Степень с целым показателем · урок 2 из 7

Стандартная запись числа

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · ALG8-017

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Числа и вычисления. Степень с целым показателем» (7 ч), урок 2/7, единица R02.2 «Стандартная запись числа». Тип урока — Н. Опора — урок ALG8-016 (степень с целым показателем: 10⁰ = 1, 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ).
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Итого 45 мин.
Теория (14 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 5 (проблема) 1 · 6 (сдвиг запятой) 1 · 7 (определение) 1 · 8 (условие 1 ≤ a < 10) 1 · 9 (алгоритм, большое число) 2 · 11 (малое число) 1 · 13 (знак порядка) 1 · 14 (обратный переход) 1 · 16 (сравнение) 2 · 19 (схема-опора) 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31 мин): разминка и «Вспомним» (сл. 3–4) 4 · «образец → сам» после каждого правила (сл. 10, 12, 15, 17) 8 · «найди ошибку» (сл. 18) 2 · закрепление и задания с самопроверкой (сл. 20–21) 7 · формат ОГЭ (сл. 22) 2 · задача из жизни (сл. 23) 2 · самостоятельная работа (сл. 24) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 25) 2.
Если не успеваете: задания 5–6 сл. 21 и задачу из жизни (сл. 23) перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Записывать числа в стандартном виде

большие и малые: $45000000 = 4, 5 \cdot 1 0^{7}$ (ПР-3, REQ-1.3)

Находить порядок числа

и понимать его знак (ПР-3, REQ-1.3)

Возвращаться к десятичной записи

$8, 1 \cdot 1 0^{- 3} = 0, 0081$ (ПР-4, REQ-2.1)

Сравнивать числа

записанные с помощью степени 10 (ПР-3, REQ-1.3)

повторение: R02.1

Разминка · устно

Сдвигаем запятую в уме

Вычислите

$4, 5 \cdot 100$ 450
$3, 2 \cdot 1000$ 3 200
$7, 1 : 10$ 0,71
$56 : 1000$ 0,056

Ответьте

Сколько цифр в числе 45 000 000? 8
Сколько нулей стоит перед 7 в числе 0,0007? 4
Верно ли, что $1 \leq 9, 9 < 10$ ? да
Что больше: 0,03 или 0,1? 0,1

повторение: R02.1

Вспомним

Степени числа 10

$1 0^{6} = ?$

$1 0^{- 5} = ?$

$0, 0001 = 1 0^{?}$

R02.2

Проблема

Как записать коротко?

R02.2 · опора R02.1

Ключевая идея

Умножить на $1 0^{n}$ — сдвинуть запятую

R02.2

Определение

Стандартный вид числа

a \cdot 1 0^{n}

где

1 \leq a < 10

,

n

— целое число, порядок числа

R02.2

Проверяем условие

Стандартный вид или нет?

Запись	$1 \leq a < 10$ ?	Стандартный вид
$3, 2 \cdot 1 0^{5}$	да	$3, 2 \cdot 1 0^{5}$
$32 \cdot 1 0^{4}$	нет: $a = 32$	$3, 2 \cdot 1 0^{5}$
$0, 32 \cdot 1 0^{6}$	нет: $a = 0, 32$	$3, 2 \cdot 1 0^{5}$
$10 \cdot 1 0^{2}$	нет: $a = 10$	$1 \cdot 1 0^{3}$
$7 \cdot 1 0^{- 3}$	да	$7 \cdot 1 0^{- 3}$

R02.2

Алгоритм · большое число

45 000 000 → стандартный вид

R02.2

Большие числа · образец → сам

Запишите в стандартном виде

Образец: 2 040 000

a = 2, 04

запятая сдвинулась влево на 6 знаков

n = 6

2040000 = 2, 04 \cdot 1 0^{6}

проверка: 7 цифр − 1 = 6

Сам

3 900 $3, 9 \cdot 1 0^{3}$
507 000 $5, 07 \cdot 1 0^{5}$
81 000 000 $8, 1 \cdot 1 0^{7}$
12,5 $1, 25 \cdot 1 0^{1}$

R02.2

Алгоритм · малое число

0,00036 → стандартный вид

R02.2

Малые числа · образец → сам

Запишите в стандартном виде

Образец: 0,0025

a = 2, 5

запятая сдвинулась вправо на 3 знака

n = - 3

0, 0025 = 2, 5 \cdot 1 0^{- 3}

проверка: перед 2 стоят три нуля

Сам

0,04 $4 \cdot 1 0^{- 2}$
0,00071 $7, 1 \cdot 1 0^{- 4}$
0,309 $3, 09 \cdot 1 0^{- 1}$
0,000008 $8 \cdot 1 0^{- 6}$

R02.2

Знак порядка

По числу сразу видно знак $n$

R02.2 · R02.1

Обратный переход

Из стандартного вида — в десятичную запись

$n > 0$

запятая вправо на $n$ знаков

$n < 0$

запятая влево на $∣ n ∣$ знаков

Стандартный вид	Сдвиг	Число
$2, 07 \cdot 1 0^{5}$	→ 5	207 000
$1, 234 \cdot 1 0^{2}$	→ 2	123,4
$5 \cdot 1 0^{0}$	нет	5
$6 \cdot 1 0^{- 1}$	← 1	0,6
$8, 1 \cdot 1 0^{- 3}$	← 3	0,0081

R02.2 · R02.1

Обратный переход · образец → сам

Запишите десятичной записью

Образец: $3, 05 \cdot 1 0^{4}$

n = 4 > 0

запятая вправо на 4 знака, два нуля дописываем

3, 05 \cdot 1 0^{4} = 30500

проверка: $3, 05 \cdot 10000 = 30500$

Сам

$4, 2 \cdot 1 0^{3}$ 4 200
$7, 08 \cdot 1 0^{6}$ 7 080 000
$9 \cdot 1 0^{- 2}$ 0,09
$2, 5 \cdot 1 0^{- 4}$ 0,00025

R02.2

Сравнение чисел в стандартном виде

Сначала порядок, потом $a$

Порядки разные

больше число с бо́льшим порядком

$7, 2 \cdot 1 0^{5} < 1, 8 \cdot 1 0^{6}$

Порядки равны

сравниваем множители $a$

$4, 1 \cdot 1 0^{- 3} > 3, 9 \cdot 1 0^{- 3}$

R02.2

Сравнение · образец → сам

Поставьте знак $<$ или $>$

Образец: $1, 2 \cdot 1 0^{- 2}$ и $9 \cdot 1 0^{- 3}$

порядки:

- 2

и

- 3

- 2 > - 3

1, 2 \cdot 1 0^{- 2} > 9 \cdot 1 0^{- 3}

проверка: $0, 012 > 0, 009$

Сам

$9, 8 \cdot 1 0^{3}$ и $3, 1 \cdot 1 0^{4}$ $<$
$6 \cdot 1 0^{- 5}$ и $5, 9 \cdot 1 0^{- 5}$ $>$
$7 \cdot 1 0^{- 4}$ и $2 \cdot 1 0^{- 3}$ $<$
$4, 7 \cdot 1 0^{6}$ и $4, 8 \cdot 1 0^{5}$ $>$

R02.2

Найдите ошибку

Типичные ошибки

Неверно	Почему	Верно
$45000 = 45 \cdot 1 0^{3}$	$a = 45$ , а нужно $1 \leq a < 10$	$4, 5 \cdot 1 0^{4}$
$0, 0036 = 3, 6 \cdot 1 0^{3}$	число меньше 1 → порядок отрицательный	$3, 6 \cdot 1 0^{- 3}$
$0, 0036 = 3, 6 \cdot 1 0^{- 2}$	сдвиг запятой — 3 знака, а не 2 нуля после запятой	$3, 6 \cdot 1 0^{- 3}$
$2, 1 \cdot 1 0^{4} = 2100$	запятую сдвигают на 4 знака, а не на 3	21 000

R02.2

Схема-опора

Записываем число $x > 0$ в стандартном виде

R02.2

Закрепление · задания с самопроверкой

Решите и проверьте

базаЗапишите в стандартном виде: 7 300; 0,052.
$7, 3 \cdot 1 0^{3}$ ; $5, 2 \cdot 1 0^{- 2}$
базаНайдите порядок числа: 640 000; 0,0008.
$5$ ; $- 4$
повыш.Запишите десятичной дробью: $6, 05 \cdot 1 0^{4}$ ; $1, 2 \cdot 1 0^{- 5}$ .
60 500; 0,000012

повыш.Расположите по возрастанию: $3 \cdot 1 0^{- 2}$ ; $8 \cdot 1 0^{- 3}$ ; $1, 5 \cdot 1 0^{- 2}$ .
$8 \cdot 1 0^{- 3}; 1, 5 \cdot 1 0^{- 2}; 3 \cdot 1 0^{- 2}$
практикаСкорость света ≈ 300 000 км/с, толщина листа бумаги ≈ 0,0001 м. Запишите в стандартном виде.
$3 \cdot 1 0^{5}$ км/с; $1 \cdot 1 0^{- 4}$ м
ОГЭ, линия 6Запишите десятичную дробь, равную сумме $4 \cdot 1 0^{- 1} + 2 \cdot 1 0^{- 2} + 7 \cdot 1 0^{- 4}$ .
0,4207

R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и проверьте

повыш.Запишите в стандартном виде:
$0, 5 \cdot 1 0^{- 3}$ $5 \cdot 1 0^{- 4}$
повыш.Запишите в стандартном виде:
$270 \cdot 1 0^{5}$ $2, 7 \cdot 1 0^{7}$
повыш.Найдите порядок числа
$0, 003 \cdot 10000$ 1

повыш.По возрастанию:
$4, 2 \cdot 1 0^{- 1}$ ; $3, 9 \cdot 1 0^{- 2}$ ; $5 \cdot 1 0^{- 2}$
$3, 9 \cdot 1 0^{- 2}; 5 \cdot 1 0^{- 2}; 4, 2 \cdot 1 0^{- 1}$
практикаСколько цифр в записи числа $6, 4 \cdot 1 0^{9}$ ? 10
ОГЭ, линия 6Запишите десятичную дробь:
$3 \cdot 1 0^{- 1} + 5 \cdot 1 0^{- 3} + 2 \cdot 1 0^{- 4}$ 0,3052

R02.2

Формат ОГЭ · линия 7

Какая точка соответствует числу $6, 5 \cdot 1 0^{- 1}$ ?

1) A2) B3) C4) D

R02.2

Практика · из жизни

Размеры в природе

Объект	Размер, м	Стандартный вид
Вирус гриппа	0,0000001	$1 \cdot 1 0^{- 7}$
Бактерия	0,000002	$2 \cdot 1 0^{- 6}$
Муравей	0,005	$5 \cdot 1 0^{- 3}$
Земля — Солнце	150 000 000 000	$1, 5 \cdot 1 0^{11}$

1. Заполните

последний столбец таблицы

2. Что больше?

толщина волоса $8 \cdot 1 0^{- 5}$ м или бактерия?

волос: $8 \cdot 1 0^{- 5} > 2 \cdot 1 0^{- 6}$

R02.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

В стандартном виде: 63 000 $6, 3 \cdot 1 0^{4}$
В стандартном виде: 0,0049 $4, 9 \cdot 1 0^{- 3}$
Десятичной дробью: $5, 6 \cdot 1 0^{- 3}$ 0,0056
Сравните: $2, 4 \cdot 1 0^{5}$ и $9, 1 \cdot 1 0^{4}$ $>$

Вариант 2

В стандартном виде: 870 000 $8, 7 \cdot 1 0^{5}$
В стандартном виде: 0,00062 $6, 2 \cdot 1 0^{- 4}$
Десятичной записью: $3, 8 \cdot 1 0^{4}$ 38 000
Сравните: $7, 5 \cdot 1 0^{- 4}$ и $1, 2 \cdot 1 0^{- 3}$ $<$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Каким может быть $a$ в записи $a \cdot 1 0^{n}$ ?
Когда порядок числа отрицательный?
Как сравнить два числа в стандартном виде?

Домашнее задание

В стандартном виде: 52 000 000; 0,00094; 1 000
Десятичной дробью: $3, 4 \cdot 1 0^{- 3}$ ; сравните $6, 1 \cdot 1 0^{7}$ и $5, 9 \cdot 1 0^{8}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-017 · Стандартная запись числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления. Степень с целым показателем», 7 ч · урок 2/7 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R02.2 «Стандартная запись числа» → 2, 5–25 · опора: R02.1 (степень с целым показателем, урок ALG8-016) → 3, 4, 6, 14, 15
Результаты	ПР-3 / REQ-1.3 (записи больших и малых чисел с помощью степеней 10) → 5–13, 16–25 · ПР-4 / REQ-2.1 (понятие степени с целым показателем) → 3, 4, 6, 14, 15, 20–22
Вне урока	размеры объектов и длительность процессов — ALG8-018 (R02.3); свойства степени и действия с числами в стандартном виде (умножение, деление, возведение в степень) — ALG8-019 и далее (R02.4)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Стандартная запись числа

Сегодня вы научитесь

Записывать числа в стандартном виде

Находить порядок числа

Возвращаться к десятичной записи

Сравнивать числа

Сдвигаем запятую в уме

Вычислите

Ответьте

Степени числа 10

Как записать коротко?

Умножить на 10n — сдвинуть запятую

Стандартный вид числа

Стандартный вид или нет?

45 000 000 → стандартный вид

Запишите в стандартном виде

Образец: 2 040 000

Сам

0,00036 → стандартный вид

Запишите в стандартном виде

Образец: 0,0025

Сам

По числу сразу видно знак n

Из стандартного вида — в десятичную запись

n>0

n<0

Запишите десятичной записью

Образец: 3,05⋅104

Сам

Сначала порядок, потом a

Порядки разные

Порядки равны

Поставьте знак < или >

Образец: 1,2⋅10−2 и 9⋅10−3

Сам

Типичные ошибки

Записываем число x>0 в стандартном виде

Решите и проверьте

Решите и проверьте

Какая точка соответствует числу 6,5⋅10−1?

Размеры в природе

1. Заполните

2. Что больше?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-017 · Стандартная запись числа

Умножить на $1 0^{n}$ — сдвинуть запятую

По числу сразу видно знак $n$

$n > 0$

$n < 0$

Образец: $3, 05 \cdot 1 0^{4}$

Сначала порядок, потом $a$

Поставьте знак $<$ или $>$

Образец: $1, 2 \cdot 1 0^{- 2}$ и $9 \cdot 1 0^{- 3}$

Записываем число $x > 0$ в стандартном виде

Какая точка соответствует числу $6, 5 \cdot 1 0^{- 1}$ ?