$

R04.2

Дроби в формулах

Алгебра запрещает 0, смысл — ещё и минус

Формула	По алгебре	По смыслу
$v = \frac{s}{t}$	$t \neq = 0$	$t > 0$ (время)
$ρ = \frac{m}{V}$	$V \neq = 0$	$V > 0$ (объём)
$I = \frac{U}{R}$	$R \neq = 0$	$R > 0$ (сопротивл.)

v = 150 : 2, 4 = 62, 5

км/ч

R04.2

Найдите ошибку

Типичные ошибки

Выражение	Неверно	Верно	Почему
$\frac{x}{x + 3}$	$x \neq = 0$	$x \neq = - 3$	смотрим в знаменатель, а не в числитель
$\frac{x - 2}{5}$	$x \neq = 5$	любое $x$	знаменатель — число $5 \neq = 0$
$\frac{1}{x ^{2} + 4}$	$x \neq = \pm 2$	любое $x$	$x^{2} + 4 \geq 4$ , нулём не бывает
$\frac{1}{x ^{2} - x}$	$x \neq = 0$	$x \neq = 0, x \neq = 1$	$x^{2} - x = x (x - 1)$ — два множителя

R04.2

Закрепление · устно

Назовите допустимые значения

\frac{1}{x}

$x \neq = 0$

\frac{x + 4}{7}

любое $x$

\frac{2}{x + 8}

$x \neq = - 8$

\frac{x}{2 x - 6}

$x \neq = 3$

\frac{5}{x ^{2} + 9}

любое $x$

\frac{a + 1}{a ( a - 2 )}

$a \neq = 0, a \neq = 2$

R04.2

Задания с самопроверкой · письменно

Решите

базаДопустимые значения $\frac{2 x + 1}{x + 6}$
$x \neq = - 6$
базаКогда не имеет смысла $\frac{8}{x ( x - 9 )}$ ?
$x = 0$ и $x = 9$
повыш.Допустимые значения $\frac{y + 4}{y ^{2} - 16}$
$y \neq = \pm 4$

повыш.При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ равна 0?
$x = 3$
практикаНайдите $\frac{x - 1}{x + 2}$ при $x = 0, 5; - 2; - 0, 4$
$- 0, 2$ ; нет смысла; $- 0, 875$
ОГЭ, линия 12Мощность $P = \frac{U ^{2}}{R}$ . Найдите $R$ (в омах), если $P = 144$ Вт, $U = 48$ В. $16$

R04.2 · REQ-2.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Посложнее

повыш.Допустимые значения $\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 1}$ $x \neq = 3, x \neq = - 1$
повыш.При каких $a$ не имеет смысла $\frac{a}{a ^{2} - 5 a}$ ? $a = 0$ и $a = 5$
повыш.Допустимые значения $\frac{4}{x ^{2} - 3}$ $x \neq = \pm 3$
ОГЭ, линия 12Закон Ома: $I = \frac{U}{R}$ . Найдите $R$ (в омах), если $I = 5$ А, $U = 110$ В. $22$

R04.2 · REQ-2.4

Практика · из жизни

Сколько часов ехать автобусу?

Найдите $t$ при $v = 60$ и $v = 72$ км/ч. $3$ ч и $2, 5$ ч
При каком $v$ формула не имеет смысла? $v = 0$
Какие $v$ допустимы по смыслу задачи? $v > 0$
С какой скоростью доехать за 2 ч 15 мин? $80$ км/ч

R04.2

Самостоятельная работа

Два варианта · 3 минуты

Вариант 1

$\frac{x + 1}{x - 8}$ $x \neq = 8$
$\frac{3}{x ^{2} + 5 x}$ $x \neq = 0, x \neq = - 5$
$\frac{x}{x ^{2} - 81}$ $x \neq = \pm 9$
$\frac{x ^{2} - 36}{x - 6} = 0$ $x = - 6$

Вариант 2

$\frac{x - 3}{x + 10}$ $x \neq = - 10$
$\frac{4}{x ^{2} - 7 x}$ $x \neq = 0, x \neq = 7$
$\frac{x}{x ^{2} - 64}$ $x \neq = \pm 8$
$\frac{x ^{2} - 16}{x + 4} = 0$ $x = 4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое допустимые значения переменной?
Почему числитель не влияет на них?
Какие выражения имеют смысл при любых $x$ ?

Домашнее задание

Допустимые значения:
$\frac{3 x - 1}{2 x - 8} \frac{5}{x ^{2} + 4} \frac{x}{x ^{2} - 25}$
При каких $x$ $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 0$ ?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-029 · Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 2/15 · тип Н
Единицы → слайды	R04.2 «Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения» → 2, 3, 5–22 · опора: R04.1 (ALG8-028) → 3, 4, 6; R01.6 (x² = a) → 3, 10, 11, 13, 14
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 → 5–14, 16–19, 21 · ПР-8 / REQ-3.1 (решение уравнения «знаменатель = 0») → 3, 7–11, 13, 14, 19, 21 · ПР-7 / REQ-2.4 (формулы из практики) → 15, 18–20 · вид деятельности «Находить область определения рационального выражения. Выполнять числовые подстановки…» → 3–12, 15–21
ОГЭ	задание 6 слайда 18 и задание 4 слайда 19 — линия 12 (расчёты по формулам)
Вне урока	основное свойство дроби — ALG8-030; сокращение — ALG8-031; действия с дробями — ALG8-032; дробно-рациональные уравнения — R05.6 (сл. 13–14 — только подготовка); общая формула корней квадратного уравнения — R05.3
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1–2, 5–7, 9–10, 12–13, 15) · практика 31 мин (сл. 3–4, 8, 11, 14, 16–22) · 69 % практики
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending