Квадратный трёхчлен · урок 5 из 5 · итоговый практикум

Практикум: квадратный трёхчлен

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · ALG8-027

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен» (5 ч), урок 5/5, единица R03.1 «Квадратный трехчлен». Тип урока — П (практикум), завершает строку. Опирается на ALG8-023 (определение, D, полный квадрат), ALG8-024/026 (разложение) и ALG8-025 (четыре базовых типа). Сегодня — новые, более сложные типы: параметр, знак трёхчлена при любом x, иррациональные корни, задача на наибольшую площадь.
Теория (13 мин): титул и цели (сл. 1–2) 2 · карта темы (сл. 4) 2 · образцы четырёх типов, которые разбирает учитель: параметр (сл. 5) 2, знак при любом x (сл. 7) 2, вынесение минуса (сл. 8, левая часть) 1, корни с √ (сл. 9) 2, наибольшая площадь (сл. 11) 2. Все образцы показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка устно (сл. 3) 3 · «найдите параметр» (сл. 6) 3 · «ваша очередь» тип 2 (сл. 8, справа) 3 · «сами» тип 3 (сл. 9) 1 и корни с √ (сл. 10) 3 · задачи из жизни (сл. 12) 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · ОГЭ, линия 12 (сл. 14–15) 3 · задания с самопроверкой (сл. 16–17) 6 · самостоятельная работа (сл. 18) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4 на сл. 10 и 12 и задания 4–5 на сл. 17 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать задачи с параметром

при каком c у x² + 4x + c один корень (ПР-6, REQ-2.3; ПР-9, REQ-3.2)

Доказывать знак трёхчлена

x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 > 0 (ПР-5, REQ-2.2)

Находить корни с

$x^{2} - 2 x - 1$ : $x = 1 \pm 2$ (ПР-5, REQ-2.2; ПР-2, REQ-1.2)

Применять в задачах

наибольшая площадь, расчёт по формуле (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-n — номер предметного результата 8 класса по порядку ФРП. ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями»; ПР-6 (REQ-2.3): «Раскладывать квадратный трехчлен на множители» — в части «устанавливать возможность разложения»; ПР-7 (REQ-2.4): «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики»; ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования… (устанавливать, имеет ли… решения, если имеет, то сколько)»; ПР-2 (REQ-1.2) — опора: квадратные корни.
Вид деятельности ФРП (строка R03): «Распознавать квадратный трехчлен, устанавливать возможность его разложения на множители».

повторение: R03.1 · R01

Разминка · устно

Восемь вопросов — без тетради

Квадрат и полный квадрат

$(x - 3)^{2}$ $x^{2} - 6 x + 9$
$(x + 5)^{2}$ $x^{2} + 10 x + 25$
$x^{2} + 8 x + □ = (\dots)^{2}$ $16$
$x^{2} - 12 x + □ = (\dots)^{2}$ $36$

Ответьте

$D$ для $x^{2} - 5 x + 6$ $1$
$8 = ?$ $22$
наименьшее: $(x - 4)^{2} + 7$ $7$ при $x = 4$
может ли $- (x + 1)^{2}$ быть $> 0$ ? нет, всегда $\leq 0$

повторение: R03.1, R03.2

Разминка · карта темы

Всё о трёхчлене — на одной схеме

Устно: знак D?

x² + 2x + 5
x² − 10x + 25
2x² + x − 3

Ответы: −16, 0, 25

2 мин · теория (сводка правил строки; три устных вопроса справа — по ходу)
Схема — итог всей строки R03: слева «через дискриминант», справа «через полный квадрат». Сначала задать устные вопросы, затем открыть ветки схемы шагами.
Ответы: 1) D = 4 − 20 = −16 < 0 — корней нет; 2) D = 100 − 100 = 0 — один корень, x² − 10x + 25 = (x − 5)²; 3) D = 1 + 24 = 25 > 0 — два корня (1 и −1,5).
Вопрос: «Что общего у 2 и у D = 0?» (Трёхчлен — полный квадрат, n = 0.)
Типичная ошибка в 3: −4 · 2 · (−3) = −24 (потерян знак). Правильно +24.

R03.1

Тип 1 · трёхчлен с параметром · образец

Сколько корней у x² + 4x + c — зависит от c

D = 4² − 4 · 1 · c

D = 16 − 4c

16 − 4c = 0 ⇔ c = 4

Число корней меняется там, где D = 0

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Параметр — буква, вместо которой подставляют число. Решаем один раз «для всех c сразу».
Шаги: записать D через c → найти «пограничное» c из D = 0 → по знаку D расставить области. При c < 4 число 16 − 4c положительно, при c > 4 — отрицательно.
Проверка числами (нижний ряд): c = 3: x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3), корни −1 и −3; c = 4: (x + 2)², корень −2; c = 5: D = 16 − 20 = −4.
Вопрос: «При каких c трёхчлен можно разложить на множители?» (c ≤ 4.)

R03.1

Тип 1 · ваша очередь

Найдите параметр

базаПри каком c у x² − 8x + c ровно один корень?
базаПри каких c у x² + 6x + c нет корней?
повыш.При каких b у x² + bx + 9 ровно один корень?
повыш.При каком a у ax² − 4x + 1 ровно один корень?

R03.1

Тип 2 · знак трёхчлена при любом x · образец

Докажите: x² − 6x + 10 > 0 при любом x

x² − 6x + 9 − 9 + 10

= (x − 3)² + 1

(x − 3)² ≥ 0 ⇒ сумма ≥ 1 > 0

Проверка через D:
a = 1 > 0, D = 36 − 40 = −4 < 0

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Идея: выделяем полный квадрат, потому что квадрат никогда не бывает отрицательным. Прибавили и вычли 9 = (6 : 2)² — значение выражения не изменилось.
На рисунке: все значения (x − 3)² лежат на луче от 0 вправо; прибавляя 1, сдвигаем весь луч на 1 вправо — до отрицательных чисел он не достаёт. Наименьшее значение 1 при x = 3.
Второй способ (callout): старший коэффициент положителен, корней нет (D < 0) — значит, трёхчлен всегда одного знака, и при x = 0 он равен 10 > 0.
Вопрос: «Что изменится, если вместо +10 будет +9?» (x² − 6x + 9 = (x − 3)² ≥ 0 — уже не «> 0»: при x = 3 значение 0.)

R03.1

Тип 2 · если a < 0

Выносим минус — и снова полный квадрат

−x² + 4x − 5

= −(x² − 4x + 4) + 4 − 5

= −(x − 2)² − 1 ≤ −1 < 0

−(квадрат) ≤ 0

Ваша очередь

докажите: x² + 2x + 3 > 0
докажите: −x² + 6x − 10 < 0
наибольшее значение: −x² + 6x − 4
может ли быть равно 2: x² − 4x + 7?

4 мин: 1 мин · теория (образец слева разбирает учитель) + 3 мин · практика (задания «Ваша очередь» — в тетрадях)
Образец: при a < 0 выносим «−» за скобки у членов с x, внутри достраиваем квадрат. Чтобы выражение не изменилось, за скобкой компенсируем: −(… + 4) даёт −4, значит, прибавляем +4. Проверка: −(x − 2)² − 1 = −x² + 4x − 4 − 1 = −x² + 4x − 5. ✓
Ответы: 1) (x + 1)² + 2 ≥ 2 > 0. 2) −(x − 3)² − 1 ≤ −1 < 0 (проверка: −x² + 6x − 9 − 1). 3) −(x − 3)² + 5: наибольшее 5 при x = 3 (−9 + 18 − 4 = 5). 4) (x − 2)² + 3 ≥ 3, значит, 2 — нет.
Типичная ошибка: −(x − 2)² − 4 − 5, то есть компенсация с неверным знаком. Лечится проверкой раскрытием скобок.

R03.1 · опора R01

Тип 3 · корни с квадратным корнем

Корни x² − 2x − 1: D = 8 — «некрасивое» число

(x - 1)^{2} - 2 = 0

(x - 1)^{2} = 2

x - 1 = 2

или

x - 1 = - 2

x = 1 \pm 2

Сами: корни x² − 4x + 1

3 мин: 2 мин · теория (образец) + 1 мин · практика («Сами» — дальше тренировка на сл. 10)
D = 4 + 4 = 8 > 0 — корней два, но √8 не целое. Выделение полного квадрата сразу даёт точный ответ.
Проверка подстановкой (устно с классом): (1 + √2)² − 2(1 + √2) − 1 = 1 + 2√2 + 2 − 2 − 2√2 − 1 = 0. ✓
Ответ «сами»: (x − 2)² − 3 = 0, x = 2 ± √3 (≈ 0,27 и ≈ 3,73); D = 16 − 4 = 12.
Типичная ошибка: из (x − 1)² = 2 записать только x − 1 = √2 и потерять второй корень. Ответ оставляем в виде 1 ± √2, приближения — только для рисунка.

R03.1 · опора R01

Тип 3 · ваша очередь

Выделите полный квадрат и найдите корни

база $x^{2} - 6 x + 4$ $x = 3 \pm 5$
база $x^{2} + 2 x - 2$ $x = - 1 \pm 3$
база $x^{2} - 10 x + 18$ $x = 5 \pm 7$
повыш. $x^{2} + 4 x - 1$ $x = - 2 \pm 5$

R03.1 · ПР-7

Тип 4 · практическая задача

Сетка 40 м, участок у стены. Наибольшая площадь?

= −2(x² − 20x)

= −2((x − 10)² − 100)

= −2(x − 10)² + 200

Наибольшая площадь 200 м²
при x = 10: участок 10 м × 20 м

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Сначала спросить: «Сколько сторон огораживаем?» (Три: две по x и одна 40 − 2x; вдоль стены сетка не нужна.)
Столбики — площади при разных x: 5 · 30 = 150, 8 · 24 = 192, 10 · 20 = 200, 12 · 16 = 192, 15 · 10 = 150. Видно, что максимум посередине и значения симметричны — как корни в типе 3.
Преобразование: −2(x − 10)² ≤ 0, поэтому S ≤ 200, и S = 200 при x = 10. Проверка: −2(x² − 20x + 100) + 200 = −2x² + 40x. ✓
Ограничение по смыслу: 0 < x < 20. Типичная ошибка — считать, что «лучше квадрат» (x = 40 : 3 ≈ 13,3 даёт 13,3 · 13,3 ≈ 178 < 200).

R03.1 · ПР-7

Тип 4 · задачи из жизни

Наибольшее и наименьшее — через полный квадрат

базаПериметр прямоугольника 24 м. Какая наибольшая площадь? $36$ м², квадрат $6 \times 6$
практикаСетка 24 м, участок у стены (рисунок). Наибольшая площадь? $72$ м², участок $6 \times 12$
практикаМяч: $h = 20 t - 5 t^{2}$ . Наибольшая высота? $20$ м при $t = 2$ с
повыш.Разность двух чисел 8. Наименьшее произведение? $- 16$ : числа $- 4$ и $4$

3 мин · практика
Ответы (по клику): 1) стороны x и 12 − x, S = x(12 − x) = −x² + 12x = −(x − 6)² + 36 — наибольшая 36 м² при x = 6 (квадрат 6 × 6). 2) S = x(24 − 2x) = −2x² + 24x = −2(x² − 12x) = −2(x − 6)² + 72 — 72 м² при x = 6: участок 6 м × 12 м (проверка: 6 · 12 = 72). 3) h = −5(t² − 4t) = −5(t − 2)² + 20 — 20 м при t = 2 (проверка: 40 − 20 = 20). 4) числа x и x + 8: x(x + 8) = x² + 8x = (x + 4)² − 16 — наименьшее −16 при x = −4 (числа −4 и 4).
Формулу в задании 2 на рисунке открыть кликом после того, как класс составит её сам. В 4 обсудить: у трёхчлена с a > 0 есть наименьшее значение, наибольшего нет.

R03.1

Найди ошибку

Пять ошибок итогового практикума

Задание	Неверно	Верно
x² − 6x + 10	(x − 3)² + 10	(x − 3)² + 1
D для x² + 4x + c	16 + 4c	16 − 4c
−x² + 6x − 4	−(x − 3)² − 4	−(x − 3)² + 5
$(x - 2)^{2} = 3$	$x = 2 + 3$	$x = 2 \pm 3$
x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3	наибольшее 3	наименьшее 3

R03.1 · ПР-7

Формат ОГЭ · линия 12

Расчёт по формуле с квадратным трёхчленом

Задание 12

Высоту (в метрах), на которой находится брошенный вверх мяч, можно вычислить по формуле h = 1,2 + 11t − 5t², где t — время в секундах. Найдите высоту мяча через 2 секунды. Ответ дайте в метрах.

h = 1,2 + 11 · 2 − 5 · 2² = 3,2

1 мин · практика
Линия 12 ОГЭ по математике — «расчёт по формуле»: подставить и аккуратно посчитать, ответ — число (десятичную дробь пишем с запятой).
Ответ: 3,2. Порядок действий: сначала степень 2² = 4, затем умножения 22 и 20, потом 1,2 + 22 − 20 = 3,2.
Рисунок: при t = 0 h = 1,2; при t = 1 h = 1,2 + 11 − 5 = 7,2; при t = 2 h = 3,2 — мяч уже падает.
Типичная ошибка: 5 · 2² = 10² = 100 (возведение в квадрат произведения). Для сильных: через сколько секунд мяч снова на высоте 1,2 м? 11t − 5t² = 0, t(11 − 5t) = 0, t = 2,2 с.

R03.1 · ПР-7

Формат ОГЭ · линия 12 · ваша очередь

Подставьте и вычислите

Высота мяча $h = 1, 6 + 8 t - 5 t^{2}$ (м), $t$ в секундах. Найдите $h$ при $t = 1$ . $4, 6$
Путь при разгоне $s = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ . Найдите $s$ (м) при $v_{0} = 3$ м/с, $a = 4$ м/с², $t = 5$ с. $65$
Высота камня $h = 2 + 12 t - 5 t^{2}$ (м). Найдите $h$ при $t = 2$ . $6$
Тормозной путь $s = 0, 2 v + 0, 005 v^{2}$ (м), $v$ в км/ч. Найдите $s$ при $v = 60$ . $30$

R03.1

Задания с самопроверкой

Решите — ответ откроется по клику

База

число корней: $x^{2} - 6 x + 9$ $D = 0$ , один: $x = 3$
полный квадрат: $x^{2} - 8 x + 10$ $(x - 4)^{2} - 6$
наименьшее: $x^{2} + 6 x + 14$ $5$ при $x = - 3$

Повышенный уровень

$c$ , два корня: $x^{2} + 10 x + c$ $c < 25$
наибольшее: $- x^{2} - 4 x + 1$ $5$ при $x = - 2$
$b$ , один корень: $x^{2} + b x + 16$ $b = 8$ или $b = - 8$

R03.1

Закрепление

Решите

базаНайдите D и число корней: x² − 3x − 10 D = 49, два корня
базаВыделите полный квадрат: x² + 10x + 21 (x + 5)² − 4
повыш.При каких c у x² − 2x + c два корня? c < 1

повыш.Докажите: 4x² − 4x + 3 > 0 при любом x (2x − 1)² + 2 ≥ 2
практикаСумма двух чисел равна 14. Какое наибольшее значение может принимать их произведение? 49

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Итог темы: два варианта

Вариант 1

D, корней: 3x² − 5x + 2
наименьшее: x² + 4x + 9
c, один корень: x² + 12x + c
докажите > 0: x² − 2x + 4

Ответы: 2 корня · 5 · c = 36 · (x − 1)² + 3

Вариант 2

D, корней: 2x² + 3x + 4
наименьшее: x² − 8x + 20
c, один корень: x² − 10x + c
докажите > 0: x² + 6x + 11

Ответы: нет корней · 4 · c = 25 · (x + 3)² + 2

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти c, при котором корень один?
Как доказать, что трёхчлен положителен при любом x?
Где наибольшее значение −2(x − 10)² + 200?

Домашнее задание

При каких c у x² + 8x + c нет корней?
Докажите: −x² + 2x − 3 < 0
Сетка 60 м, участок у стены: наибольшая площадь?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-027 · Практикум: квадратный трёхчлен

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен», 5 ч · урок 5/5 · тип П (практикум); продолжение ALG8-025 · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R03.1 «Квадратный трехчлен» → 2–19 · R03.2 (возможность разложения по знаку D) → 4–6, 16 · опора: R01 (квадратные корни) → 3, 9, 10
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования) → 3, 7–10, 13, 16–18 · ПР-6 / REQ-2.3 (возможность разложения) → 4, 5 · ПР-7 / REQ-2.4 (задачи) → 11, 12, 14, 15, 17 · ПР-9 / REQ-3.2 (сколько корней) → 4–6, 16 · ПР-2 / REQ-1.2 (корни) → 3, 9, 10
ОГЭ	линия 12 «расчёт по формуле» → 14, 15
Вне урока	формула корней квадратного уравнения, теорема Виета — строка R05; квадратичная функция и её график — 9 класс; алгебраические дроби — ALG8-028 (R04)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: квадратный трёхчлен

Сегодня вы научитесь

Решать задачи с параметром

Доказывать знак трёхчлена

Находить корни с ​

Применять в задачах

Восемь вопросов — без тетради

Квадрат и полный квадрат

Ответьте

Всё о трёхчлене — на одной схеме

Устно: знак D?

Сколько корней у x² + 4x + c — зависит от c

Найдите параметр

Докажите: x² − 6x + 10 > 0 при любом x

Выносим минус — и снова полный квадрат

Ваша очередь

Корни x² − 2x − 1: D = 8 — «некрасивое» число

Выделите полный квадрат и найдите корни

Сетка 40 м, участок у стены. Наибольшая площадь?

Наибольшее и наименьшее — через полный квадрат

Пять ошибок итогового практикума

Расчёт по формуле с квадратным трёхчленом

Подставьте и вычислите

Решите — ответ откроется по клику

База

Повышенный уровень

Решите

Итог темы: два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-027 · Практикум: квадратный трёхчлен

Находить корни с