Квадратный трёхчлен · урок 2 из 5

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · ALG8-024

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен» (5 ч), урок 2/5, единица R03.2 «Разложение квадратного трехчлена на множители». Тип урока — Н.
Теория (14 мин): сл. 1–2, 5–7, 9–11, 13, 15–16 — проблема, наблюдение, главная формула, обоснование, график, три случая, алгоритм и два демонстрационных образца показываются полностью.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 3 · «вспомним» устно (сл. 4) 2 · «образец → сам» (сл. 8, 14) 6 · «можно ли разложить?» (сл. 12) 2 · «найдите ошибку» (сл. 17) 2 · задания с самопроверкой и формат ОГЭ (сл. 18–20) 9 · задача из жизни (сл. 21) 2 · самостоятельная работа (сл. 22) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 23) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 20 и задачу сл. 21 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Устанавливать

можно ли разложить трёхчлен на множители — по знаку D (ФРП, виды деятельности R03)

Раскладывать

квадратный трёхчлен на множители: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ (ПР-6, REQ-2.3)

Проверять

разложение раскрытием скобок (ПР-5, REQ-2.2)

Применять

разложение: трёхчлен по корням, сокращение дроби (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-6 (REQ-2.3): «Раскладывать квадратный трехчлен на множители» — главный результат урока.
ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами…» — проверка умножением многочленов.
ПР-7 (REQ-2.4): «Применять преобразования выражений для решения различных задач…» — обратная задача и сокращение дроби (задание ОГЭ).
Виды деятельности ФРП (R03): «устанавливать возможность его разложения на множители. Раскладывать на множители квадратный трехчлен с неотрицательным дискриминантом».

повторение: 7 класс · ALG8-023

Разминка · устно

Восемь вопросов — без тетради

Раскройте скобки

$(x - 2) (x - 5)$ $x^{2} - 7 x + 10$
$(x + 4) (x - 1)$ $x^{2} + 3 x - 4$
$x - (- 3)$ $x + 3$
$3 (x - \frac{1}{3})$ $3 x - 1$

Ответьте

$a, b, c$ у $5 - x^{2} + 3 x$ $a = - 1, b = 3, c = 5$
$(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)$ $25$
$121$ $11$
$x = 2$ — корень $x^{2} - 5 x + 6$ ? да: $4 - 10 + 6 = 0$

повторение: ALG8-023

Вспомним

Квадратный трёхчлен и его корни

a x^{2} + b x + c, a \neq = 0

D = b^{2} - 4 a c

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

при

D \geq 0

корень трёхчлена — значение $x$ , при котором трёхчлен равен $0$

Устно: D и корни

$x^{2} - 5 x + 6$
$2 x^{2} + 3 x - 2$
$x^{2} + x + 1$
$(x + 2) (x + 3) = ?$

R03.2

Проблема

Из произведения — сумма. А обратно?

(x + 2) (x + 3) =

= x^{2} + 3 x + 2 x + 6 =

= x^{2} + 5 x + 6

Обратная задача:

x^{2} + 5 x + 6 = (\dots) (\dots)

?
Как найти множители без подбора?

R03.2

Наблюдаем

Корни трёхчлена «видны» в множителях

Трёхчлен	Корни $x_{1}$ , $x_{2}$	Разложение
$x^{2} + 5 x + 6$	$- 2; - 3$	$(x - (- 2)) (x - (- 3)) = (x + 2) (x + 3)$
$x^{2} - 5 x + 6$	$2; 3$	$(x - 2) (x - 3)$
$x^{2} - x - 6$	$- 2; 3$	$(x + 2) (x - 3)$
$2 x^{2} - 10 x + 12$	$2; 3$	$2 (x - 2) (x - 3)$

Гипотеза: множители — это $x -$ корень, а впереди — старший коэффициент $a$ .

R03.2

Главная формула урока

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ , то

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

$a$

старший коэффициент — не забыть!

$x - x_{1}$

корень со знаком «минус» перед ним

$D = 0$

$x_{1} = x_{2}$ , тогда $a (x - x_{1})^{2}$

R03.2

Образец → сам

Корни известны — запишите разложение

Образец

Корни $3 x^{2} - 3 x - 18$ — числа $3$ и $- 2$ .

①

a = 3

②

3 (x - 3) (x - (- 2))

③

3 (x - 3) (x + 2)

проверка при $x = 0$ : $3 \cdot (- 3) \cdot 2 = - 18 = c$ ✓

Сам: трёхчлен и его корни

$x^{2} - 9 x + 14$ ; $2$ и $7$ $(x - 2) (x - 7)$
$x^{2} + 4 x - 21$ ; $3$ и $- 7$ $(x - 3) (x + 7)$
$2 x^{2} + 10 x + 8$ ; $- 1$ и $- 4$ $2 (x + 1) (x + 4)$
$5 x^{2} - 5$ ; $1$ и $- 1$ $5 (x - 1) (x + 1)$

R03.2

Почему это верно

Полный квадрат + разность квадратов

x^{2} - 6 x + 5 =

= x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 5 =

выделили полный квадрат

= (x - 3)^{2} - 2^{2} =

разность квадратов

= (x - 3 - 2) (x - 3 + 2) =

= (x - 5) (x - 1)

корни

5

и

1

p^{2} - q^{2} = (p - q) (p + q)

Так же для любого трёхчлена с

D \geq 0

— получается

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

.

D < 0

: из

(\dots)^{2}

вычитать нечего — разложить нельзя.

R03.2

Посмотрим на график

Корни — точки, где график пересекает ось x

y = x^{2} - 2 x - 3

x_{1} = - 1, x_{2} = 3

y = (x + 1) (x - 3)

Произведение

= 0

, когда один из множителей

= 0

: при

x = - 1

или

x = 3

.

R03.2

Можно ли разложить?

Всё решает знак дискриминанта

$D > 0$

два корня

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

$D = 0$

один корень

a (x - x_{0})^{2}

$D < 0$

корней нет

не раскладывается

R03.2

Сам · устанавливаем возможность разложения

Можно ли разложить на множители?

Трёхчлен	D	Вывод	Трёхчлен	D	Вывод
$x^{2} - 3 x - 4$	$25$	да, 2 корня	$2 x^{2} + x + 1$	$- 7$	нет
$x^{2} + 2 x + 3$	$- 8$	нет	$3 x^{2} - 2 x - 1$	$16$	да, 2 корня
$x^{2} - 10 x + 25$	$0$	да, $(x - 5)^{2}$	$x^{2} + 4$	$- 16$	нет

Считаем только $D = b^{2} - 4 a c$ и смотрим на знак: корни пока не нужны.

R03.2

Алгоритм

Раскладываем за 4 шага

R03.2

Образец → сам · a = 1

Алгоритм в действии

Образец: $x^{2} + 3 x - 10$

①

a = 1, b = 3, c = - 10

②

D = 9 + 40 = 49

③

x = \frac{- 3 \pm 7}{2}

:

2

и

- 5

④

(x - 2) (x + 5)

Сам: разложите

$x^{2} - 8 x + 12$ $(x - 2) (x - 6)$
$x^{2} + x - 12$ $(x - 3) (x + 4)$
$x^{2} - 4 x - 5$ $(x - 5) (x + 1)$

R03.2

Образец решения · a ≠ 1

Разложите: 2x² − 7x + 3

①

a = 2, b = - 7, c = 3

②

D = 49 - 24 = 25 > 0

③

x = \frac{7 \pm 5}{4}

;

x_{1} = 3

,

x_{2} = \frac{1}{2}

④

2 (x - 3) (x - \frac{1}{2}) = (x - 3) (2x - 1)

Проверка

$(x - 3) (2 x - 1) =$
$= 2 x^{2} - x - 6 x + 3 =$
$= 2 x^{2} - 7 x + 3$ ✓

2 «вносим» в скобку с дробью: $2 (x - \frac{1}{2}) = 2 x - 1$

R03.2

Образец решения · a < 0 и D = 0

Ещё два случая

$- x^{2} + 4 x + 5$

$a = - 1, D = 16 + 20 = 36$

$x = \frac{- 4 \pm 6}{- 2}$ ; $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 5$

$- (x + 1) (x - 5)$

или $(x + 1) (5 - x)$

$9 x^{2} - 6 x + 1$

$D = 36 - 36 = 0$

$x_{0} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$9 (x - \frac{1}{3})^{2} = (3x - 1)^{2}$

это квадрат разности (7 класс)

R03.2

Найдите ошибку

Три частые ошибки

Трёхчлен	Неверно	Верно	Ошибка
$3 x^{2} - 3 x - 6$	$(x + 1) (x - 2)$	$3 (x + 1) (x - 2)$	забыли $a$
$x^{2} + x - 6$	$(x + 2) (x - 3)$	$(x - 2) (x + 3)$	знаки корней
$x^{2} + 2 x + 5$	$(x + 1) (x + 5)$	не раскладывается	$D = - 16 < 0$

Быстрая проверка: подставьте $x = 0$ — получится $c$ ?

2 мин · практика
Сначала дать 1 мин найти ошибки самим (в парах), затем открывать столбцы «Верно» и «Ошибка» по клику.
Строка 1: корни 3x² − 3x − 6 = 3(x² − x − 2): −1 и 2; без тройки при x = 0 получаем −2 вместо −6.
Строка 2: корни x² + x − 6: D = 25, x = (−1 ± 5)/2 → 2 и −3, значит (x − 2)(x + 3). Неверный вариант даёт x² − x − 6.
Строка 3: D = 4 − 20 = −16; «разложение» (x + 1)(x + 5) = x² + 6x + 5 — другой трёхчлен.
Подстановка x = 0 ловит потерю a и часть ошибок со знаками, но не все (строка 2 при x = 0 даёт −6 в обоих случаях) — надёжнее раскрыть скобки.

R03.2

Задания с самопроверкой · закрепление

Разложите на множители

база $x^{2} - 7 x + 10$ $(x - 2) (x - 5)$
база $x^{2} + 2 x - 15$ $(x - 3) (x + 5)$
повыш. $3 x^{2} - 5 x - 2$ $(x - 2) (3 x + 1)$
повыш. $- 2 x^{2} + x + 1$ $(2 x + 1) (1 - x)$

R03.2

Задания с самопроверкой · формат ОГЭ

Применяем разложение

практикаМожно ли разложить на множители $x^{2} - 4 x + 7$ ? А $4 x^{2} - 12 x + 9$ ?
нет ( $D = - 12$ ); да: $(2 x - 3)^{2}$
практикаЗапишите трёхчлен с корнями $- 1$ и $4$ и старшим коэффициентом $2$ .
$2 (x + 1) (x - 4) = 2 x^{2} - 6 x - 8$
ОГЭ, линия 20Сократите дробь $\frac{5 x ^{2} + 9 x - 2}{x + 2}$ $5 x - 1$

R03.2 · REQ-2.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Посложнее

повыш.Разложите: $6 x^{2} - x - 2$ $(3 x - 2) (2 x + 1)$
повыш.Разложите: $4 x^{2} + 4 x + 1$ $(2 x + 1)^{2}$
повыш.Найдите $b$ , если $x^{2} + b x - 12 = (x + 6) (x - 2)$ $b = 4$
ОГЭ, линия 20Сократите дробь $\frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{4 x ^{2} - 1}$ $\frac{x + 3}{2 x + 1}$

3 мин · практика
1) D = 1 + 48 = 49, x = (1 ± 7)/12 → 2/3 и −1/2; 6(x − 2/3)(x + 1/2) = (3x − 2)(2x + 1). Проверка: 6x² + 3x − 4x − 2 = 6x² − x − 2 ✓.
2) D = 16 − 16 = 0, x₀ = −4/8 = −1/2; 4(x + 1/2)² = (2x + 1)². Проверка: 4x² + 4x + 1 ✓.
3) (x + 6)(x − 2) = x² − 2x + 6x − 12 = x² + 4x − 12, значит b = 4.
4) Числитель: D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7)/4 → 1/2 и −3 → 2(x − 1/2)(x + 3) = (2x − 1)(x + 3); знаменатель — разность квадратов (2x − 1)(2x + 1); дробь = (x + 3)/(2x + 1) при x ≠ ±1/2. Проверка: (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 ✓.
Сильным — все четыре; остальным — 2 и 3, затем разбор 1 и 4 у доски.

R03.2 · REQ-2.4

Практика · из жизни

Какая длина у второй стороны участка?

Площадь прямоугольного участка $x^{2} + 9 x + 20 м^{2}$ , одна сторона $x + 4$ м. Найдите другую сторону и периметр при $x = 10$ .

D = 81 - 80 = 1

: корни

- 4

и

- 5

x^{2} + 9 x + 20 = (x + 4) (x + 5)

вторая сторона $x + 5$ м

x = 10

:

14

и

15

м,

P = 58

м

R03.2

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

1–3: разложите на множители

$x^{2} - 6 x + 8$ $(x - 2) (x - 4)$
$x^{2} + 3 x - 18$ $(x - 3) (x + 6)$
$3 x^{2} + 5 x - 2$ $(3 x - 1) (x + 2)$
Можно ли разложить
$x^{2} - 2 x + 4$ ? нет, $D = - 12$

Вариант 2

1–3: разложите на множители

$x^{2} - 9 x + 20$ $(x - 4) (x - 5)$
$x^{2} + 2 x - 24$ $(x - 4) (x + 6)$
$2 x^{2} - 7 x - 4$ $(x - 4) (2 x + 1)$
Можно ли разложить
$x^{2} + 3 x + 5$ ? нет, $D = - 11$

4 мин · практика
Задания 1–3: разложите на множители. Ответы открывать по клику после сдачи (взаимопроверка в парах).
В1: 1) D = 36 − 32 = 4, x = (6 ± 2)/2 → 4 и 2; 2) D = 9 + 72 = 81, x = (−3 ± 9)/2 → 3 и −6; 3) D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7)/6 → 1/3 и −2, 3(x − 1/3)(x + 2) = (3x − 1)(x + 2), проверка 3x² + 6x − x − 2 ✓; 4) D = 4 − 16 = −12 < 0 — нет.
В2: 1) D = 81 − 80 = 1, x = (9 ± 1)/2 → 5 и 4; 2) D = 4 + 96 = 100, x = (−2 ± 10)/2 → 4 и −6; 3) D = 49 + 32 = 81, x = (7 ± 9)/4 → 4 и −1/2, 2(x − 4)(x + 1/2) = (x − 4)(2x + 1), проверка 2x² + x − 8x − 4 ✓; 4) D = 9 − 20 = −11 < 0 — нет.
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по корням записать разложение?
Когда трёхчлен не раскладывается?
Зачем множитель $a$ ?

Домашнее задание

Разложите: $x^{2} - 8 x + 15$ ; $2 x^{2} + x - 6$ ; $- x^{2} - 2 x + 8$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-024 · Разложение квадратного трехчлена на множители

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен», 5 ч · урок 2/5 · тип Н
Единицы → слайды	R03.2 «Разложение квадратного трехчлена на множители» → 2, 5–23 · опора на R03.1 «Квадратный трехчлен» (ALG8-023) → 3, 4
Результаты	ПР-6 / REQ-2.3 (раскладывать квадратный трехчлен на множители) → 2, 6–8, 13–18, 20, 22, 23 · ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования многочленов: проверка) → 3, 5, 8, 13–18 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение преобразований) → 2, 19–21 · виды деятельности R03 (возможность разложения) → 11, 12, 17, 19, 22 · кодификатор EL-2.1
ОГЭ	задание 7 слайда 19 и задание 4 слайда 20 — линия 20 (алгебраическое выражение)
Вне урока	практикумы — ALG8-025 (R03.1), ALG8-026 (R03.2) · сокращение алгебраических дробей — ALG8-031 (R04) · теорема Виета — строка R05 · график y = x² — строка R09
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1–2, 5–7, 9–11, 13, 15–16) · практика 31 мин (сл. 3–4, 8, 12, 14, 17–23) · 69 % практики
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Сегодня вы научитесь

Устанавливать

Раскладывать

Проверять

Применять

Восемь вопросов — без тетради

Раскройте скобки

Ответьте

Квадратный трёхчлен и его корни

Устно: D и корни

Из произведения — сумма. А обратно?

Корни трёхчлена «видны» в множителях

Разложение квадратного трёхчлена на множители

a

x−x1​

D=0

Корни известны — запишите разложение

Образец

Сам: трёхчлен и его корни

Полный квадрат + разность квадратов

Корни — точки, где график пересекает ось x

Всё решает знак дискриминанта

D>0

D=0

D<0

Можно ли разложить на множители?

Раскладываем за 4 шага

Алгоритм в действии

Образец: x2+3x−10

Сам: разложите

Разложите: 2x² − 7x + 3

Проверка

Ещё два случая

−x2+4x+5

9x2−6x+1

Три частые ошибки

Разложите на множители

Применяем разложение

Посложнее

Какая длина у второй стороны участка?

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-024 · Разложение квадратного трехчлена на множители

$a$

$x - x_{1}$

$D = 0$

$D > 0$

$D = 0$

$D < 0$

Образец: $x^{2} + 3 x - 10$

$- x^{2} + 4 x + 5$

$9 x^{2} - 6 x + 1$