Квадратные корни · урок 6 из 15

Уравнение вида
$x^{2} = a$

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-006

1 мин · теория
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 6/15, единица R01.6 «Уравнение вида x² = a». Тип урока — Н.
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
По слайдам: титул и цели 2 (теория) · разминка 4 (сл. 3–4, практика) · новый материал 9 (сл. 5–9, теория) · образец → сам 2 (сл. 10) · сколько корней 2 (сл. 11) · образцы сведения 1 (сл. 12, теория) и сами 3 (сл. 13) · скобка в квадрате 1 (сл. 14, теория) и сами 2 (сл. 15) · задачи из жизни 1 (сл. 16, теория) и сами 2 (сл. 17) · найди ошибку 2 · закрепление 4 · самопроверка и ОГЭ 3 · самостоятельная работа 5 · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 18–22, практика).
Если не успеваете: слайды 14–15 «(x − b)² = a» перенести на урок 8 или в ДЗ для сильных.

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать уравнение $x^{2} = a$

находить все корни при $a > 0$ , $a = 0$ , $a < 0$ (ПР-8, REQ-3.1)

Исследовать число корней

по знаку $a$ и по графику $y = x^{2}$ (ПР-9, REQ-3.2)

Находить точные и приближённые корни

с помощью $a$ и калькулятора, отмечать их на прямой (ПР-1, ПР-2)

Применять в задачах

сторона квадрата по площади, время падения (ПР-7, REQ-2.4)

1 мин · теория
ПР-n — номер предметного результата 8 класса по порядку ФРП. ПР-1 (REQ-1.1): «…изображать действительные числа точками на координатной прямой»; ПР-2 (REQ-1.2): «Применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор»; ПР-8 (REQ-3.1): «Решать … квадратные уравнения»; ПР-9 (REQ-3.2): «Проводить простейшие исследования уравнений … с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение … решения, если имеет, то сколько)»; ПР-7 (REQ-2.4) — применение к задачам из реальной практики.
Вид деятельности ФРП: «Исследовать уравнение x² = a, находить точные и приближённые корни при a > 0».

повторение: R01.1, R01.2

Разминка · устно

Вычислите в уме

(- 7)^{2}

49

0, 3^{2}

0,09

(\frac{2}{3})^{2}

\frac{4}{9}

(7)^{2}

7

144

12

1, 21

1,1

\frac{9}{25}

\frac{3}{5}

- 4

не имеет смысла

повторение: R01.1, R01.5

Вспомним

$a$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$

$49 = ?$ $0, 36 = ?$
$3^{2} = ?$ $(- 3)^{2} = ?$
Может ли квадрат числа быть отрицательным?
Между какими целыми числами лежит $20$ ?

R01.6

Проблема

$x^{2} = 9$ . Какое число возвели в квадрат?

R01.6

Исследуем графически

Сколько общих точек у параболы $y = x^{2}$ и прямой $y = a$ ?

R01.6

Вывод

Уравнение $x^{2} = a$ : всё зависит от знака $a$

R01.6

Обоснование при a > 0

Почему корней ровно два?

x^{2} = a, a > 0

x^{2} - (a)^{2} = 0

a = (a)^{2}

по определению корня

(x - a) (x + a) = 0

разность квадратов

x - a = 0 или x + a = 0

x = a или x = - a

R01.6, R01.3

Точные и приближённые корни

$x^{2} = 5$ : $x = \pm 5 \approx \pm 2, 24$

Точно

$x = \pm 5$

Приближённо (до сотых)

$x \approx \pm 2, 24$

калькулятор: $5 = 2, 2360 \dots$

R01.6, R01.3

Образец → сам

Запишите корни точно и с точностью до сотых

Образец

x^{2} = 3

x = \pm 3

— точно

3 = 1, 732 \dots

x \approx \pm 1, 73

$x^{2} = 2$ $\pm 2 \approx \pm 1, 41$
$x^{2} = 10$ $\pm 10 \approx \pm 3, 16$
$x^{2} = 0, 81$ $\pm 0, 9$ — точно
$x^{2} = 13$ $\pm 13 \approx \pm 3, 61$

