Квадратные корни · урок 13 из 15 · практикум

Практикум: сравнение действительных чисел

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-013

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2, 5 (карта способов), 6, 8, 10, 12 (образцы типов 1–4 — учитель разбирает сам), 14 (типичные ошибки) — все слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка и «Вспомним» (сл. 3–4) 4 · «ваша очередь / сам» после каждого образца (сл. 7, 9, 11, 13) 8 · «найди ошибку» (сл. 15) 2 · закрепление и задания с самопроверкой (сл. 16–17) 8 · ОГЭ, линия 7 (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная работа (сл. 20) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 21) 2.
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 13/15, единица R01.5. Тип урока — П (практикум). Новая теория была на уроке ALG8-005; сегодня — отработка четырёх типов заданий.
Если не успеваете: задания 5–6 сл. 17 и ковёр (сл. 19) перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сравнивать числа с корнями

$7$ и $50$ , $35$ и $211$ (ПР-1, REQ-1.1)

Оценивать корень

целыми и десятичными: $6, 3 < 40 < 6, 4$ (ПР-2, REQ-1.2)

Упорядочивать числа

разного вида и отмечать их на координатной прямой (ПР-1)

Применять в задачах

из жизни и в формате ОГЭ (ПР-7, REQ-2.4)

повторение: R01.1–R01.4

Разминка · устно

Квадраты и знаки — без тетради

Вычислите

$1 3^{2} = ?$ 169
$144 = ?$ 12
$0, 8^{2} = ?$ 0,64
$2, 5^{2} = ?$ 6,25

Сравните или допишите

$0, 3$ и $- 5$ $0, 3 > - 5$
$- 2$ и $- 3$ $- 2 > - 3$
$26$ и $5$ $26 > 5$
$3 = ?$ $9$

повторение: R01.1–R01.4

Вспомним

Где на прямой живут $2$ , $5$ и $10$ ?

Устно

$1, 4^{2} = ?$ $1, 5^{2} = ?$
Между какими целыми числами $5$ ? $10$ ?
Что больше: $1, 41$ или $2$ ?

R01.5

Карта практикума

Как сравнить два действительных числа

R01.5

Тип 1 · образец

Число и корень: сравниваем квадраты

7 ? 50

7^{2} = 49, (50)^{2} = 50

49 < 50 \Rightarrow 7 < 50

А с минусами:

- 7 > - 50

— знак меняется

R01.5

Тип 1 · ваша очередь

Сравните

а) $37$ и $6$
б) $4, 5$ и $20$
в) $- 15$ и $- 4$
г) $0, 5$ и $0, 7$

a \geq 0, b \geq 0 :

a < b \Leftrightarrow a^{2} < b^{2}

Подсказка:

4, 5^{2} = 20, 25

0, 7^{2} = 0, 49

Ответы: а) > б) > в) > г) >

R01.5

Тип 2 · образец

Множитель перед корнем: вносим его под корень

R01.5

Тип 2 · ваша очередь

Сравните

а) $27$ и $33$
б) $52$ и $43$
в) $\frac{1}{2} 20$ и $6$
г) $- 32$ и $- 25$

a b = a^{2} b

a \geq 0, b \geq 0

в)

(\frac{1}{2})^{2} \cdot 20 = ?

Ответы: а) > б) > в) < г) >

R01.5

Тип 3 · образец

Оцениваем $40$ : «зажимаем» между квадратами

Ваша очередь: между какими десятыми лежит

90

?

R01.5

Тип 3 · образец → сам

Оцените корень

Образец: $60$

49 < 60 < 64

7 < 60 < 8

7, 7^{2} = 59, 29 < 60

7, 8^{2} = 60, 84 > 60

7, 7 < 60 < 7, 8

Между соседними целыми

$30$ 5 и 6
$55$ 7 и 8
$99$ 9 и 10
$130$ 11 и 12

Между соседними десятыми

$20$ 4,4 и 4,5
$7$ 2,6 и 2,7

R01.5

Тип 4 · образец

Расставим по возрастанию: $2, 6$ ; $7$ ; $\frac{8}{3}$ ; $22$

Число	Квадрат
$2, 6$	$6, 76$
$7$	$7$
$\frac{8}{3}$	$\frac{64}{9} = 7 \frac{1}{9}$
$22$	$8$

Ваша очередь:

3, 3; 11; \frac{10}{3}; 23

— по возрастанию

R01.5

Тип 4 · образец → сам

Расположите в порядке возрастания

Образец: $5$ ; $2, 2$ ; $\frac{9}{4}$

квадраты:

5

;

4, 84

;

\frac{81}{16} = 5 \frac{1}{16}

4, 84 < 5 < 5 \frac{1}{16}

2, 2 < 5 < \frac{9}{4}

Сам

база $10$ ; $3, 2$ ; $3$
$3 < 10 < 3, 2$
база $23$ ; $32$ ; $15$
$23 < 15 < 32$
повыш. $- 6$ ; $- 2, 5$ ; $- 2$
$- 2, 5 < - 6 < - 2$
повыш. $\frac{7}{2}$ ; $13$ ; $3, 6$
$\frac{7}{2} < 3, 6 < 13$

R01.5

Осторожно

Найдите ошибку

Неверно	Верно	Почему
$- 10 > - 3$	$- 10 < - 3$	$10 > 3$ , у отрицательных знак меняется
$36 < 43$ , ведь $3 < 4$	$54 > 48$	вносим множитель под корень
$0, 5 < 0, 5$	$0, 5 > 0, 5$	$0, 5 < 1$ : корень больше числа
$1, 41 = 2$	$1, 41 < 2$	$1, 4 1^{2} = 1, 9881 < 2$

R01.5

Практика · найди ошибку

Ученик решил так. Где ошибка?

Решение ученика	Ошибка	Верно
$13 < 26 < 14$	разделил 26 на 2, а надо искать квадраты: $25 < 26 < 36$	$5 < 26 < 6$
$23 = 6$	множитель вносят в квадрате: $2^{2} \cdot 3 = 12$	$23 = 12$
$- 20 > - 4$	$20 > 4$ , но у отрицательных знак меняется	$- 20 < - 4$
$8 < 2, 8$	посчитал $2, 8^{2} = 5, 6$ (как $2 \cdot 2, 8$ ), а верно $2, 8^{2} = 7, 84 < 8$	$8 > 2, 8$

R01.5

Закрепление · задания с самопроверкой

Сравните, оцените, сосчитайте

базаМежду какими соседними целыми числами лежит $75$ ? 8 и 9
базаСравните $33$ и $5$ $33 > 5$
повыш.Сравните $- 26$ и $- 5$ $- 26 > - 5$

повыш.Найдите наибольшее целое число, меньшее $37$ 7
практикаСколько целых чисел лежит между $- 8$ и $20$ ? 7

Шпаргалка: квадраты

R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и проверьте

повыш.Сравните $5 + 3$ и $8$ $5 + 3 > 8$
повыш.Наименьшее целое число, большее $210$ 7
повыш.Сколько целых чисел на отрезке $[- 17; 22]$ ? 7

ОГЭ, линия 7Какое из чисел принадлежит отрезку $[6; 7]$ ?
1) $30$ 2) $40$ 3) $50$ 4) $55$ 2
ОГЭ, линия 7Какое из чисел наибольшее?
1) $27$ 2) $33$ 3) $5$ 4) $29$ 4
повыш.Между какими целыми числами $- 45$ ? −7 и −6

4 мин · практика
Ответы: 1) (√5 + √3)² = 8 + 2√15 > 8 ⇒ √5 + √3 > √8 (≈ 3,97 > 2,83); 2) 2√10 = √40, 36 < 40 < 49 ⇒ 6 < 2√10 < 7 ⇒ ответ 7; 3) −√17 ≈ −4,12, 2√2 = √8 ≈ 2,83 ⇒ −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2 — семь чисел; 4) 36 < 40 < 49 ⇒ √40 ∈ [6; 7], ответ 2 (√30 ≈ 5,48, √50 ≈ 7,07, √55 ≈ 7,42); 5) квадраты 28; 27; 25; 29 ⇒ наибольшее √29, ответ 4; 6) 36 < 45 < 49 ⇒ 6 < √45 < 7 ⇒ −7 < −√45 < −6.
В заданиях 4–5 в бланк ОГЭ записывается номер ответа. Работа в парах, ответы открывать по клику после каждого задания (взаимопроверка). Слабым — 2, 4, 5.

R01.5

Формат ОГЭ · линия 7

Одна из точек соответствует числу $61$ . Какая?

1) A2) B3) C4) D

R01.5

Практика · из жизни

Поместится ли ковёр?

Квадратный ковёр площадью 10 м². Комната 3,2 м × 4,5 м. Поместится ли ковёр на полу целиком?

a = 10

сторона ковра

3, 2^{2} = 10, 24 > 10 \Rightarrow 10 < 3, 2

Да, поместится — запас около 4 см

R01.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Сравните: $48$ и $7$ $48 < 7$
Сравните: $25$ и $32$ $25 > 32$
Между какими целыми $70$ ? 8 и 9
По возрастанию: $6$ ; $2, 5$ ; $\frac{7}{3}$ $\frac{7}{3} < 6 < 2, 5$

Вариант 2

Сравните: $80$ и $9$ $80 < 9$
Сравните: $33$ и $26$ $33 > 26$
Между какими целыми $90$ ? 9 и 10
По возрастанию: $11$ ; $3, 4$ ; $\frac{10}{3}$ $11 < \frac{10}{3} < 3, 4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда можно сравнивать числа по их квадратам?
Что делать с множителем перед корнем?
Как сравнить два отрицательных числа?

Домашнее задание

Сравните: $211$ и $35$ ; $0, 9$ и $0, 8$
По возрастанию: $4$ ; $15$ ; $25$ ; $3, 9$
Сколько целых чисел на отрезке $[3; 30]$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

a, b \geq 0 : a < b \Leftrightarrow a^{2} < b^{2}

a b = a^{2} b

a < b \Leftrightarrow - a > - b

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-013 · Практикум: сравнение действительных чисел

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 13/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.5 «Сравнение действительных чисел» → 2, 5–21 · опора на R01.1–R01.4 (корень, иррациональные числа, приближения, действительные числа) → 3, 4, 10, 11
Результаты	ПР-1 / REQ-1.1 (сравнение действительных чисел, координатная прямая) → 3–9, 12–18, 20, 21 · ПР-2 / REQ-1.2 (квадратные корни, оценка) → 8–11, 16, 17, 20 · ПР-7 / REQ-2.4 (задачи из практики) → 19 · кодификатор EL-1.1, EL-1.2
ОГЭ	слайды 17 (задания 4–5) и 18 — линия 7 (числа на координатной прямой, сравнение)
Вне урока	новый материал по сравнению — ALG8-005; уравнение x² = a — ALG8-014; преобразования выражений с корнями — ALG8-008, обобщение — ALG8-015
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 10, 12, 14) · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: сравнение действительных чисел

Сегодня вы научитесь

Сравнивать числа с корнями

Оценивать корень

Упорядочивать числа

Применять в задачах

Квадраты и знаки — без тетради

Вычислите

Сравните или допишите

Где на прямой живут 2​, 5​ и 10​?

Устно

Как сравнить два действительных числа

Число и корень: сравниваем квадраты

Сравните

Множитель перед корнем: вносим его под корень

Сравните

Оцениваем 40​: «зажимаем» между квадратами

Оцените корень

Образец: 60​

Между соседними целыми

Между соседними десятыми

Расставим по возрастанию: 2,6; 7​; 38​; 22​

Расположите в порядке возрастания

Образец: 5​; 2,2; 49​

Сам

Найдите ошибку

Ученик решил так. Где ошибка?

Сравните, оцените, сосчитайте

Решите и проверьте

Одна из точек соответствует числу 61​. Какая?

Поместится ли ковёр?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-013 · Практикум: сравнение действительных чисел

Где на прямой живут $2$ , $5$ и $10$ ?

Оцениваем $40$ : «зажимаем» между квадратами

Образец: $60$

Расставим по возрастанию: $2, 6$ ; $7$ ; $\frac{8}{3}$ ; $22$

Образец: $5$ ; $2, 2$ ; $\frac{9}{4}$

Одна из точек соответствует числу $61$ . Какая?