Квадратные корни · урок 8 из 15

Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-008

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2, 5–7, 9, 11, 13–14, 16, 18–19 — все правила, выводы и схемы показываются полностью, по 1–2 мин на слайд.
Практика (32 мин): разминка и устный счёт (сл. 3–4) 4 · «образец → сам» после каждого правила (сл. 8, 10, 12, 15, 17) 10 · «найди ошибку» (сл. 20) 2 · задания с самопроверкой (сл. 21–22) 8 · задача из жизни (сл. 23) 2 · самостоятельная работа (сл. 24) 4 · рефлексия и ДЗ (сл. 25) 2.
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 8/15, единица R01.8. Тип урока — Н.
Если не успеваете: задачу из жизни (сл. 23) и задания 4–5 сл. 22 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R01.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выносить и вносить множитель

$50 = 52$ , $35 = 45$ (ПР-2, REQ-1.2)

Упрощать суммы и произведения

приводить подобные, применять формулы сокращённого умножения (ПР-2)

Избавляться от корня в знаменателе

и сравнивать числа с корнями (ПР-1, ПР-2)

Применять в задачах

находить длину по площади, приближённое значение (ПР-7, REQ-2.4)

повторение: R01.1–R01.7

Разминка · устно

Квадраты и корни — без тетради

Вычислите

$121 = ?$ 11
$0, 36 = ?$ 0,6
$1 5^{2} = ?$ 225
$(0, 3)^{2} = ?$ 0,09

Допишите множитель-квадрат

$50 = 25 \cdot ?$ 2
$72 = 36 \cdot ?$ 2
$48 = 16 \cdot ?$ 3
$45 = ? \cdot 5$ 9

повторение: R01.7

Вспомним свойства корней

Четыре формулы прошлого урока

ab = a \cdot b

a ≥ 0, b ≥ 0

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

a ≥ 0, b > 0

(a)^{2} = a, a^{2} = ∣ a ∣

Устно

$16 \cdot 9 = ?$
$2 \cdot 8 = ?$
$\frac{50}{2} = ?$
$(7)^{2} = ? (- 3)^{2} = ?$

R01.8

Проблема

Можно ли сложить $2 + 8$ ?

R01.8

Новое · вынесение множителя из-под знака корня

$50 = 52$ : квадрат площадью 50

50

= 25 \cdot 2

25 — точный квадрат

= 25 \cdot 2

свойство корня

= 52

Множитель-квадрат «выходит» из-под корня.

R01.8

Алгоритм

Ищем самый большой множитель-квадрат

$n$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$n^{2}$	4	9	16	25	36	49	64	81	100

делим подкоренное число на квадраты, начиная с большего

72 = 218

— ещё не конец:

18 = 9 \cdot 2

72 = 36 \cdot 2 = 62

48 = 16 \cdot 3 = 43

300 = 100 \cdot 3 = 103

0, 08 = 0, 04 \cdot 2 = 0, 22

R01.8

Практика · образец → сам

Вынесите множитель из-под знака корня

Образец

180

= 36 \cdot 5

= 36 \cdot 5

= 65

Сам

$20$ $25$
$63$ $37$
$128$ $82$
$0, 27$ $0, 33$

R01.8, R01.5

Новое · внесение множителя под знак корня

Обратный ход: $35 = 45$ . Зачем?

a b = a^{2} b

a ≥ 0, b ≥ 0

35 = 9 \cdot 5 = 45

211 = 4 \cdot 11 = 44

45 > 44, значит $35 > 211$

R01.8, R01.5

Практика · образец → сам

Внесите множитель и сравните

Образец: сравните $27$ и $33$

27 = 4 \cdot 7 = 28

33 = 9 \cdot 3 = 27

28 > 27 \Rightarrow 27 > 33

Сам

Внесите: $42$ ; $53$ $32$ ; $75$
Сравните $37$ и $215$ $37 > 215$
Сравните $62$ и $45$ $62 < 45$
Между какими целыми числами лежит $36$ ? 7 и 8

R01.8

Новое · сложение и вычитание

Подобные слагаемые: как 3x + 5x − x

R01.8

Практика · образец → сам

Упростите: приведите подобные

Образец

45 - 20 + 5

= 35 - 25 + 5

= (3 - 2 + 1) 5

= 25

Сам

$23 + 53 - 43$ $33$
$28 + 63$ $57$
$50 - 32 + 2$ $22$
$312 - 75$ $3$

R01.8

Новое · раскрытие скобок

$(5 + 2) (5 + 1)$ : каждый на каждый

(5 + 2) (5 + 1)

= 5 + 5 + 25 + 2

= 7 + 35

$3 (12 - 2) = 36 - 23 = 6 - 23$

R01.8

Новое · формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы и разность квадратов

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(3 + 1)^{2} = 3 + 23 + 1 = 4 + 23

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

(7 - 2) (7 + 2)

= (7)^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3

Корни исчезли! Это пригодится на следующем шаге.

R01.8

Практика · образец → сам

Раскройте скобки и упростите

Образец

(2 + 3) (2 - 1)

= 2 - 2 + 32 - 3

= 22 - 1

Сам

$2 (8 + 3)$ $4 + 32$
$(5 - 1)^{2}$ $6 - 25$
$(11 - 3) (11 + 3)$ $2$
$(23 + 1) (23 - 1)$ $11$

R01.8

Новое · освобождение от иррациональности в знаменателе

Умножаем дробь на «хитрую единицу»

Знаменатель $a$ → умножить на $a$

\frac{6}{3} = \frac{6 \cdot 3}{3 \cdot 3}

= \frac{6 3}{3}

= 23

$\frac{3}{3} = 1$ — значение дроби не меняется

Знаменатель $a - b$ → умножить на $a + b$

\frac{4}{5 - 1} = \frac{4 ( 5 + 1 )}{( 5 - 1 ) ( 5 + 1 )}

= \frac{4 ( 5 + 1 )}{5 - 1} = 5 + 1

Разность квадратов убирает корень.

R01.8

Практика · образец → сам

Освободитесь от корня в знаменателе

Образец

\frac{15}{5}

= \frac{15 5}{5 \cdot 5} = \frac{15 5}{5}

= 35

Сам

$\frac{8}{2}$ $42$
$\frac{12}{6}$ $26$
$\frac{2}{3 - 1}$ $3 + 1$
$\frac{6}{5 + 2}$ $25 - 22$

R01.8

Схема-конспект

Как упростить выражение с корнями

R01.8

Осторожно

Пять типичных ошибок

Неверно	Верно	Почему
$9 + 16 = 3 + 4 = 7$	$25 = 5$	корень суммы ≠ сумма корней
$2 + 3 = 5$	не упрощается	1,41 + 1,73 ≠ 2,24
$72 = 218$	$62$	выносить до конца
$23 \cdot 33 = 63$	$6 \cdot 3 = 18$	$3 \cdot 3 = 3$
$35 = 15$	$45$	вносим $3^{2} = 9$

R01.8

Практика · найди ошибку

Ученик решил так. Где ошибка?

Решение ученика	Ошибка	Верно
$32 = 162$	вынес 16, а надо $16 = 4$	$42$
$(5 + 2)^{2} = 5 + 4 = 9$	потерял $2 \cdot 25$	$9 + 45$
$43 - 3 = 4$	«вычел корни»: $4 - 1 = 3$ раз по $3$	$33$
$\frac{6}{2} = 3$	разделил на 2, а не на $2$	$32$

R01.8

Закрепление · задания с самопроверкой

Решите

базаВынесите множитель: $75$ ; $98$ $53$ ; $72$
базаУпростите: $18 + 50 - 8$ $62$
повыш.Сравните: $43$ и $35$ $43 > 35$

повыш.Упростите: $(6 - 2)^{2}$ $8 - 43$
повыш.Избавьтесь от корня в знаменателе: $\frac{10}{5}$ ; $\frac{3}{7 + 2}$ $25$ ; $7 - 2$
ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения $(13 - 7) (13 + 7)$ 6

R01.8, R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и проверьте

повыш. $3 (27 - 12)$ 3
повыш. $(3 - 2)^{2} + 62$ 11
ОГЭ, линия 8 $\frac{48 \cdot 3}{9}$ 4
ОГЭ, линия 8 $\frac{( 2 7 ) ^{2}}{14}$ 2

повыш.Расположите в порядке возрастания: $32$ , $25$ , $17$

17 < 32 < 25

R01.8

Практика · из жизни

Сколько сетки нужно на забор?

Квадратный участок имеет площадь 72 м². Сколько метров сетки нужно, чтобы огородить его? Округлите до целых.

a = 72 = 62

м

P = 4 a = 242 \approx

34 м

R01.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вынесите множитель: $80$ $45$
Упростите: $12 + 75 - 27$ $43$
Вычислите: $(6 - 2) (6 + 2)$ $2$
Освободитесь от корня: $\frac{9}{3}$ $33$

Вариант 2

Вынесите множитель: $99$ $311$
Упростите: $8 + 98 - 18$ $62$
Вычислите: $(10 - 3) (10 + 3)$ $1$
Освободитесь от корня: $\frac{10}{2}$ $52$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда множитель можно вынести из-под корня?
Какие корни можно складывать?
Зачем умножать на $7 + 2$ ?

Домашнее задание

Упростите: $200$ ; $227 - 48 + 3$
Вычислите: $(2 - 3) (2 + 3)$ ; $\frac{14}{7}$
Сравните $52$ и $213$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

a^{2} b = a b

a \cdot a = a

(a - b) (a + b) = a - b^{2}

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-008 · Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 8/15 · тип Н
Единицы → слайды	R01.8 «Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни» → 5–25 · опора на R01.1–R01.7 (квадраты, свойства корней) → 3–4 · R01.5 (сравнение) → 9, 10, 22
Результаты	ПР-2 / REQ-1.2 (преобразования выражений с корнями, свойства корней) → 3–22, 24, 25 · ПР-1 / REQ-1.1 (сравнение, координатная прямая) → 9, 10, 21, 22 · ПР-7 / REQ-2.4 (применение к задачам практики) → 23 · кодификатор EL-1.2
Время	теория 13 мин (сл. 1–2, 5–7, 9, 11, 13–14, 16, 18–19) · практика 32 мин (сл. 3–4, 8, 10, 12, 15, 17, 20–25) — 71 %
ОГЭ	задание 6 слайда 21, задания 3–4 слайда 22 — линия 8 (степени и корни)
Вне урока	свойства корней — ALG8-007; практикумы по строке — ALG8-009…; корни в алгебраических выражениях с переменными — не в этом уроке
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни

Сегодня вы научитесь

Выносить и вносить множитель

Упрощать суммы и произведения

Избавляться от корня в знаменателе

Применять в задачах

Квадраты и корни — без тетради

Вычислите

Допишите множитель-квадрат

Четыре формулы прошлого урока

Устно

Можно ли сложить 2​+8​?

50​=52​: квадрат площадью 50

Ищем самый большой множитель-квадрат

Вынесите множитель из-под знака корня

Образец

Сам

Обратный ход: 35​=45​. Зачем?

Внесите множитель и сравните

Образец: сравните 27​ и 33​

Сам

Подобные слагаемые: как 3x + 5x − x

Упростите: приведите подобные

Образец

Сам

(5​+2)(5​+1): каждый на каждый

Квадрат суммы и разность квадратов

Раскройте скобки и упростите

Образец

Сам

Умножаем дробь на «хитрую единицу»

Знаменатель a​ → умножить на a​

Знаменатель a​−b → умножить на a​+b

Освободитесь от корня в знаменателе

Образец

Сам

Как упростить выражение с корнями

Пять типичных ошибок

Ученик решил так. Где ошибка?

Решите

Решите и проверьте

Сколько сетки нужно на забор?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-008 · Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни

Можно ли сложить $2 + 8$ ?

$50 = 52$ : квадрат площадью 50

Обратный ход: $35 = 45$ . Зачем?

Образец: сравните $27$ и $33$

$(5 + 2) (5 + 1)$ : каждый на каждый

Знаменатель $a$ → умножить на $a$

Знаменатель $a - b$ → умножить на $a + b$