Квадратные корни · урок 7 из 15

Свойства
арифметических
квадратных корней

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-007

1 мин · теория
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 7/15, единица R01.7. Тип урока — Н (новый материал).
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 (теория, сл. 1–2) · разминка и повторение 5 (практика, сл. 3–4) · свойство 1 — 5 (теория, сл. 5–8) + образец и задания 3 (практика, сл. 9) · свойство 2 — 2 (теория, сл. 10) + образец 2 (практика, сл. 11) · свойство 3 — 3 (теория, сл. 12–14) + образец 3 (практика, сл. 15) · типичная ошибка 1 (теория, сл. 16) + «найди ошибку» 2 (практика, сл. 17) · конспект 1 (теория, сл. 18) · задания с самопроверкой 9 (практика, сл. 19–21) · самостоятельная работа 5 (практика, сл. 22) · рефлексия и ДЗ 2 (практика, сл. 23).
Теорию ведите в темпе: доказательство (сл. 7) — по шагам с вопросами классу, демонстрационные примеры (сл. 8, 13) — учитель показывает сам, ученики только отвечают устно.
Если не успеваете: задания 5–6 сл. 20 перенести в ДЗ; самостоятельную работу сократить до заданий 1–3.

R01.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать свойства корней

корень из произведения, из дроби, из квадрата числа (ПР-2, REQ-1.2)

Вычислять без калькулятора

значения выражений с квадратными корнями (ПР-2)

Применять свойства в обе стороны

разложить корень или объединить корни (ПР-2, ПР-7)

Находить ошибки

понимать, почему $a + b \neq = a + b$ (ПР-1)

1 мин · теория
ПР-2 (дословно ФРП): «Применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней» (= REQ-1.2).
ПР-7: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики». ПР-1: использовать представления о действительных числах для сравнения и вычислений.
Вид деятельности ФРП: «Исследовать свойства квадратных корней, проводя числовые эксперименты… Доказывать свойства арифметических квадратных корней; применять их для преобразования выражений».

повторение: R01.1, R01.6

Разминка · устно

Вычислите в уме

1

1 3^{2}

169

2

121

11

3

0, 04

0,2

4

(- 6)^{2}

36

5

∣ - 2, 5∣

2,5

6

(11)^{2}

11

7

0, 3^{2}

0,09

8

1600

40

повторение: R01.1, R01.6

Вспомним

Арифметический квадратный корень

a = b

, если

b \geq 0

и

b^{2} = a

$49$ , $0, 36$
$(7)^{2}$
Решите: $x^{2} = 25$
Имеет ли смысл $- 9$ ?

R01.7

Числовой эксперимент

Можно ли извлекать корень «по частям»?

4 \cdot 9 = 36 = 6

=

4 \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6

16 \cdot 25 = 400 = 20

=

16 \cdot 25 = 4 \cdot 5 = 20

9 + 16 = 25 = 5

≠

9 + 16 = 3 + 4 = 7

Гипотеза: для произведения — можно, для суммы — нельзя.

R01.7

Свойство 1

Корень из произведения

ab = a \cdot b

при

a \geq 0, b \geq 0

сторона = 3 блока по $4$ :
$9 \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 3 \cdot 2 = 6$

R01.7

Доказательство · a ≥ 0, b ≥ 0

Почему $ab = a \cdot b$

1)

a \geq 0, b \geq 0 \Rightarrow a \cdot b \geq 0

2)

(a \cdot b)^{2} = (a)^{2} \cdot (b)^{2} = a \cdot b

3)

a \cdot b

— неотрицательное число,
квадрат которого равен

ab

⇒ по определению

ab = a \cdot b

■

R01.7

Свойство работает в обе стороны

Разложить или объединить

→ Разложить: $ab = a \cdot b$

16 \cdot 81 = 4 \cdot 9 = 36

0, 25 \cdot 144 = 0, 5 \cdot 12 = 6

90 \cdot 40 = 9 \cdot 400 = 3 \cdot 20 = 60

← Объединить: $a \cdot b = ab$

2 \cdot 8 = 16 = 4

3 \cdot 27 = 81 = 9

0, 4 \cdot 10 = 4 = 2

Ищем множители — точные квадраты: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…

R01.7

Свойство 1 · образец → сам

Корень из произведения: решаем сами

Образец

50 \cdot 18

= 50 \cdot 18

= 900 = 30

объединили под один корень — получился точный квадрат

Сам

$25 \cdot 64$ $= 5 \cdot 8 = 40$
$0, 09 \cdot 49$ $= 0, 3 \cdot 7 = 2, 1$
$8 \cdot 32$ $= 256 = 16$
$2 \cdot 3 \cdot 24$ $= 144 = 12$

R01.7

Свойство 2

Корень из дроби

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

при

a \geq 0, b > 0

\frac{25}{49} = \frac{5}{7}

2 \frac{7}{9} = \frac{25}{9} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

\frac{72}{2} = \frac{72}{2} = 36 = 6

R01.7

Свойство 2 · образец → сам

Корень из дроби: решаем сами

Образец

5 \frac{4}{9}

= \frac{49}{9} = \frac{49}{9}

= \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}

Сам

$\frac{16}{81}$ $= \frac{4}{9}$
$1 \frac{24}{25}$ $= \frac{7}{5} = 1, 4$
$\frac{98}{2}$ $= 49 = 7$
$\frac{75}{3}$ $= 25 = 5$

R01.7

Свойство 3

Корень из квадрата числа: $a^{2} = ∣ a ∣$

a	$a^{2}$	$a^{2}$
5	25	5
−5	25	5
0	0	0
−3,2	10,24	3,2

результат никогда не отрицателен

R01.7

Применяем свойство 3

Снимаем корень — ставим модуль

(- 7)^{2} = ∣ - 7∣ = 7

x^{2} = ∣ x ∣ = - x

, если

x < 0

a^{4} = (a^{2})^{2} = a^{2} = a^{2}

(2 - 5)^{2} = 2 - 5 = 5 - 2

R01.7

Не перепутать

$(a)^{2}$ и $a^{2}$ — не одно и то же

(a)^{2} = a

только при $a \geq 0$
$(5)^{2} = 5$ , $(- 5)^{2}$ — смысла нет

a^{2} = ∣ a ∣

при любом $a$
$(- 5)^{2} = 5$

R01.7

Свойство 3 · образец → сам

Корень из квадрата: решаем сами

Образец

(3 - 10)^{2} = 3 - 10

$3 = 9 < 10$ , значит $3 - 10 < 0$

= - (3 - 10) = 10 - 3

Сам

$(- 11)^{2}$ $= 11$
$(- 0, 6)^{2}$ $= 0, 6$
$b^{2}$ , если $b < 0$ $= - b$
$(7 - 3)^{2}$ $= 3 - 7$

R01.7

Типичная ошибка

Для суммы свойства нет: $a + b \neq = a + b$

✗ $36 + 64 = 6 + 8$

✓ $36 + 64 = 100 = 10$

Сумму под корнем сначала вычисляем.

R01.7

Найдите ошибку

Где ошибся ученик?

Решение 1

25 - 16 = 5 - 4 = 1

для разности свойства нет

= 9 = 3

Решение 2

(- 9)^{2} = - 9

корень не бывает отрицательным

= ∣ - 9∣ = 9

Решение 3

3 \frac{1}{16} = 3 \cdot \frac{1}{4}

смешанное число → дробь

= \frac{49}{16} = \frac{7}{4}

R01.7

Опорный конспект