Степень с целым показателем · урок 7 из 7 · обобщение

Степень с целым показателем и стандартная запись числа: собираем тему

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · ALG8-022

1 мин · теория
Паспорт: R02 «Числа и вычисления. Степень с целым показателем» (7 ч), урок 7/7, единицы R02.1–R02.4. Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Сумма 45 мин.
Теория (повторение по единицам, рассказывает учитель): сл. 1–2 (2 мин), 4 карта (2), 5 определение (1), 7 свойства (2), 9 образцы преобразований (2), 11 стандартная запись (1), 13 шкала мира (1), 14 сравнение (1), 16 действия (2). Все теоретические слайды сохранены полностью.
Практика: 3 разминка (2), 6 (1), 8 (2), 10 (2), 12 (2), 15 (1), 17 (2) — «образец → сам»; 18 найди ошибку (2), 19–20 задания (3 + 3), 21 самопроверка и ОГЭ (3), 22 из жизни (2), 23 самостоятельная (4), 24 рефлексия и ДЗ (2).
Вопрос по рисунку: «Во сколько раз уменьшается каждая следующая полоска-число?» (в 10 раз — поэтому после 10⁰ = 1 идут 0,1 и 0,01).

R02.1–R02.4

Цели урока

Сегодня вы покажете, что умеете

Степень с целым показателем

применять понятие, преобразовывать выражения со степенями (ПР-4, REQ-2.1)

Стандартная запись числа

записывать большие и малые числа с помощью степеней числа 10 (ПР-3, REQ-1.3)

Сравнение и действия

сравнивать, умножать, делить и возводить в степень числа в стандартном виде

Размеры мира

выражать размеры объектов и длительность процессов степенями 10

1 мин · теория
ПР-3 (дословно ФРП): «Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10».
ПР-4: «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
Карточки 3–4 — из видов деятельности строки R02: «Сравнивать числа и величины, записанные с использованием степени 10», «Выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде», «Использовать запись чисел в стандартном виде для выражения размеров объектов, длительности процессов».

повторение: R02.1–R02.4

Разминка · устно

Восемь вопросов — без тетради

Вычислите или упростите

$2^{5} = ?$ $32$
$1 0^{- 3} = ?$ $0, 001$
$(\frac{1}{3})^{- 2} = ?$ $9$
$a^{3} \cdot a^{4} = ?$ $a^{7}$

Какой показатель?

$(a^{2})^{5} = a^{?}$ $10$
$4^{- 1} = ?$ $0, 25$
$0, 06 = 6 \cdot 1 0^{?}$ $- 2$
$520000 = 5, 2 \cdot 1 0^{?}$ $5$

R02.1–R02.4

Карта темы

Четыре единицы одной темы

R02.1

Определение

Показатель меньше на 1 — значение меньше в 2 раза

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

при $a \neq = 0$ ;
$n$ — натуральное

R02.1

Практика · образец → сам

Вычислите по определению

Образец

5^{- 2}

= \frac{1}{5 ^{2}}

= \frac{1}{25}

Сам

$2^{- 4}$ $\frac{1}{16}$
$1 0^{- 1}$ $0, 1$
$(\frac{2}{3})^{- 1}$ $\frac{3}{2}$
$(- 6)^{0}$ $1$

R02.4

Сводная таблица формул · a ≠ 0, b ≠ 0, m и n — целые

Шесть свойств степени

Умножение

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

$2^{- 5} \cdot 2^{7} = 2^{2} = 4$

Деление

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

$3^{4} : 3^{6} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$

Степень степени

$(a^{m})^{n} = a^{mn}$

$(5^{- 1})^{2} = 5^{- 2} = \frac{1}{25}$

Степень произведения

$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$

$(2 x)^{- 3} = 2^{- 3} x^{- 3} = \frac{1}{8 x ^{3}}$

Степень дроби

$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$

$(\frac{3}{x})^{2} = \frac{9}{x ^{2}}$

«Переворот» дроби

$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$

$(\frac{2}{5})^{- 2} = \frac{25}{4} = 6, 25$

R02.4

Практика · образец → сам

Свойства степени: показатели, потом значение

Образец

3^{- 7} \cdot 3^{5} : 3^{- 4}

= 3^{- 7 + 5 - (- 4)}

= 3^{2} = 9

Сам

$2^{- 3} \cdot 2^{8}$ $32$
$7^{5} : 7^{7}$ $\frac{1}{49}$
$(4^{- 1})^{- 2}$ $16$
$(\frac{3}{4})^{- 2}$ $\frac{16}{9}$

R02.1, R02.4

Преобразования выражений

Четыре образца: сначала показатели, потом значение

Степень степени и произведение

$(a^{- 3})^{2} \cdot a^{8} = a^{- 6} \cdot a^{8}$ $= a^{2}$

Деление на отрицательную степень

$x^{5} : x^{- 2} = x^{5 - (- 2)}$ $= x^{7}$

Одночлен в степени

$(2 a^{- 2} b)^{3} = 8 a^{- 6} b^{3}$ $= \frac{8 b ^{3}}{a ^{6}}$

Одно основание

$\frac{2 ^{- 4} \cdot 8 ^{2}}{4 ^{- 1}} = \frac{2 ^{- 4} \cdot 2 ^{6}}{2 ^{- 2}}$ $= 2^{4} = 16$

R02.1, R02.4

Практика · образец → сам

Упростите выражение

Образец

(a^{- 2})^{3} \cdot a^{10}

= a^{- 6} \cdot a^{10}

= a^{4}

Сам

$(x^{- 1})^{4} \cdot x^{6}$ $x^{2}$
$y^{3} : y^{- 5}$ $y^{8}$
$(3 a^{- 1} b^{2})^{2}$ $\frac{9 b ^{4}}{a ^{2}}$
$\frac{9 ^{- 2} \cdot 2 7 ^{2}}{3 ^{- 1}}$ $27$

R02.2

Стандартная запись числа

Считаем, на сколько знаков сдвинулась запятая

a \cdot 1 0^{n}, 1 \leq a < 10, n

— целое

n

— порядок числа

R02.2

Практика · образец → сам

Запишите в стандартном виде

Образец

0, 000304

запятая — на 4 шага вправо

= 3, 04 \cdot 1 0^{- 4}

Сам

$72000$ $7, 2 \cdot 1 0^{4}$
$0, 0091$ $9, 1 \cdot 1 0^{- 3}$
$15 \cdot 1 0^{5}$ $1, 5 \cdot 1 0^{6}$
$0, 4 \cdot 1 0^{- 2}$ $4 \cdot 1 0^{- 3}$

R02.3

Размеры и длительность

Шкала мира: один шаг — в 10 раз

сутки

$\approx 8, 6 \cdot 1 0^{4}$ с

год

$\approx 3, 2 \cdot 1 0^{7}$ с

жизнь человека

$\approx 2, 5 \cdot 1 0^{9}$ с

возраст Земли

$\approx 4, 5 \cdot 1 0^{9}$ лет

R02.2

Сравнение чисел в стандартном виде

Сначала порядок, потом множитель

$3, 2 \cdot 1 0^{- 5}$ > $7, 1 \cdot 1 0^{- 6}$

$- 5 > - 6$

$4, 1 \cdot 1 0^{8}$ > $3, 9 \cdot 1 0^{8}$

порядки равны, $4, 1 > 3, 9$

$9, 9 \cdot 1 0^{3}$ < $1, 2 \cdot 1 0^{4}$

$3 < 4$ — множитель уже не важен

R02.2

Практика · образец → сам

Сравните числа

Образец

4, 7 \cdot 1 0^{- 8} ? 1, 3 \cdot 1 0^{- 7}

порядки: $- 8 < - 7$

4, 7 \cdot 1 0^{- 8} < 1, 3 \cdot 1 0^{- 7}

Сам: поставьте > или <

$2, 5 \cdot 1 0^{- 3} ? 9, 8 \cdot 1 0^{- 4}$ $>$
$6, 1 \cdot 1 0^{5} ? 6, 01 \cdot 1 0^{5}$ $>$
$8 \cdot 1 0^{- 7} ? 1, 1 \cdot 1 0^{- 6}$ $<$
$5 \cdot 1 0^{3} ? 49 \cdot 1 0^{2}$ $>$

R02.2, R02.4

Действия с числами в стандартном виде

Множители — отдельно, степени 10 — отдельно

Умножение

$(4 \cdot 1 0^{5}) \cdot (2, 5 \cdot 1 0^{- 8})$

$= 10 \cdot 1 0^{- 3}$

$= 1 \cdot 1 0^{- 2}$

Деление

$(6, 3 \cdot 1 0^{7}) : (9 \cdot 1 0^{3})$

$= 0, 7 \cdot 1 0^{4}$

$= 7 \cdot 1 0^{3}$

Возведение в степень

$(3 \cdot 1 0^{- 4})^{2}$

$= 3^{2} \cdot 1 0^{- 8}$

$= 9 \cdot 1 0^{- 8}$

Множитель вышел за границы

1 \leq a < 10

— сдвиньте запятую и поправьте порядок: $10 \cdot 1 0^{- 3} = 1 0^{- 2}$ .

R02.2, R02.4

Практика · образец → сам

Вычислите, ответ — в стандартном виде

Образец

(2 \cdot 1 0^{- 3}) \cdot (4, 5 \cdot 1 0^{6})

= (2 \cdot 4, 5) \cdot 1 0^{- 3 + 6}

= 9 \cdot 1 0^{3}

Сам

$(3 \cdot 1 0^{4}) \cdot (3 \cdot 1 0^{- 9})$
$9 \cdot 1 0^{- 5}$
$(8 \cdot 1 0^{5}) \cdot (5 \cdot 1 0^{- 2})$
$4 \cdot 1 0^{4}$
$(1, 8 \cdot 1 0^{- 2}) : (6 \cdot 1 0^{3})$
$3 \cdot 1 0^{- 6}$
$(2 \cdot 1 0^{- 3})^{3}$ $8 \cdot 1 0^{- 9}$

R02.1–R02.4

Найди ошибку

Пять ловушек темы

Неверно	Верно
$2^{- 3} = - 8$	$2^{- 3} = \frac{1}{8}$
$7^{0} = 0$	$7^{0} = 1$
$a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$	$a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$
$0, 0043 = 4, 3 \cdot 1 0^{3}$	$0, 0043 = 4, 3 \cdot 1 0^{- 3}$
$45 \cdot 1 0^{6}$ — стандартный вид	$45 \cdot 1 0^{6} = 4, 5 \cdot 1 0^{7}$

R02.1, R02.4

Задания · часть 1

Степени и преобразования

база Вычислите: $5^{- 2} \cdot 25 + 7^{0}$ $2$
база Представьте в виде степени: $a^{- 4} \cdot a^{9} : a^{3}$ $a^{2}$
повыш. Упростите: $(x^{- 3})^{2} \cdot x^{8} : (x^{2})^{- 1}$
$x^{4}$

Подсказка-цепочка

R02.2–R02.4

Задания · часть 2

Стандартная запись и практика

база Запишите в стандартном виде: 4 500 000; 0,00078
$4, 5 \cdot 1 0^{6}; 7, 8 \cdot 1 0^{- 4}$
повыш. Вычислите: $(1, 2 \cdot 1 0^{- 3}) \cdot (5 \cdot 1 0^{7})$ $6 \cdot 1 0^{4}$
практика До Солнца ≈ $1, 5 \cdot 1 0^{8}$ км, скорость света ≈ $3 \cdot 1 0^{5}$ км/с. За сколько секунд свет Солнца долетает до Земли? $500$ с

ОГЭ, линия 8

Найдите значение выражения

a^{- 10} \cdot (a^{4})^{3}

при

a = 5

$25$

R02.1, R02.2, R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и проверьте

повыш.Вычислите: $3^{- 2} \cdot 27 + 5^{0}$ $4$
повыш.Упростите:
$(a^{- 2} b^{3})^{- 2} \cdot a^{- 3} b^{7}$ $ab$
повыш.Вычислите:
$(2^{- 1} + 3^{- 1})^{- 1}$ $1, 2$

ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения
$\frac{a ^{- 6} \cdot a ^{4}}{a ^{- 5}}$ при $a = 3$ $27$
ОГЭ, линия 6Найдите значение выражения
$(4 \cdot 1 0^{- 3}) \cdot (2 \cdot 1 0^{- 2})$ $0, 00008$
ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения
$\frac{1}{2 ^{- 6} \cdot 2 ^{3}}$ $8$

R02.3

Практика · из жизни

Сколько волос уложится в 1 см?

Толщина волоса ≈ $8 \cdot 1 0^{- 5}$ м. Сколько волос, уложенных вплотную, поместится на отрезке 1 см?

1 см = 1 0^{- 2} м

1 0^{- 2} : (8 \cdot 1 0^{- 5}) = 0, 125 \cdot 1 0^{3}

= 125

волос

R02.1, R02.2, R02.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вычислите: $4^{- 2} \cdot 32$ $2$
Упростите: $a^{- 5} \cdot a^{9} : a^{2}$ $a^{2}$
Стандартный вид: $0, 00062$ $6, 2 \cdot 1 0^{- 4}$
$(5 \cdot 1 0^{- 4}) \cdot (1, 6 \cdot 1 0^{7})$ $8 \cdot 1 0^{3}$

Вариант 2

Вычислите: $3^{- 3} \cdot 54$ $2$
Упростите: $b^{7} : b^{- 2} \cdot b^{- 6}$ $b^{3}$
Стандартный вид: $8300000$ $8, 3 \cdot 1 0^{6}$
$(9 \cdot 1 0^{8}) : (1, 5 \cdot 1 0^{3})$ $6 \cdot 1 0^{5}$

рефлексия · ДЗ

Итог темы

Проверьте себя и подготовьтесь к контрольной

Ответьте одной фразой

Почему $2^{- 1} = 0, 5$ , а не $- 2$ ?
Как по порядку $n$ понять, что число меньше 1?
Какое свойство степени вам труднее всего?

Домашнее задание

Вычислите $2^{- 3} \cdot 16$ ; упростите $(a^{5})^{- 2} \cdot a^{13}$ ; сравните $3, 2 \cdot 1 0^{- 5}$ и $7, 1 \cdot 1 0^{- 6}$ ; масса Земли $6 \cdot 1 0^{24}$ кг, Луны $7, 4 \cdot 1 0^{22}$ кг — во сколько раз Земля тяжелее?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-022 · Обобщение и систематизация по теме «Числа и вычисления. Степень с целым показателем»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления. Степень с целым показателем», 7 ч · урок 7/7 · тип О
Единицы → слайды	R02.1 → 3, 4, 5, 6, 9, 10, 18, 19, 21, 23 · R02.2 → 3, 4, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 23 · R02.3 → 4, 13, 20, 22 · R02.4 → 3, 4, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 19, 21, 23
Результаты	ПР-3 / REQ-1.3 (записи больших и малых чисел с помощью степеней 10) → 11–17, 20–23 · ПР-4 / REQ-2.1 (степень с целым показателем, преобразования) → 5–10, 18, 19, 21, 23
ОГЭ	линия 8 (степени и корни) → 20, 21 · линия 6 (действия с числами) → 21
Время	теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16 — сохранены полностью) · практика 31 мин (69 %)
Вне урока	квадратный трёхчлен — R03 (ALG8-023); степень с рациональным показателем — 10–11 классы
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending