Квадратные корни · урок 9 из 15 · практикум

Практикум: квадратный корень из числа

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-009

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (2), повторение определения сл. 4 (2), образцы-разборы учителя по типам 1–4 — сл. 5, 7, 8, 10, 12 (9). Все схемы, образцы и правила показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · «решите сами» после каждого образца (сл. 6, 9, 11, 13) 11 · «найдите ошибку» (сл. 14) 2 · задания с самопроверкой (сл. 15–16) 6 · задачи из жизни (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18–19) 4 · самостоятельная работа в 2 вариантах (сл. 20) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 21) 1.
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 9/15, единица R01.1 «Квадратный корень из числа». Тип урока — П (практикум). Новую тему урок не вводит: определение дано в ALG8-001, здесь — отработка четырёх типов заданий.
Если не успеваете: сл. 16 решить выборочно (1, 3, 4), задачи сл. 19 перенести в ДЗ; образцы-разборы не сокращать.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

1Находить значение корня

$1, 44 = 1, 2$ ; $6400 = 80$ (ПР-2, REQ-1.2)

2Проверять по определению

верно ли $a = b$ , имеет ли выражение смысл (ПР-2)

3Вычислять выражения

с корнями: сначала корни, потом действия (ПР-2)

4Решать $x = a$

и задачи по формулам с корнем (ПР-7, REQ-2.4)

повторение: R01.1

Разминка · устно

Квадраты и корни — без тетради

Возведите в квадрат

$1 2^{2} = ?$ 144
$0, 7^{2} = ?$ 0,49
$0, 0 5^{2} = ?$ 0,0025
$(\frac{3}{5})^{2} = ?$ $\frac{9}{25}$

Какое число ≥ 0 в квадрате даёт

$169$ ? 13
$0, 04$ ? 0,2
$2500$ ? 50
$1, 21$ ? 1,1

повторение: R01.1

Вспомним определение

$a = b$ — это два условия сразу

Устно

$81$
$0, 25$
$\frac{9}{16}$
$1$ и $0$

R01.1

ТИП 1Образец решения

Значение корня: ищем число, квадрат которого дан

$n$	11	12	13	14	15
$n^{2}$	121	144	169	196	225
$n$	16	17	18	19	20
$n^{2}$	256	289	324	361	400

\frac{25}{81} = \frac{5}{9}

2 \frac{7}{9} = \frac{25}{9} = \frac{5}{3} =

1 \frac{2}{3}

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Алгоритм: 1) убрать запятую и найти корень из целого числа по таблице квадратов; 2) поставить запятую: после запятой в корне цифр вдвое меньше, чем в подкоренном числе (2 → 1, 4 → 2).
Если после запятой нечётное число цифр, дописываем нуль: √0,9 = √0,90 — пара «90» не точный квадрат, значит √0,9 ≠ 0,3 (см. тип 2).
Смешанное число всегда переводим в неправильную дробь: √(2 7/9) ≠ 2 · √7/3 — частая ошибка.
Проверка каждого ответа возведением в квадрат: 1,2² = 1,44; 0,13² = 0,0169; (5/3)² = 25/9.

R01.1

ТИП 1Решите сами · 3 мин

Вычислите и проверьте возведением в квадрат

а

196

= 14

б

0, 81

= 0,9

в

0, 0036

= 0,06

г

1 \frac{9}{16}

= \frac{5}{4} = 1, 25

д

4900

= 70

е

2, 25

= 1,5

R01.1

ТИП 2Образец решения

Верно ли, что $a = b$ ? Две проверки

Равенство	$b \geq 0$	$b^{2} = a$	Итог
$1, 21 = 1, 1$	да	1,21	верно
$36 = - 6$	нет	—	неверно
$0, 4 = 0, 2$	да	0,04	неверно
$\frac{9}{16} = \frac{3}{4}$	да	$\frac{9}{16}$	верно

R01.1

ТИП 2Образец решения

Имеет ли смысл? Под корнем — число ≥ 0

- 16

нет: −16 < 0

- 16

да: = −4

(- 4)^{2}

да:

16 = 4

5 - 7

нет:

- 2

x - 3

имеет смысл, если

x - 3 \geq 0

, т. е. $x \geq 3$

R01.1

ТИП 2Решите сами · 3 мин

Проверьте по определению

1. Верно ли равенство?

а) $0, 9 = 0, 3$ нет
б) $\frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ да
в) $49 = - 7$ нет
г) $1, 69 = 1, 3$ да

2. Имеет ли смысл?

$(- 3)^{2}$ ; $- 3^{2}$ ; $- 9$

да (

= 3

); нет; да (

= - 3

)

3. При каких x имеет смысл?

$x + 5$ ; $- x$

x \geq - 5

;

x \leq 0

R01.1

ТИП 3Образец решения

Сначала корни, потом действия

0, 5 \cdot 0, 64 + \frac{1}{3} \cdot 81 = ?

(7)^{2} = 7

— по определению

6^{2} + 8^{2} = 100 = 10

,а не

6 + 8

R01.1

ТИП 3Решите сами · 3 мин

Найдите значение выражения

а

2 0, 25 + 0, 04

= 1 + 0,2 = 1,2

б

10 0, 09 - 1 \frac{7}{9}

= 3 - \frac{4}{3} = 1 \frac{2}{3}

в

(5)^{2} + (- 3)^{2}

= 5 + 3 = 8

г

5^{2} - 4^{2}

= 9 = 3

R01.1

ТИП 4Образец решения

Найдите $x$ : $x = a$ . Сторона известна — найти площадь

x = a, a \geq 0 \Rightarrow x = a^{2}

при

a < 0

корней нет

x = 0, 3 \Rightarrow x =

$0, 09$

x - 1 = 3 \Rightarrow x - 1 = 9 \Rightarrow x =

$10$

x = - 2 \Rightarrow

корней нет

Сами:

x = 1, 2

;

x = 0

;

2 x = 4

R01.1

ТИП 4Практика · образец → сам · 2 мин

Решите уравнение и сделайте проверку

Образец

2 x - 1 = 3

2 x - 1 = 3^{2} = 9

2 x = 10, x = 5

Проверка:

2 \cdot 5 - 1 = 9 = 3

✓

Сам

$x = 9$ $x = 81$
$x = 0, 6$ $x = 0, 36$
$x + 3 = 4$ $x = 13$
$x - 5 = 1, 2$ $x = 6, 44$
$x + 3 = 0$ корней нет

R01.1

Осторожно · все четыре типа

Найдите ошибку

Тип	Неверно	Верно	Почему
1	$0, 9 = 0, 3$	$0, 09 = 0, 3$	$0, 3^{2} = 0, 09$
1	$1 \frac{9}{16} = 1 \frac{3}{4}$	$\frac{25}{16} = \frac{5}{4}$	в неправильную дробь
2	$- 9 = - 3$	не имеет смысла	под корнем $- 9 < 0$
3	$9 + 16 = 3 + 4$	$25 = 5$	сначала сумма
4	$x = - 5 \Rightarrow x = 25$	корней нет	$x \geq 0$

R01.1

Задания с самопроверкой · база · 3 мин

Все четыре типа — решите и проверьте

тип 1 $1, 44$ ; $0, 0004$ 1,2; 0,02
тип 1 $3 \frac{1}{16}$ $\frac{7}{4} = 1, 75$
тип 2Верно ли: $0, 01 = 0, 1$ ; $250 = 50 ?$ да; нет

тип 2Имеет ли смысл: $- 25$ ; $- 25$ ? нет; да
тип 3 $5 0, 04 + 0, 36$ 1,6
тип 4Решите: $x = 1, 3$ $x = 1, 69$

R01.1

Задания с самопроверкой · база и повышенный · 3 мин

Решите

базаВычислите: $0, 49$ ; $\frac{36}{121}$ ; $8100$ 0,7; $\frac{6}{11}$ ; 90
базаВерно ли: $0, 16 = 0, 04$ ; $2, 25 = 1, 5$ ? нет; да
повыш.Вычислите: $0, 1400 + 2 0, 36$ 3,2

повыш.При каких x имеет смысл $x - 7 ?$ $x \geq 7$
Решите: $x + 2 = 5$ $x = 23$
практикаКвадратная столешница имеет площадь 1,21 м². Сколько метров кромки нужно на её края? 4,4 м

R01.1

Практика · из жизни · 2 мин

Плинтус для комнаты и падающий камень

1. Квадратная комната

Пол — квадрат площадью 20,25 м². Сколько метров плинтуса нужно на всю комнату (без учёта двери)?

a = 20, 25 = 4, 5

;

P = 4 \cdot 4, 5 =

$18$ м

2. Камень с обрыва

Время падения (с) с высоты $h$ (м): $t = \frac{h}{5}$ . Сколько секунд падает камень с высоты 45 м?

t = \frac{45}{5} = 9 =

$3$ с

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12 · расчёт по формуле · 2 мин

Какой длины нить у маятника?

Период колебания маятника $T$ (в секундах) вычисляют по формуле $T = 2 l$ , где $l$ — длина нити (в метрах). Найдите длину нити, если период равен 3 секундам.

3 = 2 l \Rightarrow l = 1, 5

l = 1, 5^{2} =

$2, 25$ (тип 4)

Проверка:

2 2, 25 = 2 \cdot 1, 5 = 3

✓

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 8 и 12 · 2 мин

Ответ — число без единиц

линия 12Скорость падения

Скорость тела (м/с), упавшего с высоты $h$ (м): $v = 20 h$ .

Найдите $v$ при $h = 5$ . 10
Найдите $h$ , если $v = 30$ . 45

линия 8Найдите значение выражения

$6 \frac{1}{9} - 0, 81$ 1,1
$(11)^{2} - 216$ 3

R01.1

Самостоятельная работа · 4 мин

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$0, 64$ ; $1 \frac{7}{9}$ 0,8; $1 \frac{1}{3}$
Верно ли: $0, 25 = 0, 05$ ? нет
$3 0, 16 + 81$ 10,2
Решите: $x - 3 = 4$ $x = 19$

Вариант 2

$0, 09$ ; $2 \frac{1}{4}$ 0,3; 1,5
Верно ли: $1, 6 = 0, 4$ ? нет
$2 0, 49 - 25$ −3,6
Решите: $x + 1 = 6$ $x = 35$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Какой тип у вас получается лучше всего?

Оцените себя: 1 · 2 · 3 · 4

Решаю уверенно
Решаю с подсказкой схемы
Пока ошибаюсь — в каком типе?

Домашнее задание

$1, 96$ ; $2 \frac{1}{4}$ ; $0, 0025$
$3 0, 16 - \frac{9}{25}$
Решите: $x = 0, 8$ ; $x - 4 = 6$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

a = b \Leftrightarrow b \geq 0, b^{2} = a

(a)^{2} = a

x = a \Rightarrow x = a^{2}

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-009 · Практикум: квадратный корень из числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 9/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.1 «Квадратный корень из числа» → 2–21 (разминка → 3; определение → 4; тип 1 → 5–6; тип 2 → 7–9; тип 3 → 10–11; тип 4 → 12–13, 18; ошибки → 14; самопроверка → 15–16; из жизни → 17; ОГЭ → 18–19; самостоятельная → 20). Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Результаты	ПР-2 / REQ-1.2 (понятие арифметического квадратного корня, нахождение корней) → 3–16, 19–21 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение к задачам практики и смежных предметов) → 16 (зад. 5), 17, 18, 19 · кодификатор EL-1.1
ОГЭ	слайд 18 — линия 12 (расчёт по формуле $T = 2 l$ ); слайд 19 — линии 12 ( $v = 20 h$ ) и 8 (значение выражения)
Вне урока	иррациональные числа — ALG8-010; десятичные приближения и оценка корней — ALG8-011; уравнение x² = a — ALG8-006; свойства корней — ALG8-007
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: квадратный корень из числа

Сегодня вы научитесь уверенно

1Находить значение корня

2Проверять по определению

3Вычислять выражения

4Решать x​=a

Квадраты и корни — без тетради

Возведите в квадрат

Какое число ≥ 0 в квадрате даёт

a​=b — это два условия сразу

Устно

Значение корня: ищем число, квадрат которого дан

Вычислите и проверьте возведением в квадрат

Верно ли, что a​=b? Две проверки

Имеет ли смысл? Под корнем — число ≥ 0

Проверьте по определению

1. Верно ли равенство?

2. Имеет ли смысл?

3. При каких x имеет смысл?

Сначала корни, потом действия

Найдите значение выражения

Найдите x: x​=a. Сторона известна — найти площадь

Решите уравнение и сделайте проверку

Образец

Сам

Найдите ошибку

Все четыре типа — решите и проверьте

Решите

Плинтус для комнаты и падающий камень

1. Квадратная комната

2. Камень с обрыва

Какой длины нить у маятника?

Ответ — число без единиц

линия 12Скорость падения

линия 8Найдите значение выражения

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Какой тип у вас получается лучше всего?

Оцените себя: 1 · 2 · 3 · 4

Домашнее задание

ALG8-009 · Практикум: квадратный корень из числа

4Решать $x = a$

$a = b$ — это два условия сразу

Верно ли, что $a = b$ ? Две проверки

Найдите $x$ : $x = a$ . Сторона известна — найти площадь