R01.6

Закрепление · устно

Сколько корней? Покажите на пальцах: 0, 1 или 2

x^{2} = 16

2: ±4

x^{2} = - 16

0: нет корней

x^{2} = 0

1:

x = 0

x^{2} = \frac{1}{4}

2: ±0,5

x^{2} = 11

2:

\pm 11

x^{2} + 9 = 0

0:

x^{2} = - 9

R01.6

Образцы решения

Сначала приводим к виду $x^{2} = a$

3 x^{2} = 27

x^{2} = 27 : 3

x^{2} = 9

x = \pm 3

x^{2} - 0, 64 = 0

x^{2} = 0, 64

x = \pm 0, 64

x = \pm 0, 8

2 x^{2} + 8 = 0

2 x^{2} = - 8

x^{2} = - 4 < 0

корней нет

R01.6

Реши по образцу

Приведите к виду $x^{2} = a$ и решите

база

5 x^{2} = 45

x^{2} = 9, x = \pm 3

база

x^{2} - 1, 21 = 0

x^{2} = 1, 21, x = \pm 1, 1

база

3 x^{2} + 12 = 0

x^{2} = - 4

— корней нет

повыш.

7 x^{2} - 28 = 0

x^{2} = 4, x = \pm 2

R01.6

Повышенный уровень

В квадрат возводят скобку: $(x - 1)^{2} = 9$

(x - 1)^{2} = 9

x - 1 = 3 или x - 1 = - 3

x = 4 или x = - 2

скобка играет роль $x$ :
«число в квадрате равно 9»

R01.6

Реши по образцу · повышенный уровень

Скобка играет роль $x$

(x - 2)^{2} = 16

x = 6

или

x = - 2

(x + 3)^{2} = 1

x = - 2

или

x = - 4

(x - 5)^{2} = 0

x = 5

— один корень

(x + 1)^{2} = - 4

корней нет

R01.6

Применение

Отрицательный корень отбрасываем по смыслу задачи

R01.6

Задачи из жизни · сами

Составьте уравнение $x^{2} = a$ и решите

Комната

Пол квадратной комнаты имеет площадь 20,25 м². Найдите длину стены.

x^{2} = 20, 25

x = 4, 5

м

Камень

Камень падает с высоты 45 м. Время падения найдите по формуле $h = 5 t^{2}$ .

5 t^{2} = 45, t^{2} = 9

t = 3

с

Клумба

Площадь круглой клумбы 28,26 м². Найдите радиус: $S = π r^{2}$ , $π \approx 3, 14$ .

r^{2} = 28, 26 : 3, 14

r^{2} = 9

r = 3

м

R01.6

Найди ошибку

Четыре частые ошибки

Уравнение	Неверно	Верно	Почему
$x^{2} = 9$	$x = 3$	$x = \pm 3$	потерян корень −3
$x^{2} = - 9$	$x = \pm 3$	корней нет	$(\pm 3)^{2} = 9$ , а не $- 9$
$9 = ?$	$9 = \pm 3$	$9 = 3$	$a$ — всегда неотрицательное число
$x^{2} = 0$	$x = \pm 0$	$x = 0$	один корень

R01.6

Задания с самопроверкой

Решите

база $x^{2} = 36$ $\pm 6$
база $x^{2} = 0, 49$ $\pm 0, 7$
база $x^{2} + 25 = 0$ нет корней
повыш. $4 x^{2} = 9$ $\pm 1, 5$
повыш. $(x + 2)^{2} = 25$ $3; - 7$

практикаПлощадь квадратной плитки 0,09 м². Найдите длину её стороны в сантиметрах. 30 см
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $3 x^{2} - 75 = 0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. −5

R01.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите и сверьте ответ

повыш. $\frac{x ^{2}}{3} = 12$ $\pm 6$
повыш. $0, 2 x^{2} = 1, 8$ $\pm 3$
повыш. $(2 x - 1)^{2} = 9$ $2; - 1$
повыш.При каком $a$ уравнение $x^{2} = a - 4$ имеет ровно один корень? $a = 4$

ОГЭ, линия 9Решите уравнение $x^{2} - 49 = 0$ . В ответ запишите больший корень. 7
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $5 x^{2} - 20 = 0$ . В ответ запишите меньший корень. −2
ОГЭ, линия 9Решите уравнение $- 2 x^{2} + 18 = 0$ . В ответ запишите меньший корень. −3

R01.6

Самостоятельная работа

Два варианта · 5 минут

Вариант 1

$x^{2} = 64$ $\pm 8$
$x^{2} - 0, 25 = 0$ $\pm 0, 5$
$2 x^{2} + 18 = 0$ нет корней
$(x - 1)^{2} = 49$ $8; - 6$

Вариант 2

$x^{2} = 81$ $\pm 9$
$x^{2} - 0, 16 = 0$ $\pm 0, 4$
$3 x^{2} + 27 = 0$ нет корней
$(x + 2)^{2} = 36$ $4; - 8$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сколько корней у $x^{2} = a$ при $a > 0$ , $a = 0$ , $a < 0$ ?
Чем решение $x^{2} = 9$ отличается от значения $9$ ?
Когда отрицательный корень отбрасывают?

a > 0

:

\pm a

a = 0

: 0

a < 0

: нет

Домашнее задание

Решите: $x^{2} = 121;$ $x^{2} = 1, 44;$ $2 x^{2} = 32$
$x^{2} = 7$ — точно и с точностью до сотых
$(x - 3)^{2} = 16$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-006 · Уравнение вида x² = a

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_baza.pdf, с. 54–61
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 6/15 · тип Н
Единицы → слайды	R01.6 «Уравнение вида x² = a» → 5–21 · опора: R01.1 (квадратный корень) → 3, 4; R01.3 (десятичные приближения) → 9, 10
Результаты	ПР-8 / REQ-3.1 (решать квадратные уравнения) → 7, 10–15, 19–21 · ПР-9 / REQ-3.2 (исследование уравнений, графические представления) → 6, 7, 11, 20 · ПР-2 / REQ-1.2 (арифметический квадратный корень, калькулятор) → 3, 4, 9, 10, 18 · ПР-1 / REQ-1.1 (числа на координатной прямой) → 5, 8, 9, 14, 15 · ПР-7 / REQ-2.4 (задачи из практики) → 16, 17, 19
Вне урока	сравнение действительных чисел — ALG8-005; свойства арифметических квадратных корней — ALG8-007; преобразование выражений с корнями — ALG8-008; неполные квадратные уравнения ax² + bx = 0 и формула корней — строка R05 «Квадратные уравнения»
ОГЭ	линия 9 (уравнения): сл. 19, задание 7; сл. 20, задания 5–7
Время	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5–9, 12, 14, 16) · практика 31 мин (69 %): сл. 3, 4, 10, 11, 13, 15, 17–22
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнение видаx2=a

Сегодня вы научитесь

Решать уравнение x2=a

Исследовать число корней

Находить точные и приближённые корни

Применять в задачах

Вычислите в уме

a​ — неотрицательное число, квадрат которого равен a

x2=9. Какое число возвели в квадрат?

Сколько общих точек у параболы y=x2 и прямой y=a?

Уравнение x2=a: всё зависит от знака a

Почему корней ровно два?

x2=5: x=±5​≈±2,24

Точно

Приближённо (до сотых)

Запишите корни точно и с точностью до сотых

Образец

Сколько корней? Покажите на пальцах: 0, 1 или 2

Сначала приводим к виду x2=a

Приведите к виду x2=a и решите

В квадрат возводят скобку: (x−1)2=9

Скобка играет роль x

Отрицательный корень отбрасываем по смыслу задачи

Составьте уравнение x2=a и решите

Комната

Камень

Клумба

Четыре частые ошибки

Решите

Решите и сверьте ответ

Два варианта · 5 минут

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-006 · Уравнение вида x² = a

Уравнение вида
$x^{2} = a$

Решать уравнение $x^{2} = a$

$a$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$

$x^{2} = 9$ . Какое число возвели в квадрат?

Сколько общих точек у параболы $y = x^{2}$ и прямой $y = a$ ?

Уравнение $x^{2} = a$ : всё зависит от знака $a$

$x^{2} = 5$ : $x = \pm 5 \approx \pm 2, 24$

Сначала приводим к виду $x^{2} = a$

Приведите к виду $x^{2} = a$ и решите

В квадрат возводят скобку: $(x - 1)^{2} = 9$

Скобка играет роль $x$

Составьте уравнение $x^{2} = a$ и решите