Алгебраическая дробь · урок 1 из 15

Алгебраическая дробь

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · ALG8-028

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» (15 ч), урок 1/15, единица R04.1 «Алгебраическая дробь». Тип урока — Н.
Теория (13 мин): сл. 1–2, 5–6, 8, 10, 12–15 — проблема, определение, целые и дробные выражения, значение дроби, таблица 12 : x, калькулятор, дроби в задачах и формулах показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 3 · «вспомним» устно (сл. 4) 2 · «образец → сам» (сл. 7, 11, 16) 7 · «целое или дробное?» (сл. 9) 2 · «найдите ошибку» (сл. 17) 2 · закрепление, задачи и формат ОГЭ (сл. 18–20) 9 · задача из жизни (сл. 21) 2 · самостоятельная работа (сл. 22) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 23) 1.
Если не успеваете: задание 4 сл. 18 и задачу сл. 21 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.
Допустимые значения переменных подробно — следующий урок (ALG8-029); здесь только наблюдение «на 0 делить нельзя».

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать

алгебраическую дробь: числитель и знаменатель — многочлены

Различать

целые и дробные выражения

Вычислять

значение дроби подстановкой, в том числе на калькуляторе

Записывать

условие задачи и формулу в виде дроби

1 мин · теория
ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями» — сегодня первый шаг: понятие алгебраической дроби и рационального выражения.
ПР-7 (REQ-2.4): «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики» — сл. 14–16, 19–21.
Виды деятельности ФРП (R04): «Записывать алгебраические выражения. … Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби, в том числе с помощью калькулятора. … Выражать переменные из формул».

повторение: 7 класс

Разминка · устно

Восемь вопросов — без тетради

Вычислите

$\frac{18}{- 3}$ $- 6$
$(- 4)^{2}$ $16$
$- 4^{2}$ $- 16$
$0 : 7$ $0$

Ответьте

$3 a^{2} b - 2$ — многочлен? да
$5 - 2 x$ при $x = - 3$ $11$
$a^{2} + 2 a$ при $a = - 2$ $0$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ $\frac{5}{6}$

повторение

Вспомним

Дробь — это деление

Устно

$\frac{7}{20} = ?$ (десятичной)
$2 x + 1$ при $x = 3$
$x^{2} - 4$ при $x = - 2$
$\frac{6}{0} = ?$

R04.1

Проблема

Сколько времени идёт катер?

По озеру:

t = \frac{24}{v}

Против течения:

t = \frac{24}{v - 2}

Делим на выражение с переменной. Это уже не многочлен. Как называется такое выражение?

R04.1

Определение

Что такое алгебраическая дробь

\frac{P}{Q}

Алгебраическая дробь: $P$ и $Q$ — многочлены

\frac{24}{v - 2}, \frac{a + b}{a - b}, \frac{x ^{2} - 1}{x + 3}

R04.1

Образец → сам

Запишите частное дробью

Образец

$(a + 5) : (a - 1)$

① числитель:

a + 5

② знаменатель:

a - 1

③

\frac{a + 5}{a - 1}

Сам: запишите дробью

$(x - 7) : y$ $\frac{x - 7}{y}$
$4 : (b + 3)$ $\frac{4}{b + 3}$
$(m^{2} - 1) : (2 m)$ $\frac{m ^{2} - 1}{2 m}$
сумма $a$ и $b$ , делённая
на их разность $\frac{a + b}{a - b}$

R04.1

Классификация

Целые и дробные выражения

2 мин · теория
Рациональное выражение — составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.
Деление на число (x : 4 = x/4) выражение целым оставляет: это то же, что умножить на 1/4.
Алгебраическая дробь — дробное выражение простейшего вида. Дальше в строке R04 научимся любое дробное выражение приводить к одной дроби.
Деление здесь записано знаком «:», чтобы было видно, на что делим; в тетради — чертой дроби.

R04.1

Проверь себя

Целое или дробное?

