Квадратные корни · урок 4 из 15

Действительные
числа

Алгебра · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · ALG8-004

Паспорт: R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни» (15 ч), урок 4/15, единица R01.4 «Действительные числа». Тип урока — Н.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
План: цели 1 (сл. 2, т) · разминка 3 и «Вспомним» 2 (сл. 3–4, п) · дроби → десятичные 2 + образец/сам 3 (сл. 5–6) · период 2, иррациональные 2, множество R 2 (сл. 7–9, т) · классификация 2 (сл. 10, п) · √2 на прямой 2, точки 1 (сл. 11–12, т) · образец/сам «между целыми» 3 (сл. 13, п) · округление 1 + образец/сам 2 (сл. 14–15) · вычисления 1 + образец/сам 2 (сл. 16–17) · самопроверка 3 (сл. 18, п) · закрепление 3 (сл. 19, п) · найди ошибку 2 (сл. 20, п) · самостоятельная 5 (сл. 21, п) · итог и ДЗ 1 (сл. 23, п). Слайд 22 («Дополнительно») — резерв для сильного класса.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать множество R

действительные числа = рациональные + иррациональные (ПР-1)

Узнавать число по записи

конечная, периодическая или непериодическая десятичная дробь (ПР-1)

Изображать числа точками

на координатной прямой, в том числе $2$ (ПР-1, REQ-1.1)

Округлять и вычислять

с приближёнными значениями корней (ПР-1, ПР-2)

повторение: R01.1–R01.3

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

1) $49$

7

2) $0, 64$

0,8

3) $\frac{3}{4}$ — десятичной дробью

0,75

4) $1, 2^{2}$

1,44

5) $121$

11

6) Между какими целыми $20$ ?

4 и 5

7) $3, 1416$ до сотых

3,14

8) $0, 5$ — обыкновенной дробью

$\frac{1}{2}$

повторение: R01.1–R01.3

Вспомним · устно

$2$ — иррациональное число: $1, 4 < 2 < 1, 5$

Какие из чисел рациональные: $0, 5$ ; $- 3$ ; $9$ ; $2$ ; $\frac{1}{3}$ ?
Между какими целыми лежит $2$ ?
Запишите $2$ с точностью до сотых.

R01.4

Рациональные числа

Дробь m/n → конечная или периодическая десятичная

R01.4

Образец → сам

Обыкновенная дробь → десятичная

Образец

$\frac{3}{8}$ : делим $3 : 8$

$= 0, 375$ — конечная

$\frac{5}{6}$ : делим $5 : 6$

$= 0, 8333 \dots$ — цифра 3 повторяется

$= 0, 8 (3)$ — периодическая

Сам

$\frac{7}{20}$ $= 0, 35$
$\frac{4}{9}$ $= 0, (4)$
$\frac{2}{11}$ $= 0, (18)$
$\frac{1}{12}$ $= 0, 08 (3)$

R01.4

Почему периодическая

1 : 7 — остатки ходят по кругу

делим	цифра	остаток
10 : 7	1	3
30 : 7	4	2
20 : 7	2	6
60 : 7	8	4
40 : 7	5	5
50 : 7	7	1 — как в начале!

R01.4

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая десятичная дробь

R01.4

Определение

Рациональные + иррациональные = действительные (R)

R01.4

Отметим принадлежность

К каким множествам относится число?

R01.4

Точка на координатной прямой

Как отметить $2$ точно: циркулем

R01.4

Координатная прямая

Каждой точке — число, каждому числу — точка

R01.4

Образец → сам

Между какими соседними целыми лежит корень?

Образец: $13$

$9 < 13 < 16$ , т. е. $3^{2} < 13 < 4^{2}$

$3 < 13 < 4$ , $13 \approx 3, 61$

Сам

$40$ 6 и 7
$3$ 1 и 2
$99$ 9 и 10
$- 18$ −5 и −4

R01.4

Округление

$5 = 2, 2360679 \dots$ — приближаем всё точнее

R01.4

Образец → сам

Округлите корень

число	до десятых	до сотых	до тысячных
образец $7 = 2, 6457513 \dots$	2,6	2,65	2,646
$3 = 1, 7320508 \dots$	1,7	1,73	1,732
$10 = 3, 1622776 \dots$	3,2	3,16	3,162
$π = 3, 1415926 \dots$	3,1	3,14	3,142

Смотрим на следующую цифру: 0–4 — отбрасываем, 5–9 — прибавляем 1.

R01.4

Вычисления

Периметр прямоугольника $2 \times 3$ — до сотых

P = 2 (2 + 3)

\approx 2 (1, 414 + 1, 732)

= 2 \cdot 3, 146 = 6, 292

≈ 6,29

Берём корни с запасом в один знак, округляем только ответ.

R01.4

Образец → сам

Вычислите до сотых (калькулятор можно)

Образец

$3 + 2$

$\approx 1, 732 + 1, 414$

$= 3, 146$

$\approx 3, 15$

Сам

$5 + 2$ ≈ 3,65
$33$ ≈ 5,20
$7 - 3$ ≈ 0,91
Периметр квадрата со стороной $5$ ≈ 8,94

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Решите — проверим всем классом

Выпишите иррациональные: $25$ ; $8$ ; $0, (7)$ ; $2 π$ .
$8$ ; $2 π$
Запишите десятичной дробью $\frac{7}{8}$ и $\frac{1}{6}$ .
$0, 875$ ; $0, 1 (6)$
Какое число рациональное: $0, 36$ или $3, 6$ ?
$0, 36 = 0, 6$

Округлите $6 = 2, 44948 \dots$ до сотых.
2,45
Между какими соседними целыми лежит $55$ ?
7 и 8
Верно ли: «каждое целое число — действительное»?
да: $Z \subset Q \subset R$

R01.4

Закрепление · база и повышенный

Решите

базаВыпишите иррациональные: $0, 25$ ; $16$ ; $7$ ; $0, (12)$ ; $π$ ; $- \frac{3}{8}$ . $7$ ; $π$
базаЗапишите десятичной дробью: 5/8; 2/9; 7/12. 0,625; 0,(2); 0,58(3)
повыш.Между какими соседними целыми лежат $30$ и $- 10$ ? 5 и 6; −4 и −3
повыш.Всегда ли сумма двух иррациональных чисел иррациональна? Пример. нет: $2 + (- 2) = 0$

практикаКвадратный стол площадью 2 м². Хватит ли 5,5 м ленты на окантовку края? нет: $42 \approx 5, 66$ м
ОГЭ, линия 7Какая точка соответствует числу $37$ ? 1) A 2) B 3) C 4) D 3

R01.4

Найди ошибку

Ученик написал так. Где он ошибся?

1) « $16$ — иррациональное: ведь там корень».

$16 = 4$ — рациональное

2) « $0, (3)$ — иррациональное: дробь бесконечная».

периодическая: $0, (3) = \frac{1}{3}$

3) « $π = 3, 14$ ».

$π \approx 3, 14$ — лишь приближение

4) « $3 + 5$ до десятых: $1, 7 + 2, 2 = 3, 9$ ».

$1, 732 + 2, 236 = 3, 968 \approx 4, 0$

R01.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 5 минут

Вариант 1

Десятичной дробью: $\frac{3}{11}$ $0, (27)$
Выпишите иррациональные:
$36$ ; $15$ ; $0, (4)$ ; $3 π$ $15$ ; $3 π$
Между какими целыми $60$ ? 7 и 8
$2 + 7$ до сотых ≈ 4,06

Вариант 2

Десятичной дробью: $\frac{5}{12}$ $0, 41 (6)$
Выпишите иррациональные:
$49$ ; $21$ ; $1, (5)$ ; $2 π$ $21$ ; $2 π$
Между какими целыми $90$ ? 9 и 10
$5 + 6$ до сотых ≈ 4,69

R01.4 · дополнительно

Дополнительно

Периодическая дробь → обыкновенная: 0,(45)

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие числа называют действительными?
Чем запись 0,(3) отличается от записи $2$ ?
Есть ли на прямой точка $5$ ?

Домашнее задание

Десятичной дробью: 3/8; 4/11.
Отметьте на прямой: $- 1, 5$ ; $\frac{7}{4}$ ; $3$ .
$3 + 5$ до сотых.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8-004 · Действительные числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_baza.pdf, с. 54–61 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Числа и вычисления. Квадратные корни», 15 ч · урок 4/15 · тип Н
Время	теория 14 мин (сл. 2, 5, 7–9, 11–12, 14, 16) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3–4, 6, 10, 13, 15, 17–21, 23)
Единицы → слайды	R01.4 «Действительные числа» → 5–21 · повторение R01.1–R01.3 → 3–4
Результаты	ПР-1 = REQ-1.1 (множество действительных чисел, округление, вычисления, точки на прямой) → 5–21 · ПР-2 = REQ-1.2 (квадратные корни, калькулятор) → 3–4, 13–17, 21 · элемент содержания EL-1.2
Дополнительно	перевод периодической дроби в обыкновенную → 22 (по выбору учителя)
Вне урока	сравнение действительных чисел — ALG8-005; уравнение x² = a — ALG8-006; свойства корней — R01.7
ОГЭ	линия 7 «числа на координатной прямой» → 19 (№ 6), подготовка — 13
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Действительныечисла

Сегодня вы научитесь

Понимать множество R

Узнавать число по записи

Изображать числа точками

Округлять и вычислять

Считаем в уме — ответ по клику

2​ — иррациональное число: 1,4<2​<1,5

Дробь m/n → конечная или периодическая десятичная

Обыкновенная дробь → десятичная

Образец

Сам

1 : 7 — остатки ходят по кругу

Бесконечная непериодическая десятичная дробь

Рациональные + иррациональные = действительные (R)

К каким множествам относится число?

Как отметить 2​ точно: циркулем

Каждой точке — число, каждому числу — точка

Между какими соседними целыми лежит корень?

Образец: 13​

Сам

5​=2,2360679… — приближаем всё точнее

Округлите корень

Периметр прямоугольника 2​×3​ — до сотых

Вычислите до сотых (калькулятор можно)

Образец

Сам

Решите — проверим всем классом

Решите

Ученик написал так. Где он ошибся?

Два варианта · 5 минут

Вариант 1

Вариант 2

Периодическая дробь → обыкновенная: 0,(45)

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8-004 · Действительные числа

Действительные
числа

$2$ — иррациональное число: $1, 4 < 2 < 1, 5$

Как отметить $2$ точно: циркулем

Образец: $13$

$5 = 2, 2360679 \dots$ — приближаем всё точнее

Периметр прямоугольника $2 \times 3$ — до сотых