Квадратные корни · практикум · урок 10 из 15

Практикум:
понятие
об иррациональном
числе

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-010

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Теория (13 мин): титул и цели (сл. 1–2) 2 · образец типа 1 (сл. 5) 3 · периодическая дробь (сл. 8) 2 · образец типа 3 (сл. 9) 3 · образец типа 4 (сл. 12) 3 — все схемы, таблицы и построения показываются полностью.
Практика (32 мин): устная разминка и схема дробей (сл. 3–4) 5 · тип 1 «решите сами» и самопроверка (сл. 6–7) 5 · тип 3 «решите сами» и самопроверка (сл. 10–11) 6 · тип 4 «решите сами» (сл. 13) 3 · «найди ошибку» (сл. 14) 2 · задания в тетради и задача из жизни (сл. 15) 3 · самостоятельная работа в 2 вариантах (сл. 16) 4 · ОГЭ, линия 7 (сл. 17) 2 · рефлексия и ДЗ (сл. 18) 2.
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 10/15, единица R01.2. Тип урока — П (практикум). Новая теория была на уроке ALG8-002; здесь — четыре типа заданий.
Если не хватает времени — задания 4–5 сл. 15 перенести в ДЗ; теорию не сокращать (сл. 8 — дополнительный, но показать его коротко).

R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Быстро распознавать иррациональные числа

среди корней, десятичных и обыкновенных дробей (ПР-1, REQ-1.1)

Решать, рационален ли результат действий

с корнями, упрощая выражение (ПР-2, REQ-1.2)

Строить отрезки $5$ , $10$

на клетках и отмечать их на координатной прямой (ПР-1, REQ-1.1)

Находить точку числа $n$

на координатной прямой — как в ОГЭ, линия 7 (ПР-1, ПР-2)

1 мин · теория
ПР-1 (дословно ФРП): «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой».
ПР-2: «Применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».

повторение: R01.1–R01.2

Разминка · устно

Квадраты и корни — без тетради

Вычислите

$144 = ?$ 12
$0, 25 = ?$ 0,5
$1, 2^{2} = ?$ 1,44
$\frac{9}{16} = ?$ $\frac{3}{4}$

Квадрат какого числа?

$0, 04 = (?)^{2}$ 0,2
$1, 69 = (?)^{2}$ 1,3
$2, 25 = (?)^{2}$ 1,5
$400 = (?)^{2}$ 20

повторение: R01.2

Разминка

Какая десятичная дробь — какое число?

R01.2

Тип 1 · образец

Корень из дроби: рациональный или нет?

0, 0144 = \frac{144}{10000}

= \frac{12}{100} = 0, 12

2, 5

:

k = 1

— нечётное
→ иррац.

1 \frac{9}{16} = \frac{25}{16} = \frac{5}{4} = 1, 25

Обыкновенная дробь: числитель и знаменатель несократимой дроби — квадраты?

3 мин · теория
Схема работает для конечных десятичных дробей без нулей на конце. Целое число — это k = 0 (чётное), остаётся проверить, точный ли квадрат.
Почему нечётное k даёт иррациональное число: 2,5 = 25/10 = 5/2, а 5 и 2 — не квадраты. Подробно не доказываем, проверяем на примерах: 0,5² = 0,25 (два знака), 1,5² = 2,25 (два знака) — квадрат дроби всегда имеет чётное число знаков.
Смешанное число переводим в неправильную дробь: 1 9/16 = 25/16.
Ошибка: √0,0144 = 0,012. Проверка квадратом: 0,012² = 0,000144.

R01.2

Тип 1 · решите сами

Рациональное или иррациональное?

1, 21

= 1,1 · рац.

12, 1

k = 1

· иррац.

2 \frac{7}{9}

= 5/3

· рац.

0, 4

k = 1

· иррац.

0, 0049

= 0,07 · рац.

0, 049

k = 3

· иррац.

3 \frac{1}{16}

= 7/4

· рац.

250

не квадрат · иррац.

Одинаковые цифры — разный ответ: решает место запятой.

R01.2

Тип 1 · задания с самопроверкой

Рациональное или иррациональное?

База

база $0, (12)$ рац.
база $3, 1010010001 \dots$ иррац.
база $\frac{16}{49}$ $\frac{4}{7}$ · рац.
база $0, 000081$ 0,009 · рац.

Повышенный уровень

повыш. $\frac{8}{18}$ $\frac{2}{3}$ · рац.
повыш.При каких цифрах $d \neq = 0$ число $0, 0 d$ рационально? 1, 4, 9

R01.2

Дополнительно · тип 2

Периодическая дробь — это дробь $\frac{m}{n}$

R01.2 · свойства корней R01.7

Тип 3 · образец

Действия с иррациональными числами

2 \cdot 18

= 36 = 6

2 + 8 = 2 + 22 = 32

Сначала упростите, потом решайте: 6 — рац.,

32

— иррац.

R01.2

Тип 3 · решите сами

Значение выражения рационально?

3 \cdot 27

= 81 = 9

· рац.

20 : 5

= 4 = 2

· рац.

5 + 7

иррац.

2 \cdot 5

= 10

· иррац.

(23)^{2}

= 4 \cdot 3 = 12

· рац.

18 - 8

= 32 - 22 = 2

· иррац.

R01.2 · R01.7

Тип 3 · задания с самопроверкой

Упростите и решите: рационально ли значение?

База

база $6 \cdot 24$ 12 · рац.
база $48 : 3$ 4 · рац.
база $50 - 18$ $22$ · иррац.
база $(5)^{2} + 5$ $5 + 5$ · иррац.

Повышенный уровень

повыш. $(3 - 1) (3 + 1)$ 2 · рац.
повыш. $(1 + 2)^{2}$ $3 + 22$ · иррац.

R01.2

Тип 4 · образец

Строим отрезок $5$ и точку $5$ на прямой

S = 9 − 4 · 1 = 5

Треугольник 1 × 2: S = 1, их четыре

Сторона квадрата —

5

Циркулем от 0:

2 < 5 < 3

R01.2

Тип 4 · решите сами

Постройте отрезок $10$

базаКвадрат какого размера взять? Какие треугольники отрезать?
базаОтметьте $10$ на прямой. Между какими целыми оно лежит?
повыш.Постройте так же отрезок $8 .$

R01.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку в рассуждении

✗ «0,(3) бесконечная — значит иррациональная»

✓ Есть период → рациональная: $0, (3) = \frac{1}{3}$

✗ « $0, 9 = 0, 3$ »

✓ $0, 3^{2} = 0, 09$ . А $0, 9$ — иррациональное

✗ «π = 3,14»

✓ 3,14 — только приближение: $π \approx 3, 14$

✗ «Сумма иррациональных — иррациональна»

✓ $(2 + 3) + (2 - 3) = 4$

R01.2

Решаем в тетради · задача из жизни

Решите

базаВыпишите иррациональные числа: $0, 81$ ; $8, 1$ ; $6 \frac{1}{4}$ ; $0, 001$ .
базаКакое значение иррационально: $5 \cdot 45$ ; $6 + 2$ ; $(11)^{2}$ ; $32 : 2$ ?
повыш.Приведите два иррациональных числа между 1,4 и 1,5.

повыш.Верно ли: «произведение двух иррациональных чисел всегда иррационально»? Приведите пример.
практикаКвадратная плитка — 0,64 м², квадратная клумба — 8 м². Чья сторона выражается рациональным числом? Оцените обе.

R01.2 · R01.5

Самостоятельная работа

Два варианта — по 4 задания

Вариант 1

Иррациональное из $0, 49$ ; $4, 9$ ; $2 \frac{1}{4}$ $4, 9$
Рационально ли $8 \cdot 50$ ? да, 20
Рационально ли $27 - 12$ ? нет, $3$
Между какими целыми лежит $40$ ? 6 и 7

Вариант 2

Иррациональное из $0, 64$ ; $6, 4$ ; $1 \frac{7}{9}$ $6, 4$
Рационально ли $12 \cdot 27$ ? да, 18
Рационально ли $75 - 48$ ? нет, $3$
Между какими целыми лежит $55$ ? 7 и 8

R01.2 · R01.5

Формат ОГЭ · линия 7

Какая точка соответствует числу $29$ ?

1) A 2) B 3) C 4) D

25 < 29 < 36

→

5 < 29 < 6

5, 5^{2} = 30, 25 > 29

→

29 < 5, 5

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по записи десятичной дроби понять, рациональна ли она?
Как быстро решить, рационален ли $0, 049$ ?
Как построить отрезок $5$ на клетках?

Домашнее задание

Какие иррациональны: $0, 36$ ; $3, 6$ ; $5 \frac{4}{9}$ ; $0, 0016$ ; $160$ ?
Рационально ли: $7 \cdot 28$ ; $45 - 5$ ?
Повыш.: постройте отрезок $13$ .
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-010 · Практикум: Понятие об иррациональном числе

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 10/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.2 «Понятие об иррациональном числе» → 2–18 · опора на R01.7 (свойства корней) → 9–11 · R01.5 (сравнение) → 16, 17
Результаты	ПР-1 / REQ-1.1 (действительные числа, точки на координатной прямой) → 4, 7, 8, 12, 13, 14, 16, 17 · ПР-2 / REQ-1.2 (арифметический квадратный корень, свойства корней) → 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 18 · элемент EL-1.1
Дополнительно	сл. 8 — перевод периодической дроби в обыкновенную (сверх минимума). Хронометраж: теория 13 мин (сл. 1–2, 5, 8, 9, 12) · практика 32 мин (71 %)
Вне урока	десятичные приближения — ALG8-011; действительные числа — ALG8-012; сравнение — ALG8-013; уравнение x² = a — ALG8-014; теорема Пифагора — курс геометрии
ОГЭ	линия 7 (числа на координатной прямой) → сл. 17; оценка корня целыми — сл. 16
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:понятиеоб иррациональномчисле

Сегодня вы научитесь

Быстро распознавать иррациональные числа

Решать, рационален ли результат действий

Строить отрезки 5​, 10​

Находить точку числа n​

Квадраты и корни — без тетради

Вычислите

Квадрат какого числа?

Какая десятичная дробь — какое число?

Корень из дроби: рациональный или нет?

Рациональное или иррациональное?

Рациональное или иррациональное?

База

Повышенный уровень

Периодическая дробь — это дробь nm​

Действия с иррациональными числами

Значение выражения рационально?

Упростите и решите: рационально ли значение?

База

Повышенный уровень

Строим отрезок 5​ и точку 5​ на прямой

Постройте отрезок 10​

Найдите ошибку в рассуждении

✗ «0,(3) бесконечная — значит иррациональная»

✗ «0,9​=0,3»

✗ «π = 3,14»

✗ «Сумма иррациональных — иррациональна»

Решите

Два варианта — по 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Какая точка соответствует числу 29​?

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-010 · Практикум: Понятие об иррациональном числе

Практикум:
понятие
об иррациональном
числе

Строить отрезки $5$ , $10$

Находить точку числа $n$

Периодическая дробь — это дробь $\frac{m}{n}$

Строим отрезок $5$ и точку $5$ на прямой

Постройте отрезок $10$

✗ « $0, 9 = 0, 3$ »

Какая точка соответствует числу $29$ ?