Выражение	Делим на…	Вид
$\frac{m + 2}{5}$	число 5	целое
$\frac{5}{m + 2}$	$m + 2$	дробное
$x^{2} - \frac{x}{3} + 1$	число 3	целое
$\frac{4}{x} + x$	$x$	дробное

Смотрим только на знаменатель: есть в нём переменная — выражение дробное.

R04.1

Значение дроби

Подставляем число — получаем число

\frac{x ^{2} - 1}{x + 3}

x = 2 : \frac{2 ^{2} - 1}{2 + 3} = \frac{3}{5} = 0, 6

x = - 1 : \frac{( - 1 ) ^{2} - 1}{- 1 + 3} = \frac{0}{2} = 0

R04.1

Образец → сам

Найдите значение дроби

Образец

$\frac{2 x + 4}{x - 3}$ при $x = - 1$

①

2 \cdot (- 1) + 4 = 2

②

- 1 - 3 = - 4

③

2 : (- 4) = - 0, 5

Сам

$\frac{x + 6}{x - 2}$ при $x = 4$ $5$
$\frac{5 x}{x + 3}$ при $x = - 1$ $- 2, 5$
$\frac{a ^{2} + 1}{a - 1}$ при $a = - 2$ $- \frac{5}{3}$
$\frac{3 - y}{y ^{2}}$ при $y = 3$ $0$

R04.1

Наблюдаем

Значения дроби 12 : x

$x$	−4	−2	1	2	3	4	6	0
$\frac{12}{x}$	−3	−6	12	6	4	3	2	нет

Каждому

x \neq = 0

— одно число: значение дроби.

x = 0

: делить на нуль нельзя — дробь не имеет смысла.

R04.1

Калькулятор

Черта дроби = скобки

\frac{x ^{2} + 1}{2 x} при x = 1, 6

\frac{2 , 56 + 1}{3 , 2} = \frac{3 , 56}{3 , 2} = 1, 1125

Без скобок калькулятор посчитает

1, 6^{2} + 1 : 2 \cdot 1, 6 = 3, 36

— неверно

R04.1

Дроби вокруг нас

Записываем условие дробью

Прямоугольник

площадь 36 см $^{2}$ , одна сторона $x$ см

? = \frac{36}{x}

Покупка

за $n$ тетрадей заплатили 120 руб.

цена = \frac{120}{n}

Бассейн

время наполнения

t = \frac{600}{x}

R04.1

Формулы

Выражаем переменную — получаем дробь

S = v t

t = \frac{S}{v}, v = \frac{S}{t}

m = ρ V \Rightarrow V = \frac{m}{ρ}

S = 150

км,

v = 60

км/ч:

t = \frac{150}{60} = 2, 5

ч

R04.1 · REQ-2.4

Образец → сам

Выразите переменную из формулы

Образец

$A = Nt$ — работа; выразите $t$

① делим обе части на

N

②

t = \frac{A}{N}

③

A = 1200, N = 40 : t = 30

Сам

$F = ma$ , выразите $m$ $m = \frac{F}{a}$
$V = ab c$ , выразите $c$ $c = \frac{V}{ab}$
$C = 2 π r$ , выразите $r$ $r = \frac{C}{2 π}$
$I = \frac{U}{R}$ , выразите $R$ $R = \frac{U}{I}$

R04.1

Найдите ошибку

Три частые ошибки

Задание	Неверно	Верно	Ошибка
$\frac{x ^{2} + 1}{x - 1}, x = - 3$	$\frac{- 9 + 1}{- 4} = 2$	$\frac{9 + 1}{- 4} = - 2, 5$	$(- 3)^{2} = 9$
$\frac{x + 3}{3}$	= x	так нельзя	$x = 3 : 6 : 3 = 2 \neq = 3$
$\frac{5}{x - 2}, x = 2$	= 0	не имеет смысла	знаменатель 0

Отрицательное число — в скобки. Слагаемые «зачёркивать» нельзя.

R04.1

Закрепление

Найдите значение дроби

база $\frac{3 x - 1}{x + 2}$ при $x = 1$ ; $x = - 1$
база $\frac{a ^{2} - 4}{a + 1}$ при $a = 3$ ; $a = - 3$
повыш. $\frac{2 a - b}{a + b}$ при $a = 0, 5$ ; $b = - 2$
повыш.При каком $x$ дробь $\frac{x - 5}{x + 1}$ равна 0?

R04.1

Практика

Дроби в задачах

5. практика

Катер прошёл 30 км по течению. Время — дробью? Найдите его при $v = 13$ .

6. ОГЭ, линия 12

$P = \frac{U ^{2}}{R}$ — мощность тока (Вт). Найдите $P$ при $U = 12$ В, $R = 6$ Ом.

R04.1 · REQ-2.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Посложнее

калькулятор $\frac{x ^{2} + 1}{x + 1}$ при $x = 1, 5$ $1, 3$
повыш.При каком $a$ дробь $\frac{2 a - 6}{a + 4}$ равна нулю? $a = 3$
повыш.При каком $x$ дробь $\frac{x + 1}{x - 5}$ не имеет смысла? $x = 5$
повыш. $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x + 2 y}$ при $x = 3$ , $y = - 1$ $8$
ОГЭ, линия 12 $a = \frac{v ^{2}}{R}$ . Найдите $R$ при $v = 6$ , $a = 4$ $9$

R04.1 · REQ-2.4

Практика · из жизни

Подарок вскладчину

Подарок стоит 3600 руб., его оплачивают поровну $n$ друзей. Сколько платит каждый? Сколько — если присоединятся ещё двое? Сравните при $n = 10$ .

каждый:

\frac{3600}{n}

руб.

ещё двое:

\frac{3600}{n + 2}

руб.

n = 10 : 360

и

300

руб.

каждый сэкономит 60 руб.

R04.1

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

Целое или дробное: $\frac{x}{7} - 2$ ? целое
$\frac{2 x - 1}{x + 3}$ при $x = 2$ $0, 6$
$\frac{a ^{2}}{a - 4}$ при $a = - 4$ $- 2$
При каком $x$ дробь $\frac{x - 4}{x + 2}$ равна 0? $x = 4$

Вариант 2

Целое или дробное: $\frac{7}{x} - 2$ ? дробное
$\frac{3 x + 1}{x - 1}$ при $x = 3$ $5$
$\frac{b ^{2}}{b + 2}$ при $b = - 6$ $- 9$
При каком $x$ дробь $\frac{x + 3}{x - 1}$ равна 0? $x = - 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое алгебраическая дробь?
Чем дробное выражение отличается от целого?
Когда у дроби нет значения?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} - 9}{x + 1}$ при $x = 4$ и $x = - 2$
Из $S = ab$ выразите $a$ ; найдите $a$ при $S = 48$ , $b = 6$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-028 · Алгебраическая дробь

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь», 15 ч · урок 1/15 · тип Н
Единицы → слайды	R04.1 «Алгебраическая дробь» → 2, 5–23 · опора на обыкновенные дроби и многочлены (повторение) → 3, 4
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (рациональные выражения, алгебраические дроби) → 2, 6–12, 17, 18, 20, 22 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение в задачах) → 2, 5, 14–16, 19–21 · виды деятельности R04: записывать алгебраические выражения → 5, 7, 14, 19, 21; числовые подстановки и значение дроби, в том числе с калькулятором → 10–13, 18, 20, 22; выражать переменные из формул → 15, 16, 20, 23
ОГЭ	задание 6 слайда 19 и задание 5 слайда 20 — линия 12 (расчёт по формуле)
Вне урока	допустимые значения переменных — ALG8-029 (R04.2) · основное свойство дроби — ALG8-030 (R04.3) · сокращение дробей — ALG8-031 (R04.4) · действия с дробями — R04.5 · функция y = k/x — строка R09
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1–2, 5–6, 8, 10, 12–15) · практика 32 мин (сл. 3–4, 7, 9, 11, 16–23) · 71 % практики
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending