Квадратный трёхчлен · урок 4 из 5 · практикум

Практикум: разложение квадратного трёхчлена на множители

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · ALG8-026

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен» (5 ч), урок 4/5, единица R03.2 «Разложение квадратного трехчлена на множители». Тип урока — П (практикум). Продолжение ALG8-024: новые типы заданий, без повторного вывода формулы.
Теория (13 мин): сл. 1–2, 5 (карта способов), 6 (образец типа 1), 8 (короткие пути), 10 (трёхчлен по графику), 12 (сокращение дроби) — показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3–4) 5 · ваш ход по типам 1–3 (сл. 7, 9, 11) 9 · «образец → сам» с дробями (сл. 13) 3 · «найдите ошибку» (сл. 14) 2 · закрепление (сл. 15) 3 · самопроверка, повышенный уровень и ОГЭ (сл. 16) 3 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 2–3 сл. 11 и задачу сл. 17 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать способ

устанавливать возможность разложения и самый короткий путь (ФРП, виды деятельности R03)

Раскладывать

квадратный трёхчлен на множители, в том числе при a ≠ 1 (ПР-6, REQ-2.3)

Проверять

разложение умножением многочленов (ПР-5, REQ-2.2)

Применять

трёхчлен по корням и графику, сокращение дроби (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-6 (REQ-2.3): «Раскладывать квадратный трехчлен на множители» — главный результат.
ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями» — проверка раскрытием скобок.
ПР-7 (REQ-2.4): «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности R03: «устанавливать возможность его разложения на множители. Раскладывать на множители квадратный трехчлен с неотрицательным дискриминантом».

повторение: 7 класс · ALG8-023, ALG8-024

Разминка · устно

Восемь вопросов — без тетради

Найдите дискриминант

$x^{2} - 5 x + 6$ $1$
$2 x^{2} + 3 x - 2$ $25$
$x^{2} + 2 x + 5$ $- 16$
$x^{2} - 6 x + 9$ $0$

Ответьте

$(x - 4) (x + 4)$ $x^{2} - 16$
$(2 x - 1) (x + 3)$ $2 x^{2} + 5 x - 3$
общий множитель $3 x^{2} - 12 x$ $3 x$
корни $x (x - 5)$ $0$ и $5$

повторение: ALG8-024

Вспомним · устно

Корни ↔ множители

$x_{1} = 3, x_{2} = - 5$ → ?
Корни $2 (x + 3) (x - 1)$ ?
Сколько корней у $x^{2} - 6 x + 9$ ?

R03.2

Карта практикума

Как выбрать способ разложения

R03.2

Тип 1 · образец · a ≠ 1, дробные корни

Разложите: 6x² + x − 2

①

a = 6, b = 1, c = - 2

②

D = 1 + 48 = 49

③

x = \frac{- 1 \pm 7}{12}

;

x_{1} = \frac{1}{2}

,

x_{2} = - \frac{2}{3}

④

6 (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{2}{3})

R03.2

Тип 1 · проверка и задание

Проверяем «таблицей умножения» скобок

Ваш ход: разложите

3x² + 7x + 2
4x² − 4x − 3
10x² − x − 3 повыш.

проверьте себя таблицей: в сумме — исходный трёхчлен

3 мин · практика
Проверку таблицей показать за 30 секунд, затем ученики решают «Ваш ход» в тетрадях.
Таблица — то же умножение многочленов: каждый член первой скобки на каждый член второй. Подобные члены 4x и −3x дают x.
Ответы: 1) D = 49 − 24 = 25, x = (−7 ± 5)/6 → −⅓ и −2 → 3(x + ⅓)(x + 2) = (3x + 1)(x + 2); 2) D = 16 + 48 = 64, x = (4 ± 8)/8 → 1,5 и −0,5 → 4(x − 1,5)(x + 0,5) = (2x − 3)(2x + 1); 3) D = 1 + 120 = 121, x = (1 ± 11)/20 → 0,6 и −0,5 → 10(x − 0,6)(x + 0,5) = (5x − 3)(2x + 1).
Проверки: (3x + 1)(x + 2) = 3x² + 7x + 2; (2x − 3)(2x + 1) = 4x² − 4x − 3; (5x − 3)(2x + 1) = 10x² − x − 3.

