Квадратный трёхчлен · урок 3 из 5 · практикум

Практикум: квадратный трёхчлен

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · ALG8-025

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %). Итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен» (5 ч), урок 3/5, единица R03.1 «Квадратный трехчлен». Тип урока — П (практикум). Опирается на ALG8-023 (определение, коэффициенты, корни, дискриминант) и ALG8-024; разложение на множители отрабатывается на следующем уроке ALG8-026.
Теория (13,5 мин): титул и цели (сл. 1–2) 2 · опорная схема (сл. 5) 1 · разбор типа 1 (сл. 6) 1,5 · типа 2 (сл. 8) 1,5 · алгоритм D (сл. 10) 2 · три случая D (сл. 11) 1 · полный квадрат: площадь-модель (сл. 13) 2 · что даёт полный квадрат (сл. 14) 1,5 · график (сл. 16) 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3–4) 4,5 · тренировка с самопроверкой по четырём типам (сл. 7, 9, 12, 15) 9 · «найди ошибку» (сл. 17) 2,5 · закрепление (сл. 18) 4 · формат ОГЭ (сл. 19) 2,5 · задачи из жизни (сл. 20) 3 · самостоятельная работа (сл. 21) 4,5 · рефлексия и ДЗ (сл. 22) 1,5.
Если не успеваете: задания 5–6 на сл. 7, 9, 12, 15 и задачу 2 сл. 20 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать трёхчлен

записывать в виде ax² + bx + c, называть a, b, c (ПР-5, REQ-2.2)

Находить D и число корней

D = b² − 4ac — можно ли разложить (ПР-6, REQ-2.3)

Выделять полный квадрат

x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4 (ПР-5, REQ-2.2)

Применять в задачах

корни, наименьшее значение, площадь (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-n — номер предметного результата 8 класса по порядку ФРП. ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами…»; ПР-6 (REQ-2.3): «Раскладывать квадратный трехчлен на множители» — сегодня его первая часть: устанавливать, возможно ли разложение (по знаку D); ПР-7 (REQ-2.4): «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Вид деятельности ФРП (строка R03): «Распознавать квадратный трехчлен, устанавливать возможность его разложения на множители».

повторение: R03.1

Разминка

Какие выражения — квадратные трёхчлены?

a x^{2} + b x + c, a \neq = 0

Устно: раскройте скобки

(x + 5)² x² + 10x + 25
(x − 4)² x² − 8x + 16
(x − 1)(x + 3) x² + 2x − 3

повторение: 7 класс · ALG8-023

Разминка · устно

Восемь вычислений — без тетради

Посчитайте

$(- 3)^{2}$ $9$
$- 4 \cdot 2 \cdot (- 5)$ $40$
$7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12$ $1$
$(\frac{- 10}{2})^{2}$ $25$

Ответьте

$x^{2} - x$ при $x = - 1$ $2$
Решите $x^{2} = 16$ $x = \pm 4$
Наименьшее значение $(x - 3)^{2}$ $0$ при $x = 3$
Знак $D$ , если $D = - 8$ : сколько корней? корней нет

R03.1

Опорная схема практикума

Четыре типа заданий на одном трёхчлене

R03.1

Тип 1 · стандартный вид и коэффициенты

Сначала упорядочить по степеням, потом читать a, b, c

Ваша очередь: a, b, c?

3x − x² + 10
(2x + 1)(x − 3)
6x² − 5x

1,5 мин · теория (учитель разбирает образец; «Ваша очередь» — устно, входит в эти 1,5 мин)
Последний шаг: произведение двучленов — тоже квадратный трёхчлен, но a, b, c видны только после раскрытия скобок: x² + 5x − 2x − 10 = x² + 3x − 10, a = 1, b = 3, c = −10.
Ответы: 1) −x² + 3x + 10: a = −1, b = 3, c = 10; 2) 2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3: a = 2, b = −5, c = −3; 3) a = 6, b = −5, c = 0.
Ошибки: брать a как «первое число в записи» (a = 7 в 7 − 3x + 2x²); терять знак минус у b; в задании 3 говорить «c нет» вместо c = 0.

R03.1

Тренировка с самопроверкой · тип 1

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c$ и назовите $a, b, c$

база $5 - x^{2}$ $a = - 1, b = 0, c = 5$
база $x (3 - 2 x) + 1$ $a = - 2, b = 3, c = 1$
база $(x - 4)^{2}$ $a = 1, b = - 8, c = 16$

база $(2 x - 1) (3 - x)$ $a = - 2, b = 7, c = - 3$
повыш.Запишите трёхчлен с $a = 3, b = 0, c = - 2$ $3 x^{2} - 2$
повыш.Квадратный ли трёхчлен $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2}$ ? нет: это $4 x$ , $a = 0$

R03.1

Тип 2 · значение трёхчлена и корень

Корень — значение x, при котором трёхчлен равен нулю

x = 2: 2² − 6 · 2 + 5 = −3

x = 1: 1 − 6 + 5 = 0

Корень или нет?

x = 3; x² − 2x − 3
x = −2; 2x² + 3x − 2
x = 4; x² − 5x + 6

1,5 мин · теория (учитель разбирает образец; «Корень или нет?» — устно, входит в эти 1,5 мин)
Столбики — значения трёхчлена x² − 6x + 5 при x = 0, 1, …, 6: 5; 0; −3; −4; −3; 0; 5. Сначала класс считает значения при x = 0, 1, 2, 3, затем открыть правую половину и спросить: «Что заметили?» (симметрия относительно x = 3).
Ответы: 1) 9 − 6 − 3 = 0 — корень; 2) 2 · 4 − 6 − 2 = 0 — корень; 3) 16 − 20 + 6 = 2 ≠ 0 — не корень.
Ошибка при отрицательном x: (−2)² считают как −4. Дополнительный вопрос: значение x² − 6x + 5 при x = −1 (1 + 6 + 5 = 12).

R03.1

Тренировка с самопроверкой · тип 2

Значение трёхчлена и проверка корня

база $x^{2} - 4 x + 1$ при $x = - 1$ $6$
база $2 x^{2} - x - 3$ при $x = - 2$ $7$
базаКорень ли $x = 5$ для $x^{2} - 7 x + 10$ ? да

базаКорень ли $x = - 1$ для $3 x^{2} + 2 x - 1$ ? да
повыш.При каком $c$ число $2$ — корень $x^{2} + 3 x + c$ ? $c = - 10$
повыш. $x^{2} - 5 x + 6$ при $x = 0, 5$ $3, 75$

R03.1, R03.2

Тип 3 · дискриминант

Знак D решает, сколько корней у трёхчлена

R03.1

Тип 3 · считаем D

Три трёхчлена — три случая

Ваша очередь: D, корней?

x² + 2x − 15
4x² − 12x + 9
x² − x + 1
−2x² + x + 1

R03.1, R03.2

Тренировка с самопроверкой · тип 3

Найдите $D$ и число корней

база $x^{2} - 5 x + 4$ $D = 9$ , два
база $9 x^{2} + 6 x + 1$ $D = 0$ , один
база $2 x^{2} - 3 x + 4$ $D = - 23$ , нет

база $- x^{2} + 4 x - 5$ $D = - 4$ , нет
повыш.При каком $c$ у $x^{2} + 8 x + c$ ровно один корень? $c = 16$
повыш.Не вычисляя $D$ : сколько корней у $3 x^{2} + 5 x - 7$ ? два: $a$ и $c$ разных знаков

2,5 мин · практика (сначала 30 с — задания «Ваша очередь» со сл. 11 устно по ответам ниже, затем эти шесть)
Ответы сл. 11: x² + 2x − 15: 4 + 60 = 64, два; 4x² − 12x + 9: 144 − 144 = 0, один; x² − x + 1: 1 − 4 = −3, нет; −2x² + x + 1: 1 + 8 = 9, два.
Ответы (по клику): 1) 25 − 16 = 9 > 0 — два корня (1 и 4); 2) 36 − 36 = 0 — один, (3x + 1)²; 3) 9 − 32 = −23 < 0 — корней нет; 4) a = −1, c = −5: 16 − 4 · (−1) · (−5) = 16 − 20 = −4 < 0 — корней нет.
5) 64 − 4c = 0, c = 16 (x² + 8x + 16 = (x + 4)²); 6) −4ac = −4 · 3 · (−7) = 84 > 0, а b² ≥ 0, значит D > 0 — два корня (D = 25 + 84 = 109).

R03.1

Тип 4 · выделение полного квадрата

Достраиваем квадрат: $x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4$

x² + 6x + 5

= x² + 2 · x · 3 + 9 − 9 + 5

= (x + 3)² − 4

Прибавим и вычтем

(\frac{b}{2})^{2}

x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4

2 мин · теория
Площадь-модель: x² + 6x — это квадрат x × x и две полоски 3 × x. Чтобы получился квадрат со стороной x + 3, не хватает уголка 3 × 3 = 9. Добавляем 9 и сразу вычитаем — значение выражения не меняется.
Правило: 6x = 2 · x · 3, половина коэффициента b — число в скобке; его квадрат прибавляем и вычитаем.
Сквозной пример: x² − 6x + 5 = x² − 2 · x · 3 + 9 − 9 + 5 = (x − 3)² − 4. Проверка раскрытием: x² − 6x + 9 − 4 = x² − 6x + 5.
Ошибка: забыть вычесть добавленное число и написать x² + 6x + 5 = (x + 3)² + 5.

R03.1

Тип 4 · что даёт полный квадрат

Из $(x - 3)^{2} - 4$ видны корни и наименьшее значение

Корни

(x − 3)² − 4 = 0

(x − 3)² = 4

x − 3 = ±2

x = 1; x = 5

как уравнение $x^{2} = a$

Наименьшее значение

(x − 3)² ≥ 0

(x − 3)² − 4 ≥ −4

−4 при x = 3

совпадает с таблицей значений

Ваша очередь

x² + 4x − 5
x² − 10x + 30
x² + 2x + 1

полный квадрат → корни, наименьшее значение

1,5 мин · теория (учитель разбирает корни и наименьшее значение; «Ваша очередь» — устно, входит в эти 1,5 мин)
Связь с уроками ALG8-006 и ALG8-014: после выделения квадрата получаем уравнение вида t² = a, где t = x − 3.
Ответы: 1) (x + 2)² − 9: x + 2 = ±3, корни 1 и −5; наименьшее значение −9 при x = −2. 2) (x − 5)² + 5: (x − 5)² = −5 — корней нет; наименьшее значение 5 при x = 5. Проверка D: 100 − 120 = −20 < 0 — тоже корней нет. 3) (x + 1)² + 0: один корень −1, наименьшее значение 0 при x = −1 (D = 0).
Ошибка: (x − 3)² = 4 → x − 3 = 2, только один корень.

R03.1

Тренировка с самопроверкой · тип 4

Выделите полный квадрат

база $x^{2} + 10 x + 21$ $(x + 5)^{2} - 4$
база $x^{2} - 2 x + 6$ ; наименьшее? $(x - 1)^{2} + 5$ ; $5$ при $x = 1$
база $x^{2} + 12 x + 40$ ; наименьшее? $(x + 6)^{2} + 4$ ; $4$ при $x = - 6$

база $x^{2} - 8 x + 7$ ; корни? $(x - 4)^{2} - 9$ ; $x = 1, x = 7$
повыш. $x^{2} + 3 x + 1$ $(x + 1, 5)^{2} - 1, 25$
повыш.Наибольшее значение $6 x - x^{2}$ $9 - (x - 3)^{2}$ ; $9$ при $x = 3$

2,5 мин · практика
Ответы (по клику): 1) x² + 2 · x · 5 + 25 − 25 + 21 = (x + 5)² − 4; 2) x² − 2x + 1 − 1 + 6 = (x − 1)² + 5, наименьшее 5 при x = 1; 3) (x + 6)² − 36 + 40 = (x + 6)² + 4, наименьшее 4 при x = −6.
4) (x − 4)² − 16 + 7 = (x − 4)² − 9 = 0, x − 4 = ±3, x = 1 или x = 7 (проверка: 1 − 8 + 7 = 0; 49 − 56 + 7 = 0 ✓); 5) половина b — 1,5, (1,5)² = 2,25: (x + 1,5)² − 2,25 + 1 = (x + 1,5)² − 1,25; 6) 6x − x² = −(x² − 6x) = −((x − 3)² − 9) = 9 − (x − 3)², наибольшее 9 при x = 3.
Проверка каждого ответа — раскрыть скобки обратно. Ошибка в 6: потерять минус перед скобкой и получить «наименьшее −9».

R03.1 · опережение: квадратичная функция (9 кл.)

Дополнительно · взгляд на график

Все четыре типа на одном рисунке

c

— точка на оси

y

корни 1 и 5 — пересечение с осью

x

D = 16 > 0

⇔ две точки на оси

x

(x - 3)^{2} - 4

: низшая точка

(3; - 4)

R03.1

Найди ошибку

Пять частых ошибок

Задание	Неверно	Верно
5 − 3x + 2x²: a?	a = 5	a = 2, b = −3, c = 5
x² + x при x = −2	−4 − 2 = −6	4 − 2 = 2
D: x² − 4x − 5	16 − 20 = −4	16 + 20 = 36
D: x² − 3x + 2	−9 − 8 = −17	9 − 8 = 1
x² − 8x + 3	(x − 4)² + 3	(x − 4)² − 13

R03.1

Закрепление

Решите

базаЗапишите в виде $a x^{2} + b x + c$ и назовите $a, b, c$ : (3 − x)(x + 2)
базаНайдите D и число корней: 3x² − 7x + 2
повыш.Выделите полный квадрат, найдите наименьшее значение: x² + 8x + 20

повыш.При каком c у x² − 6x + c ровно один корень?
практикаПериметр прямоугольника 20 см, сторона x см. Запишите площадь трёхчленом и найдите наибольшую.
ОГЭ, линия 9Решите уравнение x² − 2x − 15 = 0. Если корней несколько, запишите больший.

4 мин · практика
В тетрадях; 1, 2, 6 — все, 3–5 — по мере готовности (что не успели — в ДЗ).
Ответы: 1) 3x + 6 − x² − 2x = −x² + x + 6: a = −1, b = 1, c = 6. 2) D = 49 − 24 = 25 > 0 — два корня (2 и 1/3). 3) (x + 4)² + 4, наименьшее значение 4 при x = −4. 4) D = 36 − 4c = 0, c = 9 (трёхчлен (x − 3)²). 5) вторая сторона 10 − x, S = x(10 − x) = −x² + 10x = 25 − (x − 5)², наибольшая площадь 25 см² при x = 5 (квадрат). 6) (x − 1)² − 16 = 0, x − 1 = ±4, x = 5 или x = −3; ответ: 5.
Проверка 6: 25 − 10 − 15 = 0; 9 + 6 − 15 = 0. Частая потеря балла — записать в ответ оба корня или меньший.

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Решите уравнение выделением полного квадрата

ОГЭ, линия 9 $x^{2} - 6 x - 16 = 0$ . Если корней несколько, запишите больший. $8$
ОГЭ, линия 9 $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ . Если корней несколько, запишите меньший. $- 7$

ОГЭ, линия 9 $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ $5$
ОГЭ, линия 9 $2 x^{2} - 8 x = 0$ . Если корней несколько, запишите больший. $4$

2,5 мин · практика
Ответы (по клику): 1) (x − 3)² − 25 = 0, x − 3 = ±5, x = 8 или x = −2; больший — 8 (64 − 48 − 16 = 0 ✓). 2) (x + 2)² − 25 = 0, x + 2 = ±5, x = 3 или x = −7; меньший — −7 (49 − 28 − 21 = 0 ✓).
3) (x − 5)² = 0, единственный корень 5 (D = 100 − 100 = 0). 4) 2x(x − 4) = 0, x = 0 или x = 4; больший — 4 (32 − 32 = 0 ✓). В 4 полный квадрат не нужен: c = 0, выносим общий множитель.
Формула корней квадратного уравнения — позже (строка R05); сегодня корни находим выделением полного квадрата. В бланк ОГЭ — одно число; частая потеря балла — записать оба корня.

R03.1 · ПР-7

Задачи из жизни

Наибольшее значение — через полный квадрат

практикаМяч подбросили вверх. Высота через $t$ с: $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Какова наибольшая высота? $h = 20 - 5 (t - 2)^{2}$ : $20$ м при $t = 2$ с
практикаЧерез сколько секунд мяч упадёт на землю? $t = 4$ с
повыш.Огород у стены огородили сеткой длиной $40$ м с трёх сторон. При каком $x$ площадь наибольшая? $S = 200 - 2 (x - 10)^{2}$ : $200$ м² при $x = 10$

3 мин · практика
Ответы (по клику): 1) h = −5(t² − 4t) = −5((t − 2)² − 4) = 20 − 5(t − 2)²; так как (t − 2)² ≥ 0, наибольшая высота 20 м при t = 2 с (проверка: 20 · 2 − 5 · 4 = 20 ✓).
2) h = 0: 5t(4 − t) = 0, t = 0 (бросок) или t = 4 с (падение); ответ: через 4 с.
3) Сторона вдоль стены 40 − 2x, S = x(40 − 2x) = −2x² + 40x = −2(x² − 20x) = −2((x − 10)² − 100) = 200 − 2(x − 10)². Наибольшая площадь 200 м² при x = 10 (размеры 10 м × 20 м; проверка: 10 · 20 = 200 ✓).
Задачу 3 при нехватке времени — в ДЗ. Связь с задачей 5 сл. 18: там наибольшая площадь при квадрате, здесь — нет (одна сторона — стена).

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

a, b, c: 4 − 3x² + x a = −3, b = 1, c = 4
значение при x = −1: x² − 3x + 2 6
D, корней: 2x² − 5x + 3 D = 1, два
наименьшее: x² − 4x + 7 3 при x = 2

Вариант 2

a, b, c: 7 + 2x − 5x² a = −5, b = 2, c = 7
значение при x = −2: x² + 4x − 1 −5
D, корней: 3x² − 4x + 2 D = −8, нет
наименьшее: x² + 6x + 11 2 при x = −3

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти $a$ в $5 - x + 3 x^{2}$ ?
Когда у трёхчлена нет корней?
Какое число прибавить к $x^{2} + 10 x$ до полного квадрата?

Домашнее задание

D и число корней: 5x² − x − 4
Наименьшее значение: x² − 12x + 40
При каком c у x² + 10x + c один корень?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-025 · Практикум: квадратный трёхчлен

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен», 5 ч · урок 3/5 · тип П (практикум); продолжение ALG8-023
Единицы → слайды	R03.1 «Квадратный трехчлен» → 2–22 · R03.2 (только возможность разложения по знаку D) → 10, 12 · опора: R01.6 (x² = a) → 4, 14, 19
Результаты	ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования) → 3, 6, 7, 13–15, 17, 18, 21 · ПР-6 / REQ-2.3 (возможность разложения) → 10–12 · ПР-7 / REQ-2.4 (задачи) → 14, 15, 18–20 · ПР-9 / REQ-3.2 (сколько корней) → 10–12, 16, 19
Вне урока	разложение трёхчлена на множители — ALG8-024, ALG8-026; формула корней квадратного уравнения, теорема Виета — строка R05; квадратичная функция — 9 класс (сл. 16 «Дополнительно»)
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %): тип П — разбор четырёх типов показывается полностью, к каждому добавлена тренировка с ответами по клику
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: квадратный трёхчлен

Сегодня вы научитесь

Распознавать трёхчлен

Находить D и число корней

Выделять полный квадрат

Применять в задачах

Какие выражения — квадратные трёхчлены?

Устно: раскройте скобки

Восемь вычислений — без тетради

Посчитайте

Ответьте

Четыре типа заданий на одном трёхчлене

Сначала упорядочить по степеням, потом читать a, b, c

Ваша очередь: a, b, c?

Приведите к виду ax2+bx+c и назовите a, b, c

Корень — значение x, при котором трёхчлен равен нулю

Корень или нет?

Значение трёхчлена и проверка корня

Знак D решает, сколько корней у трёхчлена

Три трёхчлена — три случая

Ваша очередь: D, корней?

Найдите D и число корней

Достраиваем квадрат: x2+6x+5=(x+3)2−4

Из (x−3)2−4 видны корни и наименьшее значение

Корни

Наименьшее значение

Ваша очередь

Выделите полный квадрат

Все четыре типа на одном рисунке

Пять частых ошибок

Решите

Решите уравнение выделением полного квадрата

Наибольшее значение — через полный квадрат

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-025 · Практикум: квадратный трёхчлен

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c$ и назовите $a, b, c$

Найдите $D$ и число корней

Достраиваем квадрат: $x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4$

Из $(x - 3)^{2} - 4$ видны корни и наименьшее значение