Степень с целым показателем · урок 1 из 7

Степень с целым показателем

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · ALG8-016

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2, 5–9, 11, 13, 15–16, 18 — все определения, выводы, алгоритм и схемы показываются полностью, по 1–2 мин на слайд.
Практика (32 мин): разминка и устный счёт (сл. 3–4) 4 · «образец → сам» после каждого правила (сл. 10, 12, 14, 17, 19) 10 · «найди ошибку» (сл. 20) 2 · задания с самопроверкой (сл. 21–22) 8 · задача из жизни (сл. 23) 2 · самостоятельная работа (сл. 24) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 25) 2.
Паспорт: R02 «Числа и вычисления. Степень с целым показателем» (7 ч), урок 1/7, единица R02.1. Тип урока — Н.
Если не успеваете: задачу из жизни (сл. 23) и задания 4–6 сл. 22 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять степень

с нулевым и отрицательным показателем: $a^{0}$ , $a^{- n}$ (ПР-4, REQ-2.1)

Вычислять

значения степеней: $5^{- 2}$ , $(\frac{2}{3})^{- 2}$ , $(- 2)^{- 3}$ (ПР-4)

Записывать малые числа

с помощью степеней числа 10: $0, 001 = 1 0^{- 3}$ (ПР-3, REQ-1.3)

Сравнивать

степени и отмечать их на координатной прямой (ПР-1, REQ-1.1)

повторение: 6–7 класс

Разминка · устно

Степени и обратные числа — без тетради

Вычислите

$3^{3} = ?$ 27
$(- 2)^{3} = ?$ −8
$0, 1^{2} = ?$ 0,01
$(\frac{1}{2})^{3} = ?$ $\frac{1}{8}$

Назовите обратное число

к $4$ $\frac{1}{4}$
к $\frac{2}{5}$ $\frac{5}{2}$
к $0, 2$ 5
к $- 3$ $- \frac{1}{3}$

повторение: 7 класс

Вспомним

Степень с натуральным показателем

Устно

$2^{5} = ?$ $1 0^{4} = ?$
$(- 3)^{2} = ?$ $(- 1)^{7} = ?$
$(\frac{2}{3})^{2} = ?$
$2^{0} = ?$ $2^{- 1} = ?$

R02.1

Проблема

Сколько раз умножить 2 на себя, чтобы получить $2^{0}$ ? $2^{- 1}$ ?

R02.1

Ищем закономерность

Уменьшаем показатель на 1 — делим на 2

R02.1

Та же закономерность для 10

Разряды десятичной записи — степени числа 10

R02.1

Определение

Степень с нулевым и отрицательным показателем

a^{0} = 1

$a \neq = 0$

7^{0} = 1, (- 3, 5)^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

$a \neq = 0$ , $n$ — натуральное

5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}

Теперь показатель может быть любым целым: …, −2, −1, 0, 1, 2, …

R02.1

Почему определение именно такое

Старое правило $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ сохраняется

2^{3} \cdot 2^{0} = 2^{3 + 0} = 2^{3} \Rightarrow 2^{0} = 1

2^{3} \cdot 2^{- 3} = 2^{3 + (- 3)} = 2^{0} = 1 \Rightarrow 2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}}

Степени

a^{n}

и

a^{- n}

— взаимно обратные числа: их произведение равно 1.

R02.1

Практика · образец → сам

Вычислите по определению

Образец

4^{- 3}

= \frac{1}{4 ^{3}}

= \frac{1}{64}

Сам

$3^{- 3}$ $\frac{1}{27}$
$1 0^{- 2}$ $0, 01$
$(- 8)^{0}$ $1$
$2^{- 5}$ $\frac{1}{32}$

R02.1

Алгоритм

Как вычислить степень с отрицательным показателем

R02.1

Практика · образец → сам

«Переверните» основание и вычислите

Образец

(\frac{3}{4})^{- 2}

= (\frac{4}{3})^{2}

= \frac{16}{9}

Сам

$(\frac{1}{3})^{- 2}$ $9$
$(\frac{2}{5})^{- 1}$ $\frac{5}{2} = 2, 5$
$0, 5^{- 3}$ $8$
$(\frac{3}{2})^{- 3}$ $\frac{8}{27}$

R02.1

Отрицательное основание

Знак степени зависит от основания, а не от знака показателя

Выражение	Решение	Ответ
$(- 2)^{- 2}$	$\frac{1}{( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{4}$	$0, 25$
$(- 2)^{- 3}$	$\frac{1}{( - 2 ) ^{3}} = \frac{1}{- 8}$	$- 0, 125$
$- 2^{- 2}$	$- \frac{1}{2 ^{2}} = - \frac{1}{4}$	$- 0, 25$

Чётный показатель

$(- a)^{- 2 k} > 0$

Нечётный показатель

$(- a)^{- (2 k + 1)} < 0$

Минус без скобок не входит в основание

R02.1

Практика · образец → сам

Сначала знак, потом число

Образец

(- 3)^{- 3}

= \frac{1}{( - 3 ) ^{3}} = \frac{1}{- 27}

= - \frac{1}{27}

Сам

$(- 5)^{- 2}$ $\frac{1}{25}$
$(- 2)^{- 5}$ $- \frac{1}{32}$
$- 3^{- 2}$ $- \frac{1}{9}$
$(- \frac{1}{2})^{- 3}$ $- 8$

R02.1

Осторожно

Найдите ошибку

Запись	Неверно	Верно	Почему
$2^{- 3}$	$- 8$	$\frac{1}{8}$	минус в показателе — не минус числа
$2^{- 3}$	$- 6$	$\frac{1}{8}$	степень — не умножение на показатель
$5^{0}$	0	1	$a^{0} = 1$ при $a \neq = 0$
$1 0^{- 4}$	$0, 00001$	$0, 0001$	после запятой 4 знака
$(\frac{1}{3})^{- 2}$	$\frac{1}{9}$	9	основание «переворачиваем»

R02.1

Степени на координатной прямой

$2^{- n}$ приближается к нулю, но всегда больше нуля

R02.1

Практика · образец → сам

Сравните степени

Образец: $3^{- 1}$ и $2^{- 2}$

3^{- 1} = \frac{1}{3}, 2^{- 2} = \frac{1}{4}

3^{- 1} > 2^{- 2}

Сам: поставьте знак

$5^{- 1}$ и $4^{- 1}$ $<$
$1 0^{- 2}$ и $1 0^{- 3}$ $>$
$(\frac{1}{2})^{- 2}$ и $2^{- 2}$ $>$
$4^{- 1}$ и $2^{- 2}$ $=$

R02.1

Обратная задача

Запишите в виде степени с целым показателем

R02.1

Практика · образец → сам

Запишите в виде степени с отрицательным показателем

Образец

\frac{1}{81}

= \frac{1}{3 ^{4}}

= 3^{- 4}

Сам

$\frac{1}{125}$ $5^{- 3}$
$0, 00001$ $1 0^{- 5}$
$\frac{1}{64}$ $2^{- 6}$
$\frac{1}{y ^{3}}$ $y^{- 3}$

R02.1

Практика · найди ошибку

Ученик решил так. Где ошибка?

Решение ученика	Ошибка	Верно
$4^{- 2} = - 16$	минус показателя сделал знаком числа	$\frac{1}{16}$
$(\frac{2}{3})^{- 1} = - \frac{2}{3}$	не «перевернул» основание	$\frac{3}{2}$
$(- 3)^{- 2} = - \frac{1}{9}$	показатель чётный — результат положителен	$\frac{1}{9}$
$2^{0} + 2^{- 1} = \frac{1}{2}$	посчитал $2^{0} = 0$ , а $2^{0} = 1$	$1, 5$

R02.1

Закрепление · задания с самопроверкой

Решите

базаВычислите: $3^{- 2}; 1 0^{- 3}; 7^{0}; (- 4)^{- 1}$
$\frac{1}{9}; 0, 001; 1; - 0, 25$
базаВычислите: $(\frac{1}{2})^{- 3}; (\frac{2}{5})^{- 2}; (- \frac{1}{3})^{- 3}$
$8; 6, 25; - 27$
повыш.Запишите степенью:
$\frac{1}{32}; 0, 0001; \frac{1}{a ^{6}}$ $2^{- 5}; 1 0^{- 4}; a^{- 6}$

повыш.Сравните: $3^{- 2}$ и $2^{- 3}$ $3^{- 2} < 2^{- 3}$
повыш.Вычислите:
$2^{- 2} + 4^{0} - (\frac{1}{3})^{- 1}$ $- 1, 75$
ОГЭ, линия 6Найдите значение выражения
$6 \cdot 1 0^{- 1} + 4 \cdot 1 0^{- 2} + 3 \cdot 1 0^{- 3}$ $0, 643$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и проверьте

повыш.Вычислите: $5^{- 2} \cdot 100$ $4$
повыш.Вычислите:
$(\frac{1}{2})^{- 2} - 6 \cdot 2^{- 1}$ $1$
повыш.Вычислите: $(- 0, 2)^{- 2} + 1 0^{0}$ $26$

ОГЭ, линия 6Найдите значение выражения
$4 \cdot 1 0^{- 2} + 7 \cdot 1 0^{- 1}$ $0, 74$
ОГЭ, линия 6Найдите значение выражения
$3 \cdot 1 0^{0} + 8 \cdot 1 0^{- 2} + 5 \cdot 1 0^{- 3}$ $3, 085$
повыш.Расположите в порядке возрастания:
$2^{- 1}; 3^{- 2}; 0, 5^{- 1}; 5^{0}$

3^{- 2} < 2^{- 1} < 5^{0} < 0, 5^{- 1}

R02.1

Практика · из жизни

Какой толщины пачка бумаги?

Толщина листа $1 0^{- 4}$ м. Какова толщина пачки из 500 листов? Ответ — в сантиметрах.

1 0^{- 4} = 0, 0001 м

500 \cdot 0, 0001 = 0, 05 м

0, 05 м = 5 см

R02.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вычислите: $6^{- 2}$ $\frac{1}{36}$
Вычислите: $(\frac{3}{5})^{- 2}$ $\frac{25}{9}$
Вычислите: $(- 5)^{- 3}$ $- \frac{1}{125}$
Запишите степенью: $\frac{1}{1000}$ $1 0^{- 3}$

Вариант 2

Вычислите: $9^{- 2}$ $\frac{1}{81}$
Вычислите: $(\frac{4}{3})^{- 2}$ $\frac{9}{16}$
Вычислите: $(- 4)^{- 3}$ $- \frac{1}{64}$
Запишите степенью: $\frac{1}{243}$ $3^{- 5}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равно $a^{0}$ и при каком условии?
Как вычислить $a^{- n}$ ?
Почему $0^{- 2}$ не имеет смысла?

Домашнее задание

Вычислите: $5^{- 2}; (\frac{3}{4})^{- 2}; (- 2)^{- 5}; (- 7)^{0}$
Запишите степенью: $\frac{1}{27}; 0, 01$
Найдите: $2 \cdot 1 0^{- 1} + 5 \cdot 1 0^{- 3}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}

a \neq = 0, b \neq = 0

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-016 · Степень с целым показателем

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления. Степень с целым показателем», 7 ч · урок 1/7 · тип Н
Единицы → слайды	R02.1 «Степень с целым показателем» → 5–25 · опора на степень с натуральным показателем и обратные числа (6–7 класс) → 3–4, 9
Результаты	ПР-4 / REQ-2.1 (понятие степени с целым показателем) → 2, 5–15, 18–22, 24–25 · ПР-3 / REQ-1.3 (малые числа через степени 10) → 7, 10, 18–19, 21–23 · ПР-1 / REQ-1.1 (сравнение, координатная прямая) → 16–17, 21–22 · кодификатор EL-1.3
Время	теория 13 мин (сл. 1–2, 5–9, 11, 13, 15–16, 18) · практика 32 мин (сл. 3–4, 10, 12, 14, 17, 19–25) — 71 %
ОГЭ	задание 6 слайда 21, задания 4–5 слайда 22 — линия 6 (вычисления)
Вне урока	стандартная запись числа — ALG8-017 · размеры объектов и длительность процессов — ALG8-018 · свойства степени с целым показателем — ALG8-019
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Степень с целым показателем

Сегодня вы научитесь

Определять степень

Вычислять

Записывать малые числа

Сравнивать

Степени и обратные числа — без тетради

Вычислите

Назовите обратное число

Степень с натуральным показателем

Устно

Сколько раз умножить 2 на себя, чтобы получить 20? 2−1?

Уменьшаем показатель на 1 — делим на 2

Разряды десятичной записи — степени числа 10

Степень с нулевым и отрицательным показателем

Старое правило am⋅an=am+n сохраняется

Вычислите по определению

Образец

Сам

Как вычислить степень с отрицательным показателем

«Переверните» основание и вычислите

Образец

Сам

Знак степени зависит от основания, а не от знака показателя

Чётный показатель

Нечётный показатель

Сначала знак, потом число

Образец

Сам

Найдите ошибку

2−n приближается к нулю, но всегда больше нуля

Сравните степени

Образец: 3−1 и 2−2

Сам: поставьте знак

Запишите в виде степени с целым показателем

Запишите в виде степени с отрицательным показателем

Образец

Сам

Ученик решил так. Где ошибка?

Решите

Решите и проверьте

Какой толщины пачка бумаги?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-016 · Степень с целым показателем

Сколько раз умножить 2 на себя, чтобы получить $2^{0}$ ? $2^{- 1}$ ?

Старое правило $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ сохраняется

$2^{- n}$ приближается к нулю, но всегда больше нуля

Образец: $3^{- 1}$ и $2^{- 2}$