R03.2

Тип 2 · короткий путь

Неполный трёхчлен и D = 0 — без формулы корней

c = 0: вынести x

3x² − 12x =

3x(x − 4)

b = 0: разность квадратов

4x² − 9 =

(2x − 3)(2x + 3)

D = 0: полный квадрат

x² − 10x + 25 =

(x − 5)²

x² + 9 — сумма квадратов: D = −36 < 0, не раскладывается

R03.2

Тип 2 · задание

Ваш ход: выберите способ и разложите

Трёхчлен	Способ	Разложение
5x² + 20x	вынести 5x	5x(x + 4)
16x² − 1	разность квадратов	(4x − 1)(4x + 1)
4x² + 12x + 9	D = 0, квадрат суммы	(2x + 3)²
2x² − 50	вынести 2, разность квадратов	2(x − 5)(x + 5)
x² + 16	D = −64 < 0	не раскладывается

R03.2

Тип 3 · обратная задача · образец

Трёхчлен по графику: корни −1 и 2, точка (0; −4)

① y = a(x + 1)(x − 2)

② x = 0: a · 1 · (−2) = −4

③ a = 2

y = 2x² − 2x − 4

Корни дают скобки, ещё одна точка — коэффициент a.

R03.2

Тип 3 · известен один корень

x = 3 — корень x² + bx − 12. Найдите b и разложите

①

3^{2} + 3 b - 12 = 0

→

b = 1

подставили корень

②

x^{2} + x - 12

: D = 49,

x = \frac{- 1 \pm 7}{2}

③

x_{2} = - 4

→

(x - 3) (x + 4)

Ваш ход

$x = - 2$ — корень $x^{2} + b x + 6$ . Найдите b, разложите.
Корни −3 и 1, график проходит через (0; 3). Запишите трёхчлен.
Трёхчлен с корнями $\frac{1}{2}$ и $- 3, a = 2$

R03.2

Тип 4 · применение · образец

Сократите дробь: разложить числитель и знаменатель

R03.2

Тип 4 · образец → сам

Сократите дробь

Образец

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}

= \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )}

= \frac{x - 2}{x + 3}

Сам

$\frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} + x - 6}$ $\frac{x}{x - 2}$
$\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 4 x + 3}$ $\frac{x - 1}{x + 3}$
$\frac{2 x ^{2} - x - 1}{x ^{2} - 1}$ $\frac{2 x + 1}{x + 1}$
повыш. $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{2 x ^{2} - 5 x - 3}$ $\frac{x - 3}{2 x + 1}$

3 мин · практика
Образец: x² − 5x + 6 — корни 2 и 3 (D = 1); x² − 9 = (x − 3)(x + 3); общий множитель x − 3.
Ответы (по клику): 1) x(x + 3) / ((x − 2)(x + 3)) = x/(x − 2) (у x² + x − 6: D = 25, корни 2 и −3); 2) (x − 1)(x + 1) / ((x + 1)(x + 3)) = (x − 1)/(x + 3) (у x² + 4x + 3: корни −1 и −3); 3) 2x² − x − 1: D = 9, x = (1 ± 3)/4 → 1 и −½ → (x − 1)(2x + 1); дробь = (2x + 1)/(x + 1); 4) числитель (x − 3)², знаменатель: D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4 → 3 и −½ → (x − 3)(2x + 1); дробь = (x − 3)/(2x + 1).
Ошибка: сокращать x² в числителе и знаменателе. Сокращаем только одинаковые множители-скобки.

R03.2

Найдите ошибку

Четыре неверных разложения

Трёхчлен	Неверно	Верно	Ошибка
6x² + x − 2	(x − ½)(x + ⅔)	(2x − 1)(3x + 2)	потеряли a = 6
−x² + 2x + 3	(x + 1)(x − 3)	−(x + 1)(x − 3)	потеряли a = −1
2x² − 8x	2(x − 4)	2x(x − 4)	потеряли x
x² + 4	(x − 2)(x + 2)	не раскладывается	D = −16 < 0

Проверка: раскройте скобки — получился исходный трёхчлен?

R03.2

Закрепление

Решите

базаРазложите $x^{2} - 3 x - 10$ $(x - 5) (x + 2)$
базаРазложите $3 x^{2} - 27$ $3 (x - 3) (x + 3)$
повыш.Разложите $5 x^{2} - 3 x - 2$ $(x - 1) (5 x + 2)$
повыш.Сократите $\frac{3 x ^{2} + 5 x - 2}{9 x ^{2} - 1}$ $\frac{x + 2}{3 x + 1}$

практикаПлощадь прямоугольника $x^{2} + 7 x + 12$ , одна сторона $x + 3$ . Найдите другую. $x + 4$
ОГЭ, линия 20Найдите значение выражения $\frac{3 x ^{2} - 10 x + 3}{x - 3}$ при $x = 33$ . 98

3 мин · практика
Ответы (по клику): 1) D = 9 + 40 = 49, корни 5 и −2 → (x − 5)(x + 2); 2) 3(x² − 9) = 3(x − 3)(x + 3); 3) D = 9 + 40 = 49, x = (3 ± 7)/10 → 1 и −0,4 → 5(x − 1)(x + 0,4) = (x − 1)(5x + 2).
4) Числитель: D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7)/6 → ⅓ и −2 → (3x − 1)(x + 2); знаменатель (3x − 1)(3x + 1); ответ (x + 2)/(3x + 1).
5) x² + 7x + 12: D = 49 − 48 = 1, корни −3 и −4 → (x + 3)(x + 4); другая сторона x + 4.
6) 3x² − 10x + 3: D = 100 − 36 = 64, x = (10 ± 8)/6 → 3 и ⅓ → (x − 3)(3x − 1); дробь = 3x − 1 при x ≠ 3; при x = 33: 98. Ответ: 98. Проверка подстановкой: (3267 − 330 + 3)/30 = 2940/30 = 98 ✓.

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и проверьте

повыш.Разложите: $- 2 x^{2} + 5 x + 3$
$- (x - 3) (2 x + 1)$
повыш.При каком $c$ трёхчлен $x^{2} - 8 x + c$ — полный квадрат? $c = 16$
повыш.Разложите: $9 x^{2} - 12 x + 4$ $(3 x - 2)^{2}$

ОГЭ, линия 20Найдите значение выражения
$\frac{x ^{2} - 4 x - 5}{x + 1}$ при $x = 2, 5$ $- 2, 5$
повыш.Сократите:
$\frac{2 x ^{2} + x - 1}{1 - 4 x ^{2}}$ $- \frac{x + 1}{2 x + 1}$
ОГЭ, линия 20Найдите значение выражения
$\frac{4 x ^{2} - 9}{2 x ^{2} - x - 3}$ при $x = 1$ $2, 5$

3 мин · практика
Ответы: 1) корни 2x² − 5x − 3: D = 49, x = (5 ± 7)/4 → 3 и −½; −2(x − 3)(x + ½) = −(x − 3)(2x + 1) = (3 − x)(2x + 1). 2) D = 64 − 4c = 0 → c = 16; x² − 8x + 16 = (x − 4)². 3) D = 144 − 144 = 0, x₀ = ⅔ → 9(x − ⅔)² = (3x − 2)².
4) x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1), дробь = x − 5 = −2,5 (проверка подстановкой: (6,25 − 10 − 5)/3,5 = −8,75/3,5 = −2,5 ✓). 5) 2x² + x − 1 = (2x − 1)(x + 1); 1 − 4x² = −(2x − 1)(2x + 1); дробь = −(x + 1)/(2x + 1). 6) 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3); 2x² − x − 3: D = 25, корни 1,5 и −1 → (2x − 3)(x + 1); дробь = (2x + 3)/(x + 1) = 5/2 = 2,5 (проверка: (4 − 9)/(2 − 1 − 3) = −5/(−2) = 2,5 ✓).
Работа в парах, ответы открывать по клику после каждого задания. Ошибка в 5): забыть, что 1 − 4x² = −(4x² − 1), и потерять минус.

R03.2

Практика · из жизни

Размеры участка по его площади

Площадь участка $2 x^{2} + 7 x + 3$ м², одна сторона $2 x + 1$ м. Найдите другую сторону и размеры участка при $x = 10$ .

D = 25

; корни

- \frac{1}{2}

и

- 3

2 x^{2} + 7 x + 3 = (2 x + 1) (x + 3)

другая сторона:

x + 3

x = 10

: 21 м и 13 м

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

$x^{2} + 4 x - 21$ $(x - 3) (x + 7)$
$2 x^{2} - 3 x - 5$ $(2 x - 5) (x + 1)$
$25 x^{2} - 4$ $(5 x - 2) (5 x + 2)$
Сократите $\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + x - 6}$ $\frac{x + 2}{x + 3}$

Вариант 2

$x^{2} - 2 x - 24$ $(x - 6) (x + 4)$
$3 x^{2} + x - 4$ $(x - 1) (3 x + 4)$
$36 x^{2} - 1$ $(6 x - 1) (6 x + 1)$
Сократите $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - x - 6}$ $\frac{x + 3}{x + 2}$

4 мин · практика
3 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику).
Вариант 1: 1) D = 16 + 84 = 100, корни 3 и −7 → (x − 3)(x + 7); 2) D = 9 + 40 = 49, x = (3 ± 7)/4 → 2,5 и −1 → (2x − 5)(x + 1); 3) (5x − 2)(5x + 2); 4) x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3), дробь = (x + 2)/(x + 3).
Вариант 2: 1) D = 4 + 96 = 100, корни 6 и −4 → (x − 6)(x + 4); 2) D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7)/6 → 1 и −4/3 → (x − 1)(3x + 4); 3) (6x − 1)(6x + 1); 4) x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), дробь = (x + 3)/(x + 2).
Критерий: «5» — 4 задания, «4» — 3, «3» — 2. Взаимопроверка — раскрытием скобок.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда не нужна формула корней?
Как убрать дроби из скобок?
Как по графику найти a?

Домашнее задание

Разложите: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ; $49 x^{2} - 16$ ; $x^{2} - 14 x + 49$
Сократите: $\frac{x ^{2} + 2 x - 15}{x ^{2} - 25}$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-026 · Практикум: разложение квадратного трехчлена на множители

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен», 5 ч · урок 4/5 · тип П
Единицы → слайды	R03.2 «Разложение квадратного трехчлена на множители» → 2, 3–19 · опора на ALG8-023, ALG8-024 → 3–4
Результаты	ПР-6 / REQ-2.3 (раскладывать квадратный трехчлен на множители) → 2–4, 6–9, 14–16, 18–19 · ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования: проверка умножением) → 3, 7, 14 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение преобразований) → 10–13, 15–17 · виды деятельности R03 (возможность разложения) → 3, 5, 8, 9, 16 · кодификатор EL-2.1 · хронометраж: теория 13 мин, практика 32 мин (71 %)
ОГЭ	задание 6 слайда 15, задания 4 и 6 слайда 16 — линия 20 (алгебраическое выражение)
Вне урока	практикум по R03.1 — ALG8-027 · допустимые значения и сокращение дробей — ALG8-029, ALG8-031 (R04) · теорема Виета — строка R05 · график y = x² — строка R09
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending