Квадратный трёхчлен · урок 1 из 5

Квадратный трёхчлен

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · ALG8-023

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2, 5–8, 10–11, 13, 15, 17–18 — определения, площадь-модель, алгоритм, случай a ≠ 1, корни через полный квадрат, число корней и дискриминант показываются полностью, по 1–2 мин на слайд.
Практика (32 мин): разминка и повторение (сл. 3–4) 4 · «образец → сам» после каждого правила (сл. 9, 12, 14, 16, 19) 12 · «найди ошибку» (сл. 20) 2 · задания с самопроверкой (сл. 21–22) 8 · самостоятельная работа (сл. 23) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 24) 2.
Паспорт: R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен» (5 ч), урок 1/5, единица R03.1. Тип урока — Н.
Если не успеваете: сл. 14 (вместе со сл. 13) и задание 6 сл. 22 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.
Рисунок на титуле — площадь-модель выделения полного квадрата (подробно — сл. 10).

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

квадратный трёхчлен и называть его коэффициенты a, b, c (ПР-6, REQ-2.3)

Выделять полный квадрат

$x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ (ПР-5, REQ-2.2)

Находить корни

трёхчлена и проверять число подстановкой (ПР-6, ПР-2)

Определять число корней

два, один или ни одного — по полному квадрату и по D (ПР-6, REQ-2.3)

1 мин · теория
ПР-6 (REQ-2.3): «Раскладывать квадратный трехчлен на множители» — сегодня готовим основу: корни и их число; само разложение — урок ALG8-024. Вид деятельности строки ФРП: «Распознавать квадратный трехчлен, устанавливать возможность его разложения на множители».
ПР-5 (REQ-2.2): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами…». ПР-2 (REQ-1.2): извлечение квадратного корня — при поиске корней из (x + m)² = k.

повторение: 6–7 класс

Разминка · устно

Квадраты и подстановка — без тетради

Вычислите

$7^{2}$ $49$
$(- 6)^{2}$ $36$
$- 3^{2}$ $- 9$
$(- 8) : 2$ $- 4$

Найдите значение

$(\frac{- 10}{2})^{2}$ $25$
$3^{2} - 4 \cdot 3$ $- 3$
$(- 2)^{2} + 5 \cdot (- 2)$ $- 6$
$(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3$ $4$

повторение: 7 класс, R01

Вспомним

Квадрат суммы и квадрат разности

Устно

$(x + 5)^{2} = ?$
$(x - 4)^{2} = ?$
$x^{2} + 10 x + 25 = (\dots)^{2}$
$x^{2} = 9 \Rightarrow x = ?$
Степень многочлена $3 x^{2} - 2 x + 1$ ?

R03.1

Определение

Квадратный трёхчлен — многочлен вида

R03.1

Распознаём

Квадратный трёхчлен или нет? Назовите a, b, c

Многочлен	Трёхчлен?	a	b	c
$3 x^{2} - 5 x + 2$	да	3	−5	2
$x^{2} - 7$	да	1	0	−7
$- 2 x^{2} + x$	да	−2	1	0
$4 + x - x^{2}$	да	−1	1	4
$5 x + 1$	нет: a = 0	многочлен 1-й степени
$x^{3} + x^{2} + 1$	нет	многочлен 3-й степени

R03.1

Значение трёхчлена

Подставим числа в $x^{2} - 4 x + 3$

x	$x^{2} - 4 x + 3$
0	3
1	0
2	−1
3	0
4	3
5	8

R03.1

Определение

Корень квадратного трёхчлена

x_{0}

— корень, если

a x_{0}^{2} + b x_{0} + c = 0

Число 2 — корень $x^{2} - 5 x + 6$ ?

$2^{2} - 5 \cdot 2 + 6$

= 4 − 10 + 6 = 0

да, корень

Число −1 — корень $x^{2} + 4 x + 5$ ?

$(- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) + 5$

= 1 − 4 + 5 = 2 ≠ 0

нет

Найти корни трёхчлена — значит решить уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$

R03.1

Практика · образец → сам

Коэффициенты и проверка корня

Назовите a, b, c

$x^{2} + 2 x - 8$
$1; 2; - 8$
$5 - x^{2}$
$- 1; 0; 5$
$6 x + 3 x^{2}$
$3; 6; 0$

Число — корень трёхчлена?

$3$ для $x^{2} - 2 x - 3$
да: $9 - 6 - 3 = 0$
$- 2$ для $x^{2} + x + 2$
нет: $4 - 2 + 2 = 4$
$- 1$ для $2 x^{2} + 3 x + 1$
да: $2 - 3 + 1 = 0$

R03.1

Выделение полного квадрата

Достроим $x^{2} + 6 x$ до квадрата

6 x = 3 x + 3 x

x^{2} + 6 x

+ 9

= (x + 3)^{2}

x^{2} + 6 x + 5

= (x + 3)^{2}

- 9

+ 5

= (x + 3)^{2} - 4

R03.1

Алгоритм (a = 1)

Выделить полный квадрат за 3 шага

R03.1

Практика · образец → сам

Выделите полный квадрат

Образец

x^{2} + 4 x - 1

4 : 2 = 2, 2^{2} = 4

= (x + 2)^{2} - 4 - 1

= (x + 2)^{2} - 5

Сам

$x^{2} + 2 x + 5$ $(x + 1)^{2} + 4$
$x^{2} - 6 x + 1$ $(x - 3)^{2} - 8$
$x^{2} + 10 x + 20$ $(x + 5)^{2} - 5$
$x^{2} - 4 x$ $(x - 2)^{2} - 4$

R03.1

Если a ≠ 1

Сначала вынесем a за скобки

2

x^{2} + 12 x + 10

=

2

(x^{2} + 6 x + 5)

=

2

((x + 3)^{2} - 4)

=

2

(x + 3)^{2} - 8

Шаги

вынести a
выделить квадрат в скобках
раскрыть внешние скобки

Проверка:

2 (x^{2} + 6 x + 9) - 8 = 2 x^{2} + 12 x + 10

✓

R03.1

Практика · образец → сам

Полный квадрат при a ≠ 1

Образец

3 x^{2} - 12 x + 15

= 3 (x^{2} - 4 x + 5)

= 3 ((x - 2)^{2} + 1)

= 3 (x - 2)^{2} + 3

Сам

$2 x^{2} + 8 x + 6$
$2 (x + 2)^{2} - 2$
$3 x^{2} - 6 x + 9$
$3 (x - 1)^{2} + 6$
$5 x^{2} + 10 x - 15$
$5 (x + 1)^{2} - 20$

2 мин · практика
Шаги как на сл. 13: вынести a, выделить квадрат в скобках, раскрыть внешние скобки. Ответы открывать по клику.
Ответы и проверка: 1) 2(x² + 4x + 3) = 2((x + 2)² − 1) = 2(x + 2)² − 2; 2(x² + 4x + 4) − 2 = 2x² + 8x + 6 ✓. 2) 3(x² − 2x + 3) = 3((x − 1)² + 2) = 3(x − 1)² + 6; 3(x² − 2x + 1) + 6 = 3x² − 6x + 9 ✓. 3) 5(x² + 2x − 3) = 5((x + 1)² − 4) = 5(x + 1)² − 20; 5(x² + 2x + 1) − 20 = 5x² + 10x − 15 ✓.
Образец: 3(x² − 4x + 4) + 3 = 3x² − 12x + 15 ✓. Ошибка: «3(x − 2)² + 1» — забыли умножить на 3 число в скобках.
Если сл. 13 пропущен — пропустить и этот слайд (задания — в ДЗ сильным ученикам).

R03.1

Находим корни

$x^{2} + 6 x + 5 = 0 \Leftrightarrow (x + 3)^{2} = 4$

x + 3 = 2

или

x + 3 = - 2

x = - 1

или

x = - 5

Проверка: 1 − 6 + 5 = 0 ✓ 25 − 30 + 5 = 0 ✓

R03.1

Практика · образец → сам

Найдите корни трёхчлена

Образец: $x^{2} - 2 x - 8$

(x - 1)^{2} - 9 = 0

(x - 1)^{2} = 9

x - 1 = 3

или

x - 1 = - 3

x = 4; x = - 2

Сам

$x^{2} + 2 x - 3$ $1; - 3$
$x^{2} - 8 x + 12$ $2; 6$
$x^{2} + 10 x + 21$ $- 3; - 7$
$x^{2} - 6 x - 7$ $7; - 1$

R03.1

Сколько корней

$(x + 3)^{2} \geq 0$ при любом $x$ — значит, корней 2, 1 или 0

$x^{2} + 6 x + 5$

$= (x + 3)^{2}$ $- 4$

$(x + 3)^{2} = 4$

2 корня: −1; −5

$x^{2} + 6 x + 9$

$= (x + 3)^{2}$

$(x + 3)^{2} = 0$

1 корень: −3

$x^{2} + 6 x + 10$

$= (x + 3)^{2}$ $+ 1$

$(x + 3)^{2} = - 1$

корней нет

R03.1

Число корней без вычислений корней

Дискриминант квадратного трёхчлена

D = b^{2} - 4 a c

при $a = 1$ :
$x^{2} + b x + c = (x + \frac{b}{2})^{2} - \frac{D}{4}$

Трёхчлен	D	Корней
$x^{2} + 6 x + 5$	$36 - 20 = 16$	D > 0 → 2
$x^{2} + 6 x + 9$	$36 - 36 = 0$	D = 0 → 1
$x^{2} + 6 x + 10$	$36 - 40 = - 4$	D < 0 → 0

1 мин · теория
Обоснование для a = 1: x² + bx + c = (x + b/2)² − (b² − 4c)/4. Знак числа D/4 решает всё — как на сл. 17. Для любого a ≠ 0 вывод аналогичный (вынести a за скобки).
Ответы таблицы совпадают со сл. 17 — показать классу. Ошибка: b² при отрицательном b: (−6)² = 36, а не −36.
Формулу корней через D изучают в теме «Квадратные уравнения» (строка R05); сегодня D — только для числа корней. «Неотрицательный дискриминант» из ФРП — условие разложения на множители (ALG8-024).

R03.1

Практика · образец → сам

Сколько корней? Считаем $D = b^{2} - 4 a c$

Трёхчлен	D	Корней
$x^{2} - 5 x + 7$ образец	$25 - 28 = - 3$	D < 0 → 0
$x^{2} + 4 x + 4$	$16 - 16 = 0$	1
$x^{2} - 3 x - 10$	$9 + 40 = 49$	2
$2 x^{2} + x + 1$	$1 - 8 = - 7$	0
$3 x^{2} - 2 x - 1$	$4 + 12 = 16$	2

R03.1

Практика · найди ошибку

Найдите ошибку

Задание	Неверно	Верно	Почему
$a$ у $3 - 2 x + x^{2}$	a = 3	$a = 1$	$a$ — множитель при $x^{2}$
$x^{2} + 6 x + 5$	(x + 3)² + 5	$(x + 3)^{2} - 4$	прибавили 9 — надо вычесть 9
$(x - 4)^{2} = 9$	x = 7	$x = 7; x = 1$	$x - 4 = 3$ или $- 3$
$D$ у $x^{2} - 2 x - 3$	4 − 12	$4 + 12 = 16$	$- 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = + 12$

R03.1

Закрепление · задания с самопроверкой

Решите и проверьте

базаНазовите коэффициенты a, b, c: $4 - 3 x^{2} + x$
$a = - 3, b = 1, c = 4$
базаЯвляется ли корнем трёхчлена $x^{2} - 3 x - 4$
число 4? число −2? 4 — да; −2 — нет
базаВыделите полный квадрат:
$x^{2} - 10 x + 21$ $(x - 5)^{2} - 4$

Опора

$a x^{2} + b x + c, a \neq = 0$

$x^{2} + b x + c =$
$(x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2} + c$

$D = b^{2} - 4 a c$

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и проверьте

повыш.Найдите корни трёхчлена $x^{2} + 4 x - 12$ $2; - 6$
повыш.Сколько корней у трёхчлена:
$x^{2} - 8 x + 16$ ; $x^{2} + 2 x + 7$ ? 1; 0

из жизниУчасток-прямоугольник: одна сторона x м, другая на 6 м длиннее. Площадь $16 м^{2}$ . Найдите x. 2 м
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ . Если корней несколько, запишите больший. 5

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

a, b, c у $5 x - x^{2} + 2$ $- 1; 5; 2$
$- 3$ — корень $x^{2} + x - 6$ ? да
Полный квадрат: $x^{2} - 12 x + 30$ $(x - 6)^{2} - 6$
Сколько корней у $x^{2} + 6 x + 11$ ? 0

Вариант 2

a, b, c у $3 - 2 x^{2} + x$ $- 2; 1; 3$
$4$ — корень $x^{2} - x - 6$ ? нет
Полный квадрат: $x^{2} + 8 x + 10$ $(x + 4)^{2} - 6$
Сколько корней у $x^{2} - 10 x + 25$ ? 1

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему в $a x^{2} + b x + c$ требуют $a \neq = 0$ ?
Что такое корень трёхчлена?
Когда у трёхчлена нет корней?

Домашнее задание

Коэффициенты: $7 - x^{2}$
Выделите квадрат и найдите корни: $x^{2} + 12 x + 20$
Сколько корней у $x^{2} - 2 x + 5$ ?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_kvadr_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-023 · Квадратный трехчлен

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), курс «Алгебра», 8 класс, Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен», 5 ч · урок 1/5 · тип Н
Единицы → слайды	R03.1 «Квадратный трехчлен» → 2, 5–23; повторение (6–7 класс, R01) → 3–4
Результаты	ПР-6 / REQ-2.3 (квадратный трёхчлен, подготовка к разложению) → 5–9, 15–19, 21–23 · ПР-5 / REQ-2.2 (тождественные преобразования) → 10–14, 20 · ПР-2 / REQ-1.2 (квадратные корни) → 4, 15–16
Вне урока	разложение на множители a(x − x₁)(x − x₂) — ALG8-024 (R03.2); формула корней квадратного уравнения и теорема Виета — строка R05; график квадратичной функции — 9 класс
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1–2, 5–8, 10–11, 13, 15, 17–18) · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратный трёхчлен

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Выделять полный квадрат

Находить корни

Определять число корней

Квадраты и подстановка — без тетради

Вычислите

Найдите значение

Квадрат суммы и квадрат разности

Устно

Квадратный трёхчлен — многочлен вида

Квадратный трёхчлен или нет? Назовите a, b, c

Подставим числа в x2−4x+3

Корень квадратного трёхчлена

Число 2 — корень x2−5x+6?

Число −1 — корень x2+4x+5?

Коэффициенты и проверка корня

Назовите a, b, c

Число — корень трёхчлена?

Достроим x2+6x до квадрата

Выделить полный квадрат за 3 шага

Выделите полный квадрат

Образец

Сам

Сначала вынесем a за скобки

Шаги

Полный квадрат при a ≠ 1

Образец

Сам

x2+6x+5=0⇔(x+3)2=4

Найдите корни трёхчлена

Образец: x2−2x−8

Сам

(x+3)2≥0 при любом x — значит, корней 2, 1 или 0

Дискриминант квадратного трёхчлена

Сколько корней? Считаем D=b2−4ac

Найдите ошибку

Решите и проверьте

Опора

Решите и проверьте

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-023 · Квадратный трехчлен

Подставим числа в $x^{2} - 4 x + 3$

Число 2 — корень $x^{2} - 5 x + 6$ ?

Число −1 — корень $x^{2} + 4 x + 5$ ?

Достроим $x^{2} + 6 x$ до квадрата

$x^{2} + 6 x + 5 = 0 \Leftrightarrow (x + 3)^{2} = 4$

Образец: $x^{2} - 2 x - 8$

$(x + 3)^{2} \geq 0$ при любом $x$ — значит, корней 2, 1 или 0

Сколько корней? Считаем $D = b^{2} - 4 a c$