Квадратные корни · урок 12 из 15 · практикум

Практикум:
действительные
числа

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-012

Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %) · всего 45 мин.
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 12/15, единица R01.4 «Действительные числа». Тип урока — П (практикум), продолжение урока ALG8-004.
Хронометраж. Теория (12 мин): цели 1 (сл. 2) · образцы четырёх типов 10 (сл. 5, 8, 11, 14) · памятка 1 (сл. 17). Практика (33 мин): разминка 3 (сл. 3) · повторение 2 (сл. 4) · задания по типам 10 (сл. 6, 9, 12, 15) · самопроверка по типам 6 (сл. 7, 10, 13, 16) · найди ошибку 2,5 (сл. 18) · закрепление и ОГЭ 4 (сл. 19) · самостоятельная работа 4,5 (сл. 20) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 21).
Урок-практикум: вся теория — это образцы, которые учитель разбирает сам, и короткая памятка; остальное время работают ученики.
Если не хватает времени: задание сл. 9 сократить до двух дробей, № 4 и № 5 сл. 19 перенести в ДЗ.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять вид числа

рациональное или иррациональное — по любой записи (ПР-1)

Записывать десятичной дробью

конечной или периодической (ПР-1)

Отмечать числа на прямой

в том числе $a$ и $- a$ (ПР-1, REQ-1.1)

Округлять и вычислять

с приближёнными значениями корней (ПР-1, ПР-2)

1 мин · теория
ПР-1 (дословно ФРП): «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой» (= REQ-1.1).
ПР-2 — частично: «находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор» (= REQ-1.2).
Сравнение действительных чисел — отдельный практикум ALG8-013; здесь сравниваем только с квадратами соседних чисел, когда оцениваем корень.

повторение: R01.1–R01.4

Разминка · устно

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

1

$81$

9

2

$0, 16$

0, 4

3

$1, 2^{2}$

1, 44

4

$(7)^{2}$

7

5

$\frac{3}{4}$ десятичной дробью

0, 75

6

$\frac{1}{3}$ десятичной дробью

0, (3)

7

$30$ между какими целыми?

5

и

6

8

$3, 1416$ округлите до сотых

3, 14

повторение: R01.4 (урок ALG8-004)

Вспомним

R = рациональные + иррациональные

Почему $25$ — в кружке N?
Чем 0,(6) отличается от 0,1010010…?
Куда поместить $- 49$ и $7$ ?

2 мин · практика
Фронтально: ученики отвечают, учитель только уточняет. Ответы: 1) √25 = 5 — натуральное. 2) 0,(6) — периодическая дробь, это 2/3 (рациональное); 0,1010010… — бесконечная непериодическая (иррациональное). 3) −√49 = −7 — в Z; √7 — к иррациональным (7 не квадрат целого числа).
Типичная ошибка: «раз есть корень — число иррациональное». Сначала пробуем извлечь корень.
Мостик: сегодня — практикум, четыре типа заданий; на каждый — образец, задание и самопроверка.

R01.4

Тип 1 · образец

Рациональное или иррациональное? Смотрим на запись

2,5 мин · теория
Алгоритм: 1) если число записано целым или дробью m/n — рациональное; 2) десятичная конечная или периодическая — рациональное; 3) бесконечная непериодическая — иррациональное; 4) корень: пробуем извлечь. √0,49 = 0,7 (0,7² = 0,49) — рациональное; √50 не извлекается (7² = 49, 8² = 64; рационального числа с квадратом 50 нет) — иррациональное.
0,123456789101112… — подряд выписаны натуральные числа; повторяющейся группы цифр нет.
Вопрос классу: а √(9/16)? (= 3/4 — рациональное.)

R01.4

Тип 1 · задание

Разложите числа по двум корзинам

R01.4

Тип 1 · самопроверка

Рациональное или иррациональное? Ответ — по клику

1 · база

$1, 44$

рац.:

1, 2

2 · база

$18$

иррац.

3 · база

$0, (27)$

рац.: период

4 · база

$- \frac{9}{25}$

рац.:

- \frac{3}{5}

5 · повыш.

$2 π$

иррац.

6 · повыш.

$0, 4$

иррац.

1,5 мин · практика
Каждый записывает в тетрадь «Q» или «I» для шести чисел, затем открываем ответы по одному и поднимаем руки — кто верно.
Ответы: 1) √1,44 = 1,2 (1,2² = 1,44) — рациональное; 2) √18: 4² = 16 < 18 < 25 = 5² — иррациональное; 3) 0,(27) — периодическая, это 27/99 = 3/11 — рациональное; 4) −√(9/25) = −3/5 — рациональное; 5) 2π = 6,283… — иррациональное (удвоенное иррациональное число); 6) √0,4 — ловушка: 0,4 = 2/5, а 0,63² = 0,3969, 0,64² = 0,4096 — точно не извлекается, иррациональное (не путать с √0,04 = 0,2).

R01.4

Тип 2 · образец

Дробь → десятичная: делим и следим за остатком

7 : 40
делим	цифра	остаток
70 : 40	1	30
300 : 40	7	20
200 : 40	5	0 — стоп

\frac{7}{40} = 0, 175

конечная

5 : 12
делим	цифра	остаток
50 : 12	4	2
20 : 12	1	8
80 : 12	6	8 — повтор!

\frac{5}{12} = 0, 41 (6)

периодическая

2,5 мин · теория
Шаги: 1) делим числитель на знаменатель уголком; 2) записываем остатки; 3) остаток 0 — дробь конечная; остаток повторился — дальше пойдут те же цифры, это период.
Проверка: 0,175 · 40 = 7; 5 : 12 = 0,416666…
Читаем 0,41(6): «ноль целых сорок одна сотая и шесть в периоде». Период может начинаться не сразу после запятой.
Для учителя: несократимая дробь даёт конечную десятичную, только если в знаменателе нет простых множителей, кроме 2 и 5 (40 = 2³ · 5; 12 = 2² · 3). Не забыть сократить: 6/15 = 2/5 = 0,4.

R01.4

Тип 2 · задание

Запишите десятичной дробью. Какая она?

\frac{3}{16}

0,1875

конечная

\frac{7}{30}

0,2(3)

периодическая

\frac{4}{9}

0,(4)

периодическая

\frac{9}{75}

0,12

конечная

Вывод: любая обыкновенная дробь — конечная или периодическая десятичная, то есть рациональное число.

R01.4

Тип 2 · самопроверка

Ещё четыре дроби — делим уголком

1 · база

$\frac{11}{20}$

0, 55

2 · база

$\frac{5}{6}$

0, 8 (3)

3 · база

$\frac{2}{11}$

0, (18)

4 · база

$\frac{14}{35}$

0, 4

повыш.Какая из дробей

\frac{7}{25}

,

\frac{7}{24}

,

\frac{7}{28}

даёт периодическую десятичную?

\frac{7}{24} = 0, 291 (6)

R01.4

Тип 3 · образец

Отметим $13$ и $- 13$ на координатной прямой

R01.4

Тип 3 · задание

Какое число какой точке соответствует?

R01.4

Тип 3 · самопроверка

Между какими соседними целыми лежит число?

1 · база

$20$

4

и

5

2 · база

$- 5$

- 3

и

- 2

3 · база

$90$

9

и

10

4 · база

$\frac{17}{5}$

3

и

4

повыш.Какое число ближе к 3 на прямой:

8

или

10

?

10

R01.4

Тип 4 · образец

Квадратный участок 50 м². Хватит ли 28 м сетки?

P = 450

7, 0 7^{2} = 49, 9849 < 50

50 > 7, 07

P > 4 \cdot 7, 07 = 28, 28

28,28 > 28 — не хватит

R01.4

Тип 4 · задание

Вычислите с нужной точностью

$3 + 8$ до десятых.
$35 - 4$ до сотых.
Квадратная комната площадью 20 м². Хватит ли 18 м плинтуса?

Корни берём с запасом в один-два знака, округляем только ответ.

R01.4

Тип 4 · самопроверка

Вычисляем с калькулятором и без

база $2 + 3$ до десятых. $3, 1$
база $27$ до сотых. $5, 29$
базаКвадрат площадью 30 см². Сторона до десятых? $5, 5$ см
повыш.Хватит ли 22 м ленты, чтобы обтянуть по периметру квадратную площадку 30 м²? хватит: $P < 22$

R01.4

Памятка · четыре типа заданий

Что делаем в каждом типе

1. Вид числа

Целое, $\frac{m}{n}$ , конечная или периодическая, извлекаемый корень — рациональное. Бесконечная непериодическая, неизвлекаемый корень — иррациональное.

2. Дробь → десятичная

Сначала сократить. Делим уголком: остаток 0 — конечная; остаток повторился — периодическая.

3. Точка на прямой

Соседние квадраты: $n^{2} < a < (n + 1)^{2}$ ⇒ $n < a < n + 1$ .Уточняем десятыми; $- a$ — симметрично.

4. Вычисления

Корни — с запасом в 1–2 знака, округляем только ответ, и сразу до нужного разряда.

R01.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Так говорят	Как верно
✗ « $16$ — иррациональное: там корень»	✓ $16 = 4$ — натуральное
✗ «0,(3) бесконечная — значит, иррациональная»	✓ периодическая: $0, (3) = \frac{1}{3}$
✗ «π = 3,14»	✓ π ≈ 3,14 — только приближение
✗ «сумма иррациональных — иррациональна»	✓ $2 + (- 2) = 0$
✗ 2,449 → 2,45 → 2,5	✓ 2,449 ≈ 2,4: округляем сразу

R01.4

Закрепление · смешанные задания и ОГЭ

Решите в тетради

базаВыпишите рациональные: $36$ ; $0, 9$ ; −2,(5); 0,1212212221…; $\frac{1}{16}$ .
базаЗапишите десятичной дробью: $\frac{13}{50}$ ; $\frac{7}{18}$ ; $\frac{21}{35}$ .
повыш.Найдите $55$ с точностью до десятых без калькулятора.
повыш.Приведите два иррациональных числа с рациональным произведением.

практикаКолесо диаметром 0,5 м сделало 100 оборотов. Какой путь (до десятых метра)?
ОГЭ, линия 7Одно из чисел отмечено точкой A. Какое? 1) $3$ 2) $7$ 3) $11$ 4) $15$

4 мин · практика
Каждый решает в тетради № 1–3 и 6 (база и ОГЭ), сильные — все шесть; ответы — устно с места, учитель сверяет по заметкам.
Ответы: 1) √36 = 6; −2,(5); √(1/16) = 1/4 (√0,9 и 0,1212212221… — иррациональные). 2) 13/50 = 0,26; 7/18 = 0,3(8); 21/35 = 3/5 = 0,6. 3) 7,4² = 54,76 < 55 < 56,25 = 7,5²; 7,45² = 55,5025 > 55 → √55 ≈ 7,4. 4) например, √3 и √12 (√3 · √12 = √36 = 6) или √2 и √8 (= 4); проверка — возведением в квадрат: (√3 · √12)² = 3 · 12 = 36. 5) путь = 100 · π · 0,5 = 50π ≈ 157,08 → 157,1 м. 6) Ответ 3: точка A ≈ 3,3, √11 ≈ 3,32 (9 < 11 < 16); √15 ≈ 3,87 — ближе к 4; √3 ≈ 1,73 и √7 ≈ 2,65 — левее 3.
Типичная ошибка в № 6: выбрать √15 «раз оно между 3 и 4». Между 3 и 4 лежат и √11, и √15 — уточняем десятыми.
В № 4 произведение корней — по свойству R01.7 (ещё впереди), поэтому принимаем пример с проверкой возведением в квадрат.

R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

Выпишите иррациональные: $64$ ; $10$ ; $0, (5)$ ; $π$ . $10$ ; $π$
Десятичной дробью: $\frac{4}{15}$ . $0, 2 (6)$
Между какими целыми $- 40$ ? $- 7$ и $- 6$
$60$ до десятых без калькулятора. $7, 7$

Вариант 2

Выпишите иррациональные: $49$ ; $15$ ; $1, (2)$ ; $2 π$ . $15$ ; $2 π$
Десятичной дробью: $\frac{7}{12}$ . $0, 58 (3)$
Между какими целыми $- 70$ ? $- 9$ и $- 8$
$45$ до десятых без калькулятора. $6, 7$

4,5 мин · практика
Ряды делятся по вариантам; 3,5 мин решение, 1 мин — взаимопроверка соседом по открытым ответам. Оценка: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) √64 = 8 и 0,(5) = 5/9 — рациональные; иррациональные √10 и π. 2) 4/15 = 0,2666… = 0,2(6). 3) 36 < 40 < 49 → 6 < √40 < 7 → −7 < −√40 < −6. 4) 7,7² = 59,29 < 60 < 60,84 = 7,8²; 7,75² = 60,0625 > 60 → √60 ≈ 7,7 (√60 = 7,745…).
Вариант 2: 1) √49 = 7 и 1,(2) = 11/9 — рациональные; иррациональные √15 и 2π. 2) 7/12 = 0,58333… = 0,58(3). 3) 64 < 70 < 81 → 8 < √70 < 9 → −9 < −√70 < −8. 4) 6,7² = 44,89 < 45 < 46,24 = 6,8²; 6,75² = 45,5625 > 45 → √45 ≈ 6,7 (√45 = 6,708…).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Какой тип заданий

получается уверенно?
вызвал трудность?
Как быстро понять, что $a$ иррационально?

Домашнее задание

Десятичной дробью: $\frac{7}{8}$ ; $\frac{5}{18}$ .
$40$ до десятых без калькулятора.
Отметьте на прямой: $- 10$ и $\frac{10}{3}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-012 · Практикум: Действительные числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 12/15 · тип П (продолжение ALG8-004)
Единицы → слайды	R01.4 «Действительные числа» → 3–21 · опора на R01.1–R01.3 (корень, оценка корня) → 3, 11–16, 20
Результаты	ПР-1 = REQ-1.1 (множество действительных чисел, округление, вычисления, точки на прямой) → 3–20 · ПР-2 = REQ-1.2 (квадратные корни, калькулятор) → 3, 11–16, 19–20 · элемент содержания EL-1.2
Вне урока	сравнение действительных чисел — ALG8-013; уравнение x² = a — ALG8-014; свойства корней — R01.7 (ALG8-007)
ОГЭ	линия 7 «числа на координатной прямой» → 19 (№ 6); тип задания также на сл. 12, 13
Хронометраж	теория 12 мин (сл. 2, 5, 8, 11, 14, 17) · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:действительныечисла

Сегодня вы научитесь

Определять вид числа

Записывать десятичной дробью

Отмечать числа на прямой

Округлять и вычислять

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

R = рациональные + иррациональные

Рациональное или иррациональное? Смотрим на запись

Разложите числа по двум корзинам

Рациональное или иррациональное? Ответ — по клику

Дробь → десятичная: делим и следим за остатком

Запишите десятичной дробью. Какая она?

Ещё четыре дроби — делим уголком

Отметим 13​ и −13​ на координатной прямой

Какое число какой точке соответствует?

Между какими соседними целыми лежит число?

Квадратный участок 50 м². Хватит ли 28 м сетки?

Вычислите с нужной точностью

Вычисляем с калькулятором и без

Что делаем в каждом типе

1. Вид числа

2. Дробь → десятичная

3. Точка на прямой

4. Вычисления

Найдите ошибку

Решите в тетради

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Какой тип заданий

Домашнее задание

ALG8-012 · Практикум: Действительные числа

Практикум:
действительные
числа

Отметим $13$ и $- 13$ на координатной прямой