Квадратные корни · урок 15 из 15 · обобщение

Квадратные корни и действительные числа: собираем тему целиком

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-015

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 15/15, единицы R01.1–R01.8. Тип урока — О (обобщение и систематизация): правила темы повторяются полностью, но основное время — работа учеников.
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Итого 45 мин.
Теория (14 мин): сл. 1–2, 4–6, 8–9, 11, 13, 15 — карта темы, множества чисел, определение, приближения, сравнение, уравнение x² = a, свойства и преобразования показываются полностью, по 1–2 мин на слайд.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 3 · «образец → сам» после каждого блока (сл. 7, 10, 12, 14, 16) 10 · «найди ошибку» (сл. 17) 2 · задания с самопроверкой (сл. 18–19) 7 · формат ОГЭ (сл. 20) 3 · самостоятельная работа (сл. 21) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 22) 2.
Если не успеваете: задание 6 сл. 19 и задачу 4 сл. 18 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.
Рисунок на титуле: диагональ единичного квадрата равна √2 — её откладывают на координатной прямой циркулем. Можно спросить: «Почему √2 — иррациональное число, а точка на прямой у него есть?»

R01.1–R01.8

Цели урока

Сегодня вы покажете, что умеете

Действительные числа

сравнивать, округлять, вычислять, отмечать точками на координатной прямой (ПР-1, REQ-1.1)

Арифметический квадратный корень

находить корни, при необходимости — с калькулятором (ПР-2, REQ-1.2)

Свойства корней

преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни (ПР-2, REQ-1.2)

Уравнение $x^{2} = a$

находить точные и приближённые корни, определять их число

1 мин · теория
ПР-1 (дословно ФРП): «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой».
ПР-2: «Применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
Четвёртая карточка — из видов деятельности строки R01: «Исследовать уравнение x² = a, находить точные и приближенные корни при a > 0».

повторение: R01.1–R01.7

Разминка · устно

Восемь вопросов — без тетради

Вычислите

$81 = ?$ 9
$0, 16 = ?$ 0,4
$1, 3^{2} = ?$ 1,69
$\frac{25}{36} = ?$ $\frac{5}{6}$

Ответьте

$(6)^{2} = ?$ 6
$(- 7)^{2} = ?$ 7
$30$ — между какими целыми? 5 и 6
$1, 44$ — рациональное? да, 1,2

R01.1–R01.8

Карта темы

Восемь шагов одной темы

R01.2, R01.4

Действительные числа

Каждое число — в своём «круге»

R01.1

Определение

Арифметический квадратный корень

a = b, если b \geq 0 и b^{2} = a

подкоренное выражение a ≥ 0

Блиц: вычислите устно

$144 0, 09 \frac{1}{49} - 4$

R01.1, R01.2

Практика · образец → сам

Найдите арифметический квадратный корень

Образец

1, 69

= 1, 3

проверка:

1, 3 \geq 0, 1, 3^{2} = 1, 69

Сам

$0, 64$ 0,8
$\frac{16}{81}$ $\frac{4}{9}$
$2 \frac{1}{4}$ 1,5
$400$ 20
Какое число иррационально?
$36$ , $12$ , $0, 01$ $12$

R01.3

Десятичные приближения

Зажимаем $2$ между дробями

$x$	$x^{2}$
1,4	1,96	< 2
1,5	2,25	> 2
1,41	1,9881	< 2
1,42	2,0164	> 2

2 \approx 1, 4

(до десятых)

2 \approx 1, 41

(до сотых)

R01.4, R01.5

Сравнение и координатная прямая

Больше число — правее точка

Оба числа ≥ 0 — сравни квадраты

$23 ? 32$

$12 < 18$ т. к. 12 < 18

Корень и дробь

$5 ? 2, 3$

$5 < 2, 3^{2} = 5, 29 \Rightarrow 5 < 2, 3$

R01.3–R01.5

Практика · образец → сам

Оцените и сравните

Образец: между какими целыми $40$ ?

36 < 40 < 49

36 < 40 < 49

6 < 40 < 7

Сам

Между какими целыми $20$ ? 4 и 5
Сравните $10$ и $3, 2$ $10 < 3, 2$
Сравните $43$ и $7$ $43 < 7$
Округлите $3 = 1, 732 \dots$ до десятых 1,7

R01.6

Уравнение x² = a

Сколько корней — видно по графику $y = x^{2}$

a > 0 — два корня

$x = a или x = - a$

a = 0 — один корень

$x = 0$

a < 0 — корней нет

$x^{2} \geq 0$ всегда

R01.6

Практика · образец → сам

Решите уравнение $x^{2} = a$

Образец

x^{2} = 11

a = 11 > 0 — два корня

x = 11 или x = - 11

x \approx \pm 3, 32

Сам

$x^{2} = 36$ $\pm 6$
$x^{2} = 0, 04$ $\pm 0, 2$
$x^{2} = 13$ $\pm 13$
$x^{2} + 9 = 0$ корней нет

R01.7

Сводная таблица формул

Свойства арифметических квадратных корней

Формула	Условие	Пример
$ab = a \cdot b$	a ≥ 0, b ≥ 0	$16 \cdot 25 = 4 \cdot 5 = 20$
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$	a ≥ 0, b > 0	$\frac{9}{49} = \frac{3}{7}$
$(a)^{2} = a$	a ≥ 0	$(7)^{2} = 7$
$a^{2} = ∣ a ∣$	a — любое	$(- 5)^{2} = ∣ - 5 ∣ = 5$

R01.7

Практика · образец → сам

Вычислите с помощью свойств корней

Образец

36 \cdot 0, 25

= 36 \cdot 0, 25

= 6 \cdot 0, 5

= 3

Сам

$49 \cdot 0, 04$ 1,4
$2 \cdot 32$ 8
$\frac{98}{2}$ 7
$(- 11)^{2}$ 11

R01.8

Преобразования с корнями

Четыре приёма — четыре образца

Вынести множитель

$72 = 36 \cdot 2$ $= 62$

Внести множитель

$35 = 9 \cdot 5$ $= 45$

Подобные слагаемые

$50 - 18 = 52 - 32$ $= 22$

Корень в знаменателе

$\frac{10}{5} = \frac{10 5}{5}$ $= 25$

(7 - 2) (7 + 2) = 7 - 2 = 5

разность квадратов

R01.8

Практика · образец → сам

Упростите выражение

Образец

48 + 27 - 75

= 43 + 33 - 53

= 23

Сам

Вынесите: $200$ $102$
Внесите: $27$ $28$
$45 - 20$ $5$
$\frac{12}{6}$ $26$

R01.1–R01.8

Найди ошибку

Пять ловушек темы

Неверно	Верно
$9 + 16 = 3 + 4 = 7$	$9 + 16 = 25 = 5$
$(- 3)^{2} = - 3$	$(- 3)^{2} = ∣ - 3 ∣ = 3$
$x^{2} = 25 \Rightarrow x = 5$	$x^{2} = 25 \Rightarrow x = 5 или x = - 5$
$0, 9 = 0, 3$	$0, 09 = 0, 3; 0, 9 \approx 0, 95$
$32 = 6$	$32 = 9 \cdot 2 = 18$

R01.1–R01.5

Задания · часть 1

Числа и корни

база Вычислите: $0, 49 + 1, 21$ 1,8
база Выпишите иррациональные числа: $16$ , $7$ , $0, (3)$ , $π$ , $0, 25$ , $- 3$ $7$ , $π$ , $- 3$
повыш. Расположите в порядке возрастания: $32$ , $23$ , $4$ $23 < 4 < 32$
практика Квадратный участок имеет площадь 50 м². Найдите длину его стороны. ≈ 7,1 м

R01.6–R01.8

Задания · часть 2

Уравнения и преобразования

база Решите уравнения:
$x^{2} = 49$ ; $x^{2} = 7$ ; $x^{2} = - 4$
$\pm 7$ ; $\pm 7$ ; корней нет
повыш. Решите уравнение $(x - 1)^{2} = 9$ $4; - 2$
повыш. Упростите: $50 - 18 + 8$ $42$

ОГЭ, линия 8

Найдите значение выражения

(13 - 3) (13 + 3)

Ответ: 4

R01.4, R01.5, R01.7, R01.8

Задания с самопроверкой · формат ОГЭ

Линии 7 и 8 — как на экзамене

ОГЭ, линия 7Одна из точек соответствует числу $37$ . Какая? C

ОГЭ, линия 7Какое из чисел лежит на отрезке $[4; 5]$ ?
1) $13$ 2) $19$ 3) $27$ 4) $30$ 2

ОГЭ, линия 8
$\frac{12 \cdot 15}{5}$ 6
ОГЭ, линия 8
$(11 - 3) (11 + 3)$ 8
ОГЭ, линия 8
$\frac{( 4 3 ) ^{2}}{24}$ 2

R01.1, R01.5–R01.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вычислите: $0, 25 \cdot 144$ 6
Решите: $x^{2} = 64$ $\pm 8$
Сравните: $35$ и $211$ $35 > 211$
Упростите: $12 + 27 - 3$ $43$

Вариант 2

Вычислите: $0, 81 \cdot 100$ 9
Решите: $x^{2} = 121$ $\pm 11$
Сравните: $27$ и $33$ $27 > 33$
Упростите: $50 + 8 - 2$ $62$

рефлексия · ДЗ

Итог темы

Проверьте себя и подготовьтесь к контрольной

Ответьте одной фразой

Чем рациональное число отличается от иррационального?
Почему у $x^{2} = - 4$ нет корней?
Какой приём темы даётся вам труднее всего?

Домашнее задание

Вычислите $2, 5 \cdot 10$ ; сравните $52$ и $7$ ; решите $x^{2} = 0, 36$ ; освободитесь от корня в знаменателе: $\frac{6}{3}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-015 · Обобщение и систематизация по теме «Числа и вычисления. Квадратные корни»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 15/15 · тип О
Единицы → слайды	R01.1 → 3, 4, 6, 7, 18, 21 · R01.2 → 4, 5, 7, 18 · R01.3 → 4, 8, 10, 18 · R01.4 → 4, 5, 9, 10, 20 · R01.5 → 4, 9, 10, 18, 20, 21 · R01.6 → 4, 11, 12, 19, 21 · R01.7 → 3, 4, 13, 14, 17, 20 · R01.8 → 4, 15, 16, 19, 20, 21
Результаты	ПР-1 / REQ-1.1 (действительные числа, сравнение, округление, координатная прямая) → 3, 5, 7–10, 18, 20, 21 · ПР-2 / REQ-1.2 (арифметический квадратный корень, свойства, преобразования) → 3, 6, 7, 11–17, 19–21
Время	теория 14 мин (сл. 1–2, 4–6, 8–9, 11, 13, 15) · практика 31 мин (сл. 3, 7, 10, 12, 14, 16–22) — 69 %
ОГЭ	линия 7 (числа на координатной прямой) → 20 · линия 8 (степени и корни) → 19, 20
Вне урока	степень с целым показателем и стандартная запись числа — R02 (ALG8-016, ALG8-017); функция $y = x$ — строка «Функции»
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратные корни и действительные числа: собираем тему целиком

Сегодня вы покажете, что умеете

Действительные числа

Арифметический квадратный корень

Свойства корней

Уравнение x2=a

Восемь вопросов — без тетради

Вычислите

Ответьте

Восемь шагов одной темы

Каждое число — в своём «круге»

Арифметический квадратный корень

Блиц: вычислите устно

Найдите арифметический квадратный корень

Образец

Сам

Зажимаем 2​ между дробями

Больше число — правее точка

Оба числа ≥ 0 — сравни квадраты

Корень и дробь

Оцените и сравните

Образец: между какими целыми 40​?

Сам

Сколько корней — видно по графику y=x2

a > 0 — два корня

a = 0 — один корень

a < 0 — корней нет

Решите уравнение x2=a

Образец

Сам

Свойства арифметических квадратных корней

Вычислите с помощью свойств корней

Образец

Сам

Четыре приёма — четыре образца

Вынести множитель

Внести множитель

Подобные слагаемые

Корень в знаменателе

Упростите выражение

Образец

Сам

Пять ловушек темы

Числа и корни

Уравнения и преобразования

ОГЭ, линия 8

Линии 7 и 8 — как на экзамене

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и подготовьтесь к контрольной

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-015 · Обобщение и систематизация по теме «Числа и вычисления. Квадратные корни»

Уравнение $x^{2} = a$

Зажимаем $2$ между дробями

Образец: между какими целыми $40$ ?

Сколько корней — видно по графику $y = x^{2}$

Решите уравнение $x^{2} = a$