Квадратные корни · урок 5 из 15

Сравнение
действительных
чисел

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-005

Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · всего 45 мин.
Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 5/15, единица R01.5. Тип урока — Н (новый материал).
Хронометраж. Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · проблема 1 (сл. 5) · способы и оценки 11 (сл. 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17) · алгоритм 1 (сл. 18). Практика (31 мин): разминка 3 (сл. 3) · повторение 2 (сл. 4) · «образец → сам» после каждого правила 9 (сл. 8, 10, 12, 14, 16) · найди ошибку 2,5 (сл. 19) · самопроверка 3 (сл. 20) · закрепление 3,5 (сл. 21) · ОГЭ 1,5 (сл. 22) · самостоятельная работа 5 (сл. 23) · рефлексия и ДЗ 1,5 (сл. 24).
Рисунок на титуле — построение точки √2 на прямой (диагональ единичного квадрата), вспоминали на уроке ALG8-002.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сравнивать действительные числа

рациональные и иррациональные, записанные с корнями (ПР-1, REQ-1.1)

Изображать числа на прямой

и упорядочивать их по возрастанию (ПР-1, REQ-1.1)

Оценивать корни

целыми числами и десятичными дробями (ПР-2, REQ-1.2)

Выбирать способ

сравнения по виду чисел — по алгоритму (ПР-1)

1 мин · теория
ПР-n — номер предметного результата 8 класса по порядку в ФРП. ПР-1 = REQ-1.1: «использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой». ПР-2 = REQ-1.2: «применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор…».
Вид деятельности ФРП: «сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа, записанные с помощью квадратных корней».

повторение: R01.1–R01.3

Разминка · устно

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

1

$49$

7

2

$0, 36$

0, 6

3

$1, 5^{2}$

2, 25

4

$(13)^{2}$

13

5

$(- 3)^{2}$

9

6

$- 7$ или $- 9$ ?что больше

- 7 > - 9

7

$0, 307$ или $0, 31$ ?что больше

0, 31 > 0, 307

8

$∣ - 2, 5 ∣$

2, 5

повторение: R01.2–R01.4

Вспомним

Числовые множества: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Куда поместить числа?

5; - 3; 0; 0, 25; - \frac{2}{3};

16; 7; π

Какие из них иррациональные?
Между какими целыми лежит $7$ ?

R01.5

Проблема · без калькулятора

Какое число больше?

10

11

площади квадратов

10

3, 2

сравнить квадраты

- 5

- 2, 3

сравнить модули

Числа разной записи: корень и десятичная дробь. Нужно общее правило.

R01.5

Способ 1 · сравнение корней

Больше площадь — больше сторона

a > b \geq 0 \Rightarrow a > b

11 > 10 \Rightarrow

11 > 10

Под корнем больше — и корень больше

R01.5

Способ 2 · сравнить квадраты

$10$ и $3, 2$ : возводим оба числа в квадрат

a, b \geq 0 : a > b \Leftrightarrow a^{2} > b^{2}

3, 2^{2} = 10, 24 > 10 = (10)^{2} \Rightarrow

3, 2 > 10

R01.5

Образец → сам · способы 1 и 2

Сравните числа

Образец

Сравните $15$ и $3, 8$ .

$3, 8^{2} = 14, 44$

$14, 44 < 15 = (15)^{2}$

Ответ: $3, 8 < 15$

Сам · в тетради

$23$ и $32$ $23 < 32$
$30$ и $5, 5$ $30 < 5, 5$
$2, 6$ и $7$ $2, 6 < 7$
$0, 8$ и $0, 9$ $0, 8 < 0, 9$

R01.5, R01.3

Оценка корня целыми числами

Корень «зажимаем» между соседними квадратами

9 < 10 < 16 \Rightarrow 3 <

10

< 4

R01.5, R01.3

Сам · оценка корня целыми числами

Между какими соседними целыми лежит корень?

$3$

1 < 3 < 2

$27$

5 < 27 < 6

$60$

7 < 60 < 8

$90$

9 < 90 < 10

$115$

10 < 115 < 11

$200$

14 < 200 < 15

повыш.Найдите наименьшее целое число, большее

130

.

12

R01.5, R01.3

Способ 3 · десятичная запись

Сравниваем по разрядам слева направо

R01.5, R01.3

Сам · сравнение по разрядам

Найдите первый несовпадающий разряд

$3 = 1, 7320 \dots$ и $1, 73$

3 > 1, 73

$5 = 2, 2360 \dots$ и $2, 24$

5 < 2, 24

$π = 3, 1415 \dots$ и $\frac{22}{7} = 3, 1428 \dots$

π < 22/7

$2 = 1, 41421 \dots$ и $1, 414$

2 > 1, 414

повыш.Запишите десятичную дробь, которая больше

2

, но меньше

1, 42

.например,

1, 415

R01.5

Корень с множителем

$23$ или $32$ ?

(23)^{2}

= 2^{2} \cdot (3)^{2} = 4 \cdot 3 = 12

(32)^{2}

= 3^{2} \cdot (2)^{2} = 9 \cdot 2 = 18

12 < 18 \Rightarrow

23

<

32

R01.5

Образец → сам · корень с множителем

Возводим в квадрат и сравниваем

Образец

Сравните $35$ и $211$ .

$(35)^{2} = 9 \cdot 5 = 45$

$(211)^{2} = 4 \cdot 11 = 44$

Ответ: $35 > 211$

Сам · в тетради

$52$ и $7$ $52 > 7$
$43$ и $7$ $43 < 7$
$27$ и $33$ $27 > 33$
повыш. $0, 520$ и $6$ $0, 520 < 6$

R01.5

Отрицательные числа

$- 5$ или $- 2, 3$ ? Левее на прямой — меньше

5 < 2, 3 \Rightarrow

- 5 > - 2, 3

R01.5

Сам · отрицательные числа

Сначала сравните модули, потом поставьте знак

$- 10$ и $- 3, 2$

- 10 > - 3, 2

$- 8$ и $- 3$

- 8 > - 3

$- 2$ и $0, 01$

- 2 < 0, 01

$- 15$ и $- 3, 9$

- 15 > - 3, 9

$- 22$ и $- 7$

- 22 < - 7

повыш. $- 0, 5$ и $- 0, 7$

- 0, 5 < - 0, 7

R01.5, R01.4

Упорядочиваем на координатной прямой

$7; - 1, 2; 1, 6; - 3; 2, 5; 2$ — по возрастанию

- 3

< - 1, 2 <

2

< 1, 6 < 2, 5 <

7

R01.5

Алгоритм

Как сравнить два действительных числа

R01.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Число и подкоренное

$10 > 5$ , т. к. $10 > 5$ ✗

$10 < 5$ , т. к. $10 < 25$ ✓

сравнивают с квадратом числа

Знак минус

$- 3 > - 2$ , т. к. $3 > 2$ ✗

$- 3 < - 2$ ✓

больше модуль — меньше число

Квадраты разных знаков

$(- 4)^{2} > 3^{2}$ $\Rightarrow - 4 > 3$ ✗

$- 4 < 0 < 3$ ✓

квадраты сравнивают только при $a, b \geq 0$

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Решите в тетради, затем сверьте ответы

1

$41$ и $14$

41 > 14

2

$70$ между какими целыми?

8 < 70 < 9

3

$48$ и $7$

48 < 7

4

$6, 5$ и $42$

6, 5 > 42

5

$- 24$ и $- 5$

- 24 > - 5

6

Целые числа между
$5$ и $30$

3; 4; 5

R01.5

Закрепление · с самопроверкой

Сравните, оцените, упорядочьте

базаСравните $17$ и $19$ . $17 < 19$
базаМежду какими целыми лежит $50$ ? $7$ и $8$
базаСравните $4, 5$ и $20$ . $4, 5 > 20$
повыш.Сравните $- 11$ и $- 3, 3$ . $- 11 < - 3, 3$
повыш.По возрастанию: $7; 2, 6; 22; \frac{8}{3}$ .
$2, 6 < 7 < 8/3 < 22$

практикаКвадратный участок площадью 30 м². Хватит ли 22 м сетки на забор? хватит: $430 < 22$

R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 7

Одна из точек соответствует числу $57$ . Какая?

1) A

2) B

3) C

4) D

R01.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

Сравните $33$ и $29$ . $33 > 29$
Между какими целыми лежит $85$ ? $9$ и $10$
Сравните $17$ и $4, 1$ . $17 > 4, 1$
Сравните $- 32$ и $- 25$ . $- 32 > - 25$

Вариант 2

Сравните $27$ и $31$ . $27 < 31$
Между какими целыми лежит $140$ ? $11$ и $12$
Сравните $39$ и $6, 2$ . $39 > 6, 2$
Сравните $- 26$ и $- 33$ . $- 26 > - 33$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как сравнить $a$ и число $b \geq 0$ ?
Почему $- 3 < - 2$ ?
Между какими целыми лежит $99$ ?

Домашнее задание

Сравните: $38$ и $6, 2$ ; $- 26$ и $- 5, 1$ .
По возрастанию: $- 2; - 1, 7; - 3$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

a > b \geq 0 \Leftrightarrow a > b

a, b \geq 0 : a > b \Leftrightarrow a^{2} > b^{2}

a, b < 0 : ∣ a ∣ > ∣ b ∣ \Leftrightarrow a < b

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-005 · Сравнение действительных чисел

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_baza.pdf, с. 54–61
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 5/15 · тип Н
Единицы → слайды	R01.5 «Сравнение действительных чисел» → 2, 5–24 · опора на R01.1–R01.4 (повторение) → 3, 4, 9–12, 17
Результаты	ПР-1 / REQ-1.1 (сравнение действительных чисел, точки на координатной прямой) → 5–8, 11–24 · ПР-2 / REQ-1.2 (квадратные корни, оценка) → 3, 6–10, 13–14, 20–23
Время	теория 14 мин (сл. 2, 5–7, 9, 11, 13, 15, 17–18) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3–4, 8, 10, 12, 14, 16, 19–24)
Вне урока	уравнение $x^{2} = a$ — ALG8-006; свойства корней, вынесение множителя из-под корня — ALG8-007, ALG8-008; числовые неравенства и их свойства — R07; функция $y = x$ — R09
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сравнениедействительныхчисел

Сегодня вы научитесь

Сравнивать действительные числа

Изображать числа на прямой

Оценивать корни

Выбирать способ

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

Числовые множества: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Какое число больше?

Больше площадь — больше сторона

10​ и 3,2: возводим оба числа в квадрат

Сравните числа

Образец

Сам · в тетради

Корень «зажимаем» между соседними квадратами

Между какими соседними целыми лежит корень?

Сравниваем по разрядам слева направо

Найдите первый несовпадающий разряд

23​ или 32​?

Возводим в квадрат и сравниваем

Образец

Сам · в тетради

−5​ или −2,3? Левее на прямой — меньше

Сначала сравните модули, потом поставьте знак

7​; −1,2; 1,6; −3​; 2,5; 2​ — по возрастанию

Как сравнить два действительных числа

Найдите ошибку

Число и подкоренное

Знак минус

Квадраты разных знаков

Решите в тетради, затем сверьте ответы

Сравните, оцените, упорядочьте

Одна из точек соответствует числу 57​. Какая?

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-005 · Сравнение действительных чисел

Сравнение
действительных
чисел

$10$ и $3, 2$ : возводим оба числа в квадрат

$23$ или $32$ ?

$- 5$ или $- 2, 3$ ? Левее на прямой — меньше

$7; - 1, 2; 1, 6; - 3; 2, 5; 2$ — по возрастанию

Одна из точек соответствует числу $57$ . Какая?