Квадратные корни · урок 14 из 15 · практикум

Практикум: уравнение вида x² = a

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-014

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 14/15, единица R01.6 «Уравнение вида x² = a». Тип урока — П (практикум). Продолжение урока ALG8-006: там — вывод и простейшие случаи, здесь — четыре типа заданий, исследование числа корней, типичные ошибки и самостоятельная работа.
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): титул 1 и цели 1 (сл. 1–2) · опорная схема 2 (сл. 5) · разбор четырёх типов по 2 (сл. 6, 8, 10, 12) · итог и ДЗ 1 (сл. 20).
Практика (32): разминка 2 + 2 (сл. 3–4) · «образец → сам» после каждого типа 3 + 3 + 3 + 3 (сл. 7, 9, 11, 13) · исследование по графику 2 (сл. 14) · блиц «сколько корней» 2 (сл. 15) · найди ошибку 2 (сл. 16) · закрепление 3 (сл. 17) · повышенный уровень и ОГЭ 3 (сл. 18) · самостоятельная работа 4 (сл. 19).
Ответы на всех практических слайдах открываются по клику (→). Если не успеваете: задание 4 на сл. 11 и сл. 18 перенести в ДЗ.

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Приводить к виду x² = a

и решать: 2x² − 1 = 17, (2x − 3)² = 25 (ПР-8, REQ-3.1)

Записывать точный ответ

$x = \pm 12 = \pm 23 \approx \pm 3, 46$ (ПР-2, REQ-1.2)

Определять число корней

по знаку a и по графику (ПР-9, REQ-3.2)

Применять в задачах

находить сторону, радиус, время по формуле (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-n — номер предметного результата 8 класса по порядку ФРП. ПР-2 (REQ-1.2): «Применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор…»; ПР-7 (REQ-2.4): «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики»; ПР-8 (REQ-3.1): «Решать линейные, квадратные уравнения…»; ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько…)».
Вид деятельности ФРП: «Исследовать уравнение x² = a, находить точные и приближённые корни при a > 0»; «Выражать переменные из геометрических и физических формул».

повторение: R01.1, R01.6

Разминка

Квадраты чисел — опора для корней

Устно: решите

$x^{2} = 196$ ±14
$x^{2} = 0, 25$ ±0,5
$x^{2} = 0$ 0
$x^{2} = - 4$ нет корней
$x^{2} = 7$ $\pm 7$

повторение: R01.3, R01.7

Разминка · устно

Корни, которые пригодятся в ответах

Вынесите множитель из-под корня

$12$ $23$
$50$ $52$
$75$ $53$
$18$ $32$

Вычислите или оцените

$0, 09$ 0,3
$0, 49$ 0,7
$30$ — между какими целыми? 5 и 6
$3 \approx ?$ (до сотых) 1,73

R01.6

Опорная схема практикума

Любое такое уравнение решаем за три шага

R01.6

Тип 1 · привести к виду x² = a

2x² − 1 = 17: сначала переносим, потом делим

Ваша очередь

4x² − 9 = 0
5x² + 45 = 0
7 + 3x² = 7

R01.6

Практика · образец → сам · тип 1

Приведите к виду x² = a и решите

Образец

3 x^{2} + 5 = 53

3 x^{2} = 48

перенесли 5

x^{2} = 16

разделили на 3

x = \pm 4

Сам

$2 x^{2} - 50 = 0$ $\pm 5$
$5 x^{2} + 7 = 52$ $\pm 3$
$4 x^{2} + 1 = 0$ корней нет
$12 - 3 x^{2} = 0$ $\pm 2$

R01.6, R01.3, R01.7

Тип 2 · a — не квадрат

x² = 12: точный ответ и приближённый

R01.6, R01.7

Практика · образец → сам · тип 2

Запишите точный ответ, упростив корень

Образец

x^{2} = 18

x = \pm 18 = \pm 9 \cdot 2

x = \pm 32

x \approx \pm 4, 24

√2 ≈ 1,414

Сам

$x^{2} = 8$ $\pm 22$
$x^{2} = 27$ $\pm 33$
$2 x^{2} = 40$ $\pm 25$
$3 x^{2} = 15$ $\pm 5 \approx \pm 2, 24$

R01.6

Тип 3 · в квадрате — скобка

(2x − 3)² = 25: два линейных уравнения

Ваша очередь

(3x + 1)² = 16
(x + 4)² = −9
(x − 2)² = 0

R01.6

Практика · образец → сам · тип 3

Скобка в квадрате: два линейных уравнения

Образец

(x + 2)^{2} = 9

x + 2 = 3

или

x + 2 = - 3

x = 1

;

x = - 5

Проверка: $3^{2} = 9$ , $(- 3)^{2} = 9$

Сам

$(x - 5)^{2} = 4$ 7; 3
$(2 x + 1)^{2} = 9$ 1; −2
$(3 x - 2)^{2} = 0$ $\frac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} = 7$ $- 1 \pm 7$

R01.6

Тип 4 · формулы из геометрии и физики

Отрицательный корень отбрасываем по смыслу

S = a^{2} \Rightarrow a = S

S = π r^{2} \Rightarrow r = S : π

Ваша очередь

1) Площадь круга 50,24 см², π ≈ 3,14. Радиус?

2) Квадратный участок 200 м². Сторона (до 0,1 м)?

2 мин · теория (разбор образца; «Ваша очередь» — устно, входит в эти 2 мин)
Путь при свободном падении h = gt²/2; при g ≈ 10 м/с² получаем h = 5t². Отрицательный корень t = −3 — корень уравнения, но не ответ задачи: время отрицательным не бывает.
Ответы: 1) r² = 50,24 : 3,14 = 16, r = 4 см; 2) a = √200 = 10√2 ≈ 14,1 м (√2 ≈ 1,414).
Вид деятельности ФРП: «Выражать переменные из геометрических и физических формул». Длина, радиус, время — величины неотрицательные, поэтому берём арифметический корень.

R01.6

Практика · образец → сам · из жизни

Найдите величину по формуле

Образец

Круглая клумба: $S = 28, 26$ м², $π \approx 3, 14$ . Радиус?

3, 14 r^{2} = 28, 26

r^{2} = 9

r = 3

м r = −3 не подходит

Сам

Квадратный зал площадью 64 м². Длина стороны? 8 м
Камень падает с высоты 80 м, $h = 5 t^{2}$ . Время падения? 4 с
Квадратная плитка площадью 0,09 м². Сторона в сантиметрах? 30 см
$E = \frac{m v ^{2}}{2}$ , $m = 2$ кг, $E = 25$ Дж. Скорость $v$ ? 5 м/с

R01.6

Исследуем по графику

x² = b − 5: при каких b сколько корней?

Прямая y = b − 5 пересекает параболу?

b	b − 5	корней
b > 5	> 0	2 (при b = 9: ±2)
b = 5	= 0	1 (x = 0)
b < 5	< 0	0

При каких k у x² = k + 2 два корня?

R01.6

Практика · блиц · устно

Сколько корней? Не решая!

$x^{2} = 3$ 2
$x^{2} = - 3$ 0
$x^{2} + 4 = 4$ 1
$x^{2} + 9 = 0$ 0

$(x - 1)^{2} = 0$ 1
$x^{2} = a^{2} + 1$ 2 при любом a
При каких $c$ у $x^{2} = c - 3$ нет корней? $c < 3$
При каком $m$ у $x^{2} = 2 m$ один корень? $m = 0$

R01.6

Найди ошибку

Пять частых ошибок практикума

Уравнение	Неверно	Верно
x² = 16	x = 4	x = ±4
x² = −16	x = ±4	корней нет
3x² = 27	x² = 24	x² = 9, x = ±3
(x − 1)² = 9	x − 1 = 3, x = 4	x − 1 = ±3, x = 4; x = −2
x² = 0,9	x = ±0,3	$x = \pm 0, 9 \approx \pm 0, 95$

R01.6

Закрепление

Решите

база $6 x^{2} - 24 = 0$ ±2
база $x^{2} = 75$ (ответ упростите) $\pm 53$
повыш. $(5 - 2 x)^{2} = 49$ −1; 6
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{2} = 2 a - 6$ не имеет корней? $a < 3$

практикаКвадратный ковёр имеет площадь 6,25 м². Найдите длину его стороны. 2,5 м
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $3 x^{2} - 48 = 0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. −4

R01.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и проверьте

повыш. $(x - 3)^{2} = 2$ $3 \pm 2$
повыш. $\frac{x ^{2}}{3} - 12 = 0$ $\pm 6$
повыш. $5 (x^{2} - 2) = 3 x^{2} + 8$ $\pm 3$

повыш.При каком $b$ корни уравнения $x^{2} = b + 1$ равны $\pm 4$ ? $b = 15$
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $4 x^{2} = 100$ . Если корней несколько, в ответ запишите больший. 5

R01.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта, потом взаимопроверка

Вариант 1

x² = 81 ±9
2x² − 32 = 0 ±4
(x + 1)² = 36 5; −7
x² = 20 $\pm 25$

Вариант 2

x² = 121 ±11
3x² − 75 = 0 ±5
(x − 3)² = 16 7; −1
x² = 45 $\pm 35$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

С чего начинаем решать 2x² − 1 = 17?
Когда у x² = a нет корней?
Когда отрицательный корень не подходит?

Домашнее задание

5x² − 20 = 0; x² = 18; (4x − 1)² = 9
При каком c у x² = c + 1 ровно один корень?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-014 · Практикум: уравнение вида x² = a

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 14/15 · тип П (практикум); продолжение ALG8-006 · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R01.6 «Уравнение вида x² = a» → 3, 5–20 · опора: R01.1 → 3; R01.3, R01.7 (вынесение множителя, приближения) → 4, 8, 9, 12, 13
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать уравнения) → 5–11, 16–19 · ПР-9 / REQ-3.2 (сколько решений) → 5, 14, 15, 17, 18 · ПР-2 / REQ-1.2 (квадратный корень, калькулятор) → 3, 4, 8, 9, 12, 13 · ПР-7 / REQ-2.4 (задачи из практики) → 12, 13, 17
Вне урока	обобщение темы — ALG8-015; квадратные уравнения общего вида, дискриминант — строка R05; функция $y = x$ — строка R09